高中数学教学论文 数学中的形而上学 从广东理数题浅谈曲线相切和判别式的关系

数学中的形而上学从广东理数题浅谈圆锥曲线相切与判别式的关系同学们在高中数学里面已经学习过，判断直线与圆锥曲线的位置关系，可以联立直线与曲线，转化一元二次方程，通过来判定。如果0,则直线与曲线相交；=0，直线与曲线相切；0,直线与曲线相离。而不难发现两个圆锥曲线方程也能通过代换的方法的到一个一元二次方程，那么在判断曲线与曲线位置关系的时候也能否能采取转化为二元一次方程判别式的方法来解决呢？下面，我们通过几个例子来探讨以上的想法。12年广东高考理数第20题第（1）问：在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：的离心率e= ，且椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.（1）求椭圆C的方程；我们先来看到正确解法：解：（1）由得，椭圆方程为椭圆上的点到点Q的距离当即,得当即,得（舍） 椭圆方程为以上解法，利用两点之间距离公式，然后转化为二次函数知识求解。但是有同学会猜想如果以点Q（0，2）为圆心作半径为3的圆，根据题意可知，此圆应该是会与椭圆C1相切的,然后可以通过判别式=0，把椭圆的参数求解出来。如果假想成立，那么运算会比以上提供的正确答案要来得简单。于是，有同学可能会提出以下的解法:解：以以点Q（0，2）为圆心,3为半径作圆，得: x2+(y-2)2=9又椭圆的离心率e=, c2a2=23 ，从而a2=3b2于是联立方程组： x2+(y-2)2=9 x23b2+y2b2=1 代入： 9-y-223b2+y2b2=1由=0 ,解得b2=1 椭圆方程为看起来两种解法会得到的结果相同，那么我们是否能认为两种解法都是正确的呢？是否就能断定由=0就能得到两曲线相切？往往这种考题，会让这些有想法的学生进入“安乐死”阶段，以为只要是相切，就只有一根，从而转化为二次函数=0来求解。这就犯了哲学中形而上学的错误。至于为什么说这是一个错误，请同学们看下面的例子：1. 判断抛物线y2=6x 与圆(x-2)2+y2=3 的位置关系.联立方程组 y2=6x (x-2)2+y2=3 代入消去y得：x2+2x+1=0此时显然=0.但是我们通过作图，会发现题目中的抛物线和圆根本没有交点. 于是不难发现，由=0并不能得到两曲线相切。那么反过来，由两曲线相切是否能得到=0呢？于是我们可以再举一些例子来判断：2. 求曲线y2=x-1与曲线(x+1)2+y2=4 的公共点个数. 通过作图，可以发现两曲线的公共点有1个。 但要是联立方程： y2=x-1 (x+1)2+y2=4 代入消y得：x2+3x-4=0,明显地0.于是，两曲线相切也并不能得到=0.到这里大家应该能发现，在一开始的我们提到的12年广东理数题中，后一种解法的解答过程显示是不正确的了。至于为什么采用判别式的方法会得到与答案相同的结果，笔者认为这只是一种巧合，实际上我们只要把Q点位置由y轴移到x轴，就会有不一样的结果，请看下面一个例子：3. 求点P(3,0)到椭圆 x24+y2=1的最短距离.通过画图，显然最短距离为PQ=1然而如果要算,则假设以P(3,0)为圆心的圆的方程为：(x-3)2+y2=r2联立方程： (x-3)2+y2=r2 x24+y2=1 此时如果再算=0,得到的结果让人很遗憾，会是r2=-2.从而再次验证了圆锥曲线与圆锥曲线是否相切，与判别式是否等于0毫无关系。通过以上的例子希望能引起同学们的注意，=0只适用于判断直线