第四章圆孔应力集中、基础沉降(7,8,9)

4.7薄板圆孔应力集中,一.孔边应力集中：孔边附近区域应力发生局部增大的现象。,特点：,a.孔边周围应力局部增大（应力重新分布）,b.集中是在一定范围内，是局部现象，超过一定距离就无影响。,c.集中同孔的形状有关，与孔的大小无关。,1.模型：分析薄板（无限大）长度与高度孔径。略去体力分量，试求。孔半径r。,薄板可采用直角坐标，圆孔采用极坐标较方便。研究孔问题采用极坐标。,二.受力模型,将薄板直边界变换为圆边界（采用极坐标方便）,在半径为b的圆周上，各点受力状态都是均匀拉伸状态，即x=q，y=0，xy=0，由坐标变换式（4-7）求得及坐标下的应力分量。,取ba,以b为半径作一大圆。取包括圆孔在内的圆环研究,（1）,2.应力边界条件,三.极坐标下问题的平衡方程和相容方程,1.平衡方程,2.相容方程,四.求应力函数,根据远场应力的边界条件可以设三个应力分量可能的形式分别为：,（2）,（3）,把（4）式分别代入（2）式和（3）式可得,由（5）式得到两组方程：,（4）,+,第一组,（5）,（6）,与平衡方程联立,比照前一节类似问题求解结果,应力必有界，故B=0。式中常数重新命名：,利用应力的有界性，由方程组（5）同样解得,第二组,（7）,（8）,（9）,（10）,由（10）式得到,（11）,(8)式减去（9）式并把（10）式代入其中后可以得到,h的通解,h的一个特解,（11）式减去（13）式,（14）式代入（9）式,（12）,（13）,（14）,（15）,（16）,把h代到（13）、（14）式中得到,得出应力的函数表达式,(17),由于应力是有界的，C=0,(18),五.利用应力边界条件确定常数,得出待定常数B、E,又有条件,六.含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解,由此得出常数A、D、G,(19),七.圆孔的应力集中,讨论圆孔边的应力场,(19),八.双向拉伸的解,由叠加法可求：,=,+,b.任意平面应力状态态下圆孔的应力集中,作业：4-15,4-17,严格地说是有误差的，但解答有实用价值,第二组方程,（8）,（9）,（10）,由（10）式得到,（11）,方程组的矩阵解法,，,特征根为,（12）,（13）,（14）,两个方程都得出,，,，,所以有：,（15）,（16）,把式中带入上式中,得出应力,(17),由于应力是有界的，C=0,(18),五.利用应力边界条件确定常数,得出待定常数B、E,又有边界条件,远边界,六.含圆孔的无限大板单向均匀拉伸下的解,由此得出常数A、D、G,(19),讨论圆孔的应力集中,圆孔边的应力场,(19),八.双向拉伸的解,由叠加法可求：,=,+,作业：4-15,4-17,4.9平面楔半平面体受集中力,一.计算模型,单位厚度的受力体一个边界为平面，而在平面以下为无限大的物体。略去体力分量，取单位厚度上所受力为P，应用半逆解法求。,计算简图,2.边界条件,二.拉梅麦克斯韦尔直角坐标方程,1.主应力迹线坐标系,主应力正交，两个主力的迹线可以构成正交坐标系,2.主应力坐标下的方程,根据斜方向上的应力公式,（2）,（3）,把（3）式代入（1）式得,(5),则有,(6a),(6b),同理,三.平面楔顶部集中力的应力计算,另一组主应力迹线与该射线族正交，故必一组同心圆弧。由此判断主应力迹线就是极坐标的坐标线,单位厚度的平面楔，楔体的中心角为2,楔顶部受集中荷载F的边界条件为,显然射线,三条相交于一点的主应力迹线，即o是一组主应力迹线射线族的交汇点,主应力迹线1坐标线正是极坐标的极径,主应力迹线2坐标线正是极坐标的环线,(7a),(7b),由（7b）,根据边界条件,知道,平衡方程变为,x向平衡,y向平衡,对于受水平方向作用集中力的情况根据反对称关系而且面上各点剪应力对o点的矩积分为零，也可以得出楔体极坐标和主应力坐标等价的结论，由此得出它的解。,此时：,（4-29）,四.半无限平面受法向集中力的应力计算,令楔形体,显然可以得到半无限平面的解,五.半无限平面受法向集中力的位移计算,(a),(b),(c),代入xy=0