第十一章 位移法

基本要求：掌握掌握位移法基本结构的确定，位移法典型方程的建立，方程中的系数和自由项的计算，最后弯矩图的绘制。熟练掌握用位移法计算超静定梁、刚架和排架问题。重点掌握荷载作用下的超静定结构计算掌握剪力图和轴力图的绘制、利用对称性简化计算。了解温度改变、支座移动下的超静定结构计算。,第十一章位移法,DisplacementMethod,位移法基本概念等截面直杆的杆端力位移法基本未知量位移法之典型方程法无侧移、有侧移刚架算例位移法之直接平衡法位移法计算对称结构支座移动和温度改变,1、超静定结构计算的总原则:欲求超静定结构先取一个基本体系,然后让基本体系在受力方面和变形方面与原结构完全一样。,力法的特点：基本未知量多余未知力；基本体系静定结构；基本方程位移条件（变形协调条件）。,位移法的特点：基本未知量基本体系基本方程,独立结点位移,平衡条件,？,一组单跨超静定梁,11-1位移法的基本概念,因此，位移法分析中应解决的问题是：确定单跨梁在各种因素作用下的杆端力。确定结构独立的结点位移。建立求解结点位移的位移法方程。,F1=0,ql2/48,位移法基本思路,1、杆端力和杆端位移的正负规定杆端转角A、B，弦转角/l都以顺时针为正。杆端弯矩对杆端以顺时针为正对结点或支座以逆时针为正。,用力法求解,i=EI/l,2、形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力,11-2等截面直杆的杆端力（形常数、载常数）,杆端转角、杆端弯矩、固端弯矩，都假定对杆端顺时针转动为正号。作用与结点上的外力偶荷载，约束力矩，也假定顺时针转动为正号，而杆端弯矩作用于结点上时逆时针转动为正号。,用力法求解单跨超静定梁,由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数（表11-1）。,4i,2i,0,3i,0,i,i,0,3、载常数:由跨中荷载引起的固端力,X1=1P/11,=3ql/8,1=11X1+1P=0,各种单跨超静定梁在各种荷载作用下的杆端力均可按力法计算出来，这就制成了载常数表11-2（P5）,M图,由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。,4、转角位移方程：杆端弯矩的一般公式：,=,+,+mAB,+mBA,5、已知杆端弯矩求剪力：取杆件为分离体建立矩平衡方程：,1、基本未知量的确定：,C,为了减小结点线位移数目，假定：忽略轴向变形，结点转角和弦转角都很微小。,位移法的基本未知量是独立的结点位移；基本体系是将基本未知量完全锁住后，得到的超静定梁的组合体。,结点角位移的数目=刚结点的数目,即：受弯直杆变形前后，两端之间的距离保持不变。结论：原结构独立结点线位移的数目=相应铰结体系的自由度。=刚架的层数（横梁竖柱的矩形框架）。,2、基本体系的确定：,11-3位移法的基本未知量和基本体系,结点转角的数目：7个,1,2,3,相应的铰接体系的自由度=3独立结点线位移的数目：3个也等于层数3,结点转角的数目：3个,独立结点线位移的数目：2个不等于层数1,位移法基本未知量,结点转角,独立结点线位移,数目=刚结点的数目,数目=铰结体系的自由度=矩形框架的层数,在确定基本未知量时就考虑了变形协调条件。,注意:铰处的转角不作基本未知量。杆端为铰支座或铰结点杆件，其杆端力按一端固定一端铰支的单跨超静定梁确定。剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。其杆端力按一端固定一端定向支座的单超静定梁（即剪力静定梁）确定。如图示结构中B端的侧移，C端的侧移D点的线位移均不作基本未知量，不需加附加约束。（DE杆是剪力静定杆）。,结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。,对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。,F1=0F2=0,1,2,位移法基本体系,F1=0F2=0,F11、F21(k11、k21)基本体系在1(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,F12、F22(k12、k22)基本体系在2(=1)单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,F1P、F2P基本体系在荷载单独作用时，附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；,位移法方程的含义：基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力(矩)等于零。实质上是平衡条件。,11-4位移法典型方程,n个结点位移的位移法典型方程,主系数kii基本体系在i=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；,付系数kij=kji基本体系在j=1单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；,自由项FiP基本体系在荷载单独作用时，在第i个附加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；,；再由结点矩平衡求附加刚臂中的约束力矩，由截面投影平衡求附加支杆中的约束力。