2019-2020学年高中数学 第3章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换导学案 新人教A版必修4

32简单的三角恒等变换教材研读预习课本p139142，思考以下问题1半角的正弦、余弦公式是什么？2半角公式的符号是由哪些因素决定的？要点梳理半角公式自我诊断判断(正确的打“”，错误的打“”)1sin15 .()2cos15.()3tan.()答案1.2.3.思考：利用tan和倍角公式能得到tan与sin，cos怎样的关系？提示：tan，tan.已知sin，求sin，cos，tan的值思路导引由是的二倍，代入半角公式，注意的范围解，sin，cos，且，sin，cos，tan2.利用半角公式求值的思路(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围(3)选公式：涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2，cos2计算(4)下结论：结合(2)求值【温馨提示】已知cos的值可求的正弦、余弦、正切值，要注意确定其符号跟踪训练已知sincos，450540，求tan的值解由题意得2，即1sin，得sin.450540，cos，tan2.化简：(180360)思路导引利用二倍角公式将角转化为角，注意被开方式子的正负解原式.又180360，90180，cos0，原式cos.化简问题中的“三变”(1)变角：三角变换时通常先寻找式子中各角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的差异，合理选择联系它们的公式(2)变名：观察三角函数种类的差异，尽量统一函数的名称，如统一为弦或统一为切(3)变式：观察式子的结构形式的差异，选择适当的变形途径如升幂、降幂、配方、开方等跟踪训练化简.解原式sincossincos，2，0sin，1cos，从而sincos0.原式2sin. (1)若1，求证：tan().证明(1)左边，0cos.左边cos右边原等式成立(2)sinsin()sin()coscos()sin，sinasin()化为sin()coscos()sinasin()，sin()(cosa)cos()sin，tan().三角恒等式证明的常用方法(1)执因索果法：证明的形式一般化繁为简；(2)左右归一法：证明左右两边都等于同一个式子；(3)拼凑法：针对题设和结论之间的差异，有针对性地变形，以消除它们之间的差异，简言之，即化异求同；(4)比较法：设法证明“左边右边0”或“左边/右边1”；(5)分析法：从被证明的等式出发，逐步地探求使等式成立的条件，直到已知条件或明显的事实为止，就可以断定原等式成立跟踪训练求证：.证明左边右边原等式成立课堂归纳小结1本节课的重点是半角公式，难点是半角公式的应用2要掌握三角恒等变换的三个应用(1)求值问题，见典例1；(2)三角函数式的化简，见典例2；(3)三角恒等式的证明，见典例3.3对半角公式的三点认识(1)半角公式的正弦、余弦公式实际上是由二倍角公式变形得到的(2)半角公式给出了求的正弦、余弦、正切的另一种方式，即只需知道cos的值及相应的条件，便可求出sin，cos，tan.(3)涉及函数的升降幂及角的二倍关系的题目，常用sin2，cos2求解开方时需要注意角所在象限.1已知cos，且180270，则tan的值为()a2 b2c.d解析cos，且180270sintan2.答案b2若函数f(x)sin2x(xr)，则f(x)是()a最小正周期为的奇函数b最小正周期为的奇函数c最小正周期为2的偶函数d最小正周期为的偶函数解析f(x)cos2x最小正周期t，且为偶函数答案d3函数f(x)sinxcosx，x的最小值为_解析f(x)sinx，xf(x)的最小值为sin1答案14._.解析原式4.答案45._.解析原式tan.答案tan课内拓展课外阅读1三角恒等变换与三角函数的综合问题在三角恒等变换时要尽量做到三个“统一”：即角统一、三角函数名统一(切化弦)、次数统一(齐次式)最后利用辅助角公式化为f(x)asin(x)b的形式已知函数f(x)2sin(x3)sin2sin21，xr.(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；(2)若f(x0)，x0，求cos2x0的值解f(x)(2sinxcosx)(2cos2x1)sin2xcos2x2sin.(1)f(x)的最小正周期为；最大值为2，最小值为1.(2)由(1)可知f(x0)2sin.又f(x0)，sin.由x0，得2x0，cos，cos2x0coscoscossinsin.点评在求cos2x0时，应用角的变换求解更简单2三角恒等变换与向量的综合问题解决此类问题，应利用平面向量的坐标运算、数量积、平行与垂直的条件、夹角公式、平面向量基本定理等知识，剥去平面向量的“外衣”，直抵问题核心部分，即将平面向量转化为三角函数问题，利用三角公式和三角恒等变换的思想方法进行化简，使问题得以解决给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120.如图所示，点c在以o为圆心的圆弧ab上移动，若xy，其中x，yr，求xy的最大值解建立如图所示的直角坐标系，则a(1,0)，b(cos120，sin120)，即b.设aoc，则(cos，sin)xy，(co