高中数学《排列与组合》文字素材5 新人教A版选修2-3

构建数学模型巧解应用题许多排列、组合应用题直接求解往往较为困难，若能认真阅读理解题意，抽象出其中的数量关系，通过构建数学模型来求解，则简捷、巧妙，同时也能培养同学们的探索能力和创新能力下面举例说明一、构建方程模型例上一个有10级的台阶，每步可上一级或两级，共有多少种上台阶的方法？解析：设x表示上一级台阶的步数，y表示上两级台阶的步数，则 当时，6步走完10级台阶的方法为种；当对应的的取值分别为5，3，2，1，0相对应的上台阶的方法为和故总有上台阶的方法为种点评：构建方程模型的关键是：找到等量关系，正确列出方程二、构建不等式模型例2某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3件，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（）5种6种7种8种解析：设买单片软件x件，盒装磁盘y盒，则命题转化为不等式组：的解的个数不难求得为其解，所以不同的选购方式共有7种点评：根据题意分析不等关系，通过设元正确列出不等式组是解题的关键三、构建数列模型例3跳格游戏：如图1，人从格外只能进入第1格，在格中每次可向前跳1格或2格，那么人从格外跳到第8格的方法种数为（）21261713解析：设跳到第n格的方法种数为，则到达第n格的方法有两类：向前跳1格到达第n格，方法数为；向前跳2格到达第n格，方法数为，则由分类加法计数原理知：，由数列的递推关系得该数列的前8项为，1，2，3，5，8，13，21所以人从格外跳到第8格的方法种数为21种点评：本题通过数列模型，考查了根据逻辑推理进行分类讨论的能力四、构建立体几何模型例如图2，A，B，C，D为海上的四个小岛，要建三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案共有（）解析：如图2，构造三棱锥，四个顶点表示四个小岛，六条棱表示连接任意两岛的桥梁由题意，只需求出从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法，这可由间接法完成：从六条棱中任取三条棱的不同取法为种，任取三条共面棱的不同取法为4种，所以从六条棱中任取三条不共面的棱的不同取法为种点评：本题根据问题特征，巧妙地构建恰当的立体几何图形，用几何知识去解，显得直观清晰、简洁明快五、构建隔板模型例5把20个相同的球全部装入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不小于其编号数，问有多少种不同的装法解法一：运用隔板法必须同时具备以下三个条件：所有元素必须相同所有元素必须分完每组至少有一个元素此例有限制条件，不能直接运用隔板法但可转化为隔板问题向1，2，3号三个盒子中分别装入0，1，2个球后还剩下17个球，然后再把这17个小球分成3份，每份至少一球，运用隔板法，共有种不同的分法解法二：此例可转化为不同的两类元素，即小球和隔板的排列问题，向1，2，3号三个盒子中分别装入1，2，3个球后还剩下14个球，然后再将这14个球装入，号三个盒子中的某几个（不再要求每个盒子必须有球），故可从这14个球和2个隔板所占的16个位置中选出2个位置放隔板，剩下的位置放小球即可故共有种不同的分法点评：根据问题的特点，把握问题的本质，通过联想、类比是构建隔板模型的关键六、构建邮筒模型 例6若集合满足，则称为集合的一个分析；并规定：当且仅当时，与为集合的同一种分拆，则集合的不同分拆种数为解析：建立数学模型，如图3，设集合为邮筒，设集合为邮筒，设集合为邮筒，设三个元素为三封信，则问题转化为我们非常熟悉的“把三封信投入到三个邮筒共有多少种投递方法”的问题可分三步进行求解：第一步投，共有种投法；第二步投，共有种投法；第三步投，共有种投法根据分步乘法计数原理共