,1,基本体系,当F1=0,20,MP,=16,2i,4i,3i,i,4i,3i,i,k11,=8i,解之:1=F1P/k11=2/i,利用,叠加弯矩图,16,2,M图(kN.m),k11,+,由已知的弯矩图求剪力：,33,Q图(kN),由已知的Q图结点投影平衡求轴力：,X=0,NAB=0,Y=0,NBD=64.5,校核：,MB=0,Y=27+64.5+16.515448=0,1）确定基本未知量1=B；,2）确定位移法基本体系；,3）建立位移法典型方程；,F1P=159=6,2i,4i,3i,k11=4i+3i=7i,5）解方程，求基本未知量；,M图(kN.m),7）校核平衡条件,MB=0,MP,11-5位移法计算连续梁及无侧移刚架,例：作弯矩图,1、基本未知量,2、基本体系,F1P=4041.7=1.7,3、典型方程,MP,F2P=41.7,k11=4i+3i+3i=10i,k21=2i,k22=4i+3i+2i=9i,k21=2i,5）解方程，求基本未知量；,62.5,3.4,M图(kN.M),F1=0F2=0,4,4,MP,F1P,0,4,F1P=4F2P=6,F2P,4i,2i,6i,6i,4i,k11,k11=10ik21=1.5i,k12,0,k21,k22,k12=1.5ik21=15i/16,解之:1=0.737/i，2=7.58/i,利用,叠加弯矩图,13.62,4.42,5.69,M图(kN.m),11-6位移法计算有侧移刚架,与线位移相应的位移法方程是沿线位移方向的截面投影方程。方程中的系数和自由项是基本体系附加支杆中的反力，由截面投影方程来求。,1、转角位移方程：,两端刚结或固定的等直杆,一端铰结或铰支的等直杆,一端为滑动支承的等直杆,11-9用直接平衡法建立位移法方程,(4)已知杆端弯矩求剪力,位移法计算步骤可归纳如下：1）确定基本未知量；2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，得到位移法方程；4）解方程，求基本未知量；5)将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力；6）按杆端力作弯矩图。,例11-1作弯矩图,1、基本未知量B、C,2、列杆端力表达式,令EI=1,3、列位移法方程,4、解方程,B=1.15C=4.89,=43.5,=46.9,=24.5,=14.7,=9.78,=4.89,=3.4,=1.7,62.5,3.4,M图(kN.M),位移不是真值!,5、回代,6、画M图,B,解之：=0.74/i=7.58/i,=13.89,=4.42,=4.44,4.42,4.44,13.89,5.69,M图(kN.m),1、基本未知量B、,2、列杆端力表达式,3、列位移法方程,4、解方程,5、回代,6、画M图,作图示刚架的弯矩图。忽略梁的轴向变形。解：1）基本未知量只有,2）各柱的杆端剪力侧移刚度J=3i/h2，则：Q1=J1，Q2=J2，Q3=J3,Q1+Q2+Q3=P,J1+J2+J3=P,柱顶剪力：,柱底弯矩：,3）位移法方程X=0,M,结点集中力作为各柱总剪力，按各柱的侧移刚度分配给各柱。再由反弯点开始即可作出弯矩图。,仅使两端发生单位侧移时需在两端施加的杆端剪力。,在讨论结构上各结点的线位移的关系时可用铰结刚化体系来代替原结构。其原因是两者结点间的几何约束条件是相同的：链杆长度不变。,O,瞬心在无穷远,结论：平行柱刚架不论横梁是平的还是斜的，柱子等高不等高，柱顶的线位移都相等。柱子不平行时，柱顶线位移不相等，但也不独立。如杆件两端线位移平行，且不垂直杆轴，则为无侧移杆。,M图,Pl/5,2Pl/5,2Pl/5,R,3ql/8=30kN,R=30kN,=6kN,=24kN,30kN,48,96,96,M图(kN.M),128,1、剪力静定杆的应用：剪力静定杆的两端相对侧移可不作为位移法基本未知量。,11-8位移法计算的简化,先由平衡条件求出杆端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，该端滑动，另端固定的杆计算固端弯矩。,剪力静定杆转角位移方程同一端刚结一端定向支承的梁,剪力静定杆的固端弯矩计算,例题用位移法计算刚架。,解：,1、求固端弯矩：,M图（kN.m),=18kN.m,=18kN.m,=46kN.m,按一端固定一端滑动的杆处理的剪力静定杆，并不包括Q,M都静定的静定杆。如右图中的AB,CD杆。,M反对称,M对称,M图(kN.m),2、应用对称性简化计算,4,4,4,MP,M反对称,等代结构,=1,=20kN.m,=8kN.m,=8kN.m,=4kN.m,4,M对称,=8kN.m,=20kN.m,=8kN.m,=4kN.m,20,M图(kN.m),1）斜梁（静定或超静定）受竖向荷载作用时，其弯矩图与同跨度同荷载的水平梁弯矩图相同。2）对称结构在对称荷载作用下，与对称轴重合的杆弯矩=0，剪力=0。,对图示无结点线位移的刚架和刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，在结点荷载作用下，各杆的弯矩是否为零。,基本体系的荷载弯矩图为零，位移法方程的自由项为零，故结点位移全为零，,刚结桁架，当忽略杆轴向变形的影响时，结点无线位移，在结点荷载作用下，各杆的弯矩为零，其结点可按铰结点计算。,1)支座移动时的计算,基本方程和基本未知量以及作题步骤与荷载作用时一样,只是固端力一项不同。,M图,*11-7支座移动和温度改变时的计算,M反=0,固端弯矩,杆件内外温差产生的“固端弯矩”温变产生的轴向变形使结点产生已知位移，从而使杆端产生相对横向侧移产生的“固端弯矩”,C,C,对称结构对称荷载，对称轴上的点无转角和水平侧移立柱可自由伸长不产生内力，横梁伸长时，柱子产生侧