九类常见递推数列求通项公式方法

递推数列通项求解方法类型一：（）思路1（递推法）：。思路2（构造法）：设，即得，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。例1 已知数列满足且，求数列的通项公式。解：方法1（递推法）：。方法2（构造法）：设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即。类型二： 思路1（递推法）：。思路2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，即。例2 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠加法）：，依次类推有：、，将各式叠加并整理得，。类型三： 思路1（递推法）：。思路2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。例3 已知，求。解：方法1（递推法）：。方法2（叠乘法）：，依次类推有：、，将各式叠乘并整理得，即。类型四： 思路（特征根法）：为了方便，我们先假定、。递推式对应的特征方程为，当特征方程有两个相等实根时， (、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程有两个不等实根时、时，(、为待定系数，可利用、求得)；当特征方程的根为虚根时数列的通项与上同理，此处暂不作讨论。例4 已知、,求。解：递推式对应的特征方程为即，解得、。设，而、，即，解得，即。类型五： （）思路（构造法）：，设，则，从而解得。那么是以为首项，为公比的等比数列。例5 已知，求。解：设，则，解得，是以为首项，为公比的等比数列，即，。类型六： （且）思路（转化法）：，递推式两边同时除以得，我们令，那么问题就可以转化为类型二进行求解了。例6 已知，求。解：，式子两边同时除以得，令，则，依此类推有、，各式叠加得，即。类型七： （）思路（转化法）：对递推式两边取对数得，我们令，这样一来，问题就可以转化成类型一进行求解了。例7 已知，求。解：对递推式左右两边分别取对数得，令，则，即数列是以为首项，为公比的等比数列，即，因而得。类型八：（）思路（转化法）：对递推式两边取倒数得，那么，令，这样，问题就可以转化为类型一进行求解了。例8 已知，求。解：对递推式左右两边取倒数得即，令则。设，即，数列是以为首项、为公比的等比数列，则，即，。类型九： （、）思路（特征根法）：递推式对应的特征方程为即。当特征方程有两个相等实根时，数列即为等差数列，我们可设（为待定系数，可利用、求得）；当特征方程有两个不等实根、时，数列是以为首项的等比数列，我们可设（为待定系数，可利用已知其值的项间接求得）；当特征方程的根为虚根时数列通项的讨论方法与上同理，此处暂不作讨论。例9 已知， （），求。解：当时，递推式对应的特征方程为即，解得、。数列是以为首项的等比数列，设，由得则，即，从而，。常见递推数列通项公式的求法重、难点：1. 重点： 递推关系的几种形式。2. 难点：灵活应用求通项公式的方法解题。【典型例题】例1 型。（1）时，是等差数列，（2）时，设 比较系数： 是等比数列，公比为，首项为 例2 型。（1）时，若可求和，则可用累加消项的方法。例：已知满足，求的通项公式。解： 对这（）个式子求和得： （2）时，当则可设 解得：， 是以为首项，为公比的等比数列 将A、B代入即可（3）（0，1）等式两边同时除以得令 则 可归为型例3 型。（1）若是常数时，可归为等比数列。（2）若可求积，可用累积约项的方法化简求通项。例：已知：，（）求数列的通项。解： 例4 型。考虑函数倒数关系有 令 则可归为型。 练习：1. 已知满足，求通项公式。解：设 是以4为首项，2为公比为等比数列 2. 已知的首项，（）求通项公式。解： 3. 已知中，且求数列通项公式。解： 4. 数列中，求的通项。解： 设 5. 已知：，时，求的通项公式。解：设 解得： 是以3为首项，为公比的等比数列 【模拟试题】1. 已知中，求。2. 已知中，（）求。3. 已知中，（）求。4. 已知中，（）求。5. 已知中，其前项和与满足（）（1）求证：为等差数列 （2）求的通项公式6. 已知在正整数数列中，前项和满足 （1）求证：是等差数列 （2）若求的前n项和的最小值1. 解：由，得 2. 解：由得： 即是等比数列 3. 解：由得 成等差数列， 4. 解： （） （）设即 是等差数