等腰三角形中辅助线的作法

等腰三角形中辅助线的作法,等腰三角形底边上的中线、底边上的高线、顶角的平分线互相重合，我们将等腰三角形这一性质称之为“三线合一”，“三线合一”适用于等腰三角形问题，用其可以解决同一三角形内部的边角问题.,一、已知等腰作垂线(或中线、角平分线),又CDAD，AEBCACD和ABE均为直角三角形在RtACD和RtABE中BE=CDAB=ACRtACDRtABE(HL)ACDB,在ABC中，ADBC，B2C，求证：ABBDCD,二、构造等腰三角形,在ABC中，ADBC，B2C，求证：ABBDCD,证明：在DC上截取DEDBADBCADBADE又ADADADBADE(SAS)ABAE，ABDAEDB2CAED2C,又AEDCEACCEACAECEABBDAEDECEDECD.,在中如果条件B2C与结论ABBDCD互换，仍然成立吗？试说明理由.,解：仍然成立，理由如下：在DC上截取DEDBADBCADBADE又ADADADBADE(SAS)ABAE，BAEDABBDCD,AEDECD而CEDECDAECEEACC而AEDEACCAED2CB2C,在等腰三角形中，如遇等边或等角，可以考虑作底边上的高线，运用“三线合一”性质解题；如遇垂直平分，可以考虑构造等腰三角形解题.,等腰三角形中辅助线的作法,等腰直角三角形和等边三角形是特殊的等腰三角形，它们除具有等腰三角形的所有性质外，还有自身独特的性质，因而在解题中，可以充分利用它们独特性质构造全等的三角形，以突破解题的难点.,如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)点求C的坐标；(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OPDE的值.,图2,图1,如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角ABC.(1)点求C的坐标；,解:(1)如图1，过C作CMx轴于M点，MAC+OAB=90，OAB+OBA=90，则MAC=OBA，又CMA=AOB=90，AC=AB,MACOBA(AAS),CM=OA=2，MA=OB=4，OM=OA+AM=2+4=6,点C的坐标为(-6，-2).,图1,解:(2)如图2，过点D作DQOP于Q点，则DE=OQ,OP-DE=OP-OQ=PQ,APO+QPD=90，APO+OAP=90，QPD=OAP,又AOP=PQD=90，AP=PD，AOPPQD(AAS),PQ=OA=2.即OP-DE=2.,(2)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点沿y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，PA为腰作等腰直角APD，过D作DEx轴于E点，求OP-DE的值.,图2,如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证：MNBMCN.,如图，ABC是正三角形，BDC是顶角BDC120的等腰三角形，以D为顶点作一个60的角，角的两边分别交AB、AC于M、N两点，连结MN，求证：MNBMCN,证明：延长MB至点E使BECNBDC120，DBDC2330ABC是正三角形160,ABD90同理ACD90DBEDCN90由得DCNDBE,DNDE，36460，BDC1205360MDE5660MDE4DMDM由得MEDMNDMNMEMBEBMBCN,遇等腰