高中数学《平面向量应用举例》学案3 新人教A版必修4

2.5.1平面几何中的向量方法学习目标：利用向量法解决平面几何中的平行、垂直、距离、角度等问题培养和发展解决运算能力和实际问题的能力体会几何论证的严密性、优雅性、它给人的美感和乐趣，锻炼自己的抽象思考能力教学重点：平面几何中的向量方法教学难点：平面几何中的向量方法教学方法：讨论式教具准备：多媒体投影教育过程：(I )引入新课程：老师：矢量的线性运算和数量乘积运算具有鲜明的几何意义，因此平面几何图形的许多性质，如平移、联合、长度、角度等可以用矢量的线性运算和数量乘积来表示，从而可以用矢量法解决平面几何问题。本节通过一些具体实例，阐述向量法在平面几何中的运用(ii )教新课程：例1证明了平行四边形的对角线的平方和等于四边的平方和已知平行四边形ABCD寻求证据。分析：用向量法解决长度、角度相关问题时，必须仔细考虑向量的数积。 注意：计算和证明：请设置a、ba b，a-b，|a|2，|b|2。 (a b)(a b )=aaababbb=|a|2ab|b|2.同样|a|2-2ab |b|2. 2(|a|2 |b|2)=2()。因此，平行四边形两个对角线的平方和等于四个边的平方和老师：你能用几何方法解决这个问题吗？生：(本例几何证据法如右图探索、研究得到)略老师：向量能够运算，在解决几何问题上具有优势，他能够将思维过程改为算法过程，按照一定的程序进行运算操作，降低了思考问题的难度。用向量法解决平面几何问题主要有三个步骤建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题的几何要素，将平面几何问题转化为向量问题通过向量运算，研究几何要素间的关系，例如距离、角度等问题把演算结果“翻译”成几何关系例2、如图所示，在平行四边形ABCD中，点e、f分别是AD、DC边的中点，BE、BF分别与AC和r、t这2点相交。 能找到AR、RT、TC的关系吗分析：因为r、t是对角线AC上的2点，所以为了判断AR、RT、TC间的关系，只要分别判断AR、RT、TC和AC间的关系即可解：设定为a、b、a b与共通线实数m以=m(a b )方式存在.又和共通线实数n以=n=n(b- a )方式存在.由=n，得m(a b)=a n(b- a )整理成a b=0矢量a、b不是共线，因此如果有，则能够求解.所以呢说同样的话所以呢AR=RT=TC。说明本例通过向量之间的关系阐述了平面几何中的方法，未定系数宣誓了用向量法证明平面几何问题的常用方法。例如已知ABC的3条高线AD、BE、CF，证明了AD、BE、CF交点分析：三角形的三条高度分别与对应的边垂直，我们建立了平面直角坐标系，可以用向量坐标运算解决问题解：如图所示，将BC所在直线作为x轴，将通过点a的与BC垂直的直线作为y轴，确立平面直角坐标系.设a、b、c三点的坐标分别为，BE、CF与点相交、是.2222222222222222226解得因此，点h在y轴上，即点h在AD上，AD、BE、CF与一点相交.(iii )课后练习：教科书练习题2.5 B组(iv )课程总结：几何中的向量方法与几何中的代数方法完全一致。 区别只是在“向量和向量运算”中替换“数和数的运算”。 这是将点和线等几何要素直接汇总为向量，通过它们之间的运算讨论这些向量，将这些计算结果翻译为与点和线相关的相应结果。 如果简单地表示代数方法从形式到数数学运算到数学矢量方法是从形状向量向量的运算计算为向量的形状(v )放学后工作：教科书练习题2.5 A组777444447444教科书预习，考虑以下几点如何把物理问题变成数学问题？如何用数学模型描述合适的物理现象？板书设计：2.5.1平面几何中的向量方法例基于矢量法的平面几何例2总结问题的“三步曲”预习纲要教育后记：2.5.2向量在物理中的应用实例学习目标：运用向量知识解决物理中关系力的分解与合成、速度的分解与合成、位移的分解与合成以及关系功的计算培养意识，运用数学知识提高解决实际问题的能力体会学科间联系和数学工具应用的普遍性和重要性教学重点：向量在物理中的应用教学难点：向量在物理中的应用教学方法：讨论式教具准备： 几何画板演示例3、例4教育过程：(I )引入新课程：师：向量在物理中的应用是实际将物理问题转换成向量问题，通过向量运算解决向量问题，并用最后得到的结果来解释物理现象本节课通过几个具体例子来说明向量的物理运用(ii )教新课程：例3在日常生活中，你们两个人提出一个旅行包，角度越大是否有辛苦的经验在铁棒上引导向上运动，两臂的角度越小越省力。 你能用数学方法解释这个现象吗？分析：上述问题可以抽象为右图那样的数学模型。 分析f、g、三者之间的关系(这里f为F1、F2的合力)，可以得到问题的数学解释。可以从解|F1|=|F2|、矢量加法的平行四边形的法则、处理的平衡原理、直角三角形的指示中得到|F1|=.根据以上的式子可知，由于随着自由的变大，由于随着自由的变大，其值变大，因此|F1|变小时变大，也就是说F1、F2之间的角度越大越辛苦，角度越小越省力。老师：结合刚才课件的演示，请考虑以下事项为什么值小时，|F1|最小，最小值是多少？|F1|可以等于|G|吗？ 为什么？生：当时，|F1|最小，最小值为|G|，当时，|F1|=|G|例4如图所示，一条河的两岸平行，河宽m，一艘船从a出发到河的对岸。 已知船速度|v1|=10km/h、水流的速度|v2|=2km/h . 询问了在最短路线上行驶的时间是多少(准确地说到0.1min )。分析：如果水静止，船只在垂直于对岸的方向上行驶，就可以使行驶距离最短。 考虑到水的流速，为了使船的行驶距离最短，船的速度和水流速度的合计速度v必须垂直于对岸(水的速度对船的实际航行的影响用几何画板表示)。解：=(km/h )所以(min )a :行驶距离最短时，所需时间为3.1 min(iii )课后练习：教科书练习题2.5 B组(iv )课程总结：用向量知识解决