高中数学教学论文 盘点二项式定理中的“系数”题型

盘点二项式定理中的“系数”题型高考中二项式定理试题多以填空选择题形式出现，涉及的题型主要有：求二项展开式中某一项（或常数项）或某一项的系数，求所有项系数的和或奇（偶）数项系数和，求展开式的项数，以及二项式定理在求近似值，证明不等式等问题中的应用。本文重点探讨有关二项式定理中的系数问题。一直接利用二项展开式通项公式求某项系数。例1（2020浙江卷理）在二项式的展开式中，含的项的系数是( ) . A B C D 解析：本题属于二项式定理中最为基本的题目，直接考查考生对于二项展开式的通项公式的掌握。其通项，对于，则的项的系数是，答案选B 。二正确区分“两个系数”即二项式系数和项的系数例2 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项及系数最大的项。思路导析：二项式系数是指，而项的系数由二项式系数和数的乘积构成解析：二项展开式的通项，由第6项与第7项的系数相等得，所以，展开式中二项式系数最大的项为，设第项系数最大，则 解之得即所以，系数最大的项为或点评：二项式系数不受底数内字母及数的影响，统一为，而项的系数应是与数的幂的乘积组成，这一不同要仔细区分。三求多个二项式的积（和）展开式中指定项、指定项系数例3（1）展开式中，项的系数为_（2）设则 （3） 展开式中 系数为_思路导析：对于（1）中所求项的系数，应先研究清楚项的构成，中均没有，从开始出现，故应分别计算其后五项中的系数之和即得；对于（2）（3）其基本思路都是利用组合思想加以解决。解析：（1）项系数为 （2）即系数， 即从中取两元的所有组合的和，即 ，同理 .（3）由知4个括号取x，余下5括号取2y，再从余下3个括号取z，于是得系数为.点评：二项式定理的推导原理是组合思想，在理解推导原理的基础上，应用组合思想解决有关多项展开式中的项的系数问题，往往能收到很好的效果。在求展开式某项系数时，要注意分步计数原理的运用以及符号的正确性。四通过通项研究展开式系数特征例4（2020湖北理数11）在（x+ ）的展开式中，系数为有理数的项共有_项。思路导析：通过求二项式展开式通项，进一步观察其系数特征，将其中系数是有理数的项列出即可。解析：二项式展开式的通项公式为要使系数为有理数，则r必为4的倍数，所以r可为0.、4、8、12、16、20共6种，故系数为有理数的项共有6项. 答案为6五求多项式展开式中各项的系数和或某些项（各奇数项、偶数项等）的系数和例5已知， 求的值。思路导析：由平方差公式，所求其中为展开式各项系数之和，赋值法令 x=1即得； 为奇数项和与偶数项和之差，赋值法令 x=-1即得。解析：令 x=1, 得 ，令 x=-1, 得 , 。点评：求展开式系数和，充分利用赋值法。赋值时，一般地，对于多项式，有以下结论：（1）g(x)的二项式系数和为；（2）g(x)的奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和= ；（3）g(x)的各项系数和为g(1) ；（4）g(x)的奇数项的系数和为 ；（5）g(x)的偶数项系数和为 。这里常用到一种重要方法：赋值法。六赋值法在解决系数问题中的综合应用例6（2020陕西卷）若,则的值为 （A）2（B）0 （C） (D) 思路导析：如果从二项展开式中各系数表达式入手，将其写出为，可以发现，同理可以得出,亦即前2020项和为0,故只需求即可，此为思路一；思路二：如果整体研究，可将分母中2的指数与的下标统一起来，采用赋值法只需令即可使问题迎刃而解。解法一:由题意,则, 同理可以得出,亦即前2020项和为0, 则原式= 故选C.解法二：（赋值法）令得，又令得，所以得，故选C.附变式训练1：已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)1 (B)1 (C)45 (D)452设二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，若，则 （ ）4 5 6 83若，则的值为 （ ）1 -1 0 24（2020北京卷文）若为有理数），则 （ ）. A33B29C23D195 求 展开式的各项系数之和为_。6（2020江西理数）展开式中不含项的系数的和为（ ）A.-1 B.0 C