高三数学第一轮复习：数列（二）（理）人教实验A版知识精讲

高三数学第一轮复习：数列（二）（理）人教实验A版【本讲教育信息】一. 教学内容：数列（二）二. 重点、难点（1）定义：（2）关键量：（3）通项：（4）前n项和：（5）若，则成等比数列成等比数列，成等差数列（6）任意同号实数，有等比中项（7）公式法求和（8）裂项法求和（9）错位相减求和【典型例题】例1 数列，若数列成等比数列，求。解：， 或例2 等比数列，求证解： *，*0 ，*0 例3 等差数列，等比数列，求。解： 或例4 等比数列，中最大项是54，求解：（1） 不合题意（2） 中最大 例5 等比数列，前n项和，数列满足，求使的n的最小值。解：首项，公比为 即 例6 等比数列首项公比均为，若，求的范围。解： 对一切成立，即（1） 最小值为 （2） 综上所述例7 求和（1） （2） （3）（4） （5） （6）解：（1）（2） ， （3） （4） （5）（6） 例8 在等比数列中，已知，求前8项的和。分析：利用已知的两个等式条件，可得和q的两个方程，解之可得数列，从而便可求得。解析：解法一：设数列的公比为q，依题意 将代入到式，得，舍去。将代入到式得，。当，当，。解法二：因为是等比数列，所以依题设得 ，因为是实数列，所以故舍去，得，。从而公比q的值为当q=2时， 当时， 例9 设为等比数列，已知，。求：（1）数列的首项和公比；（2）数列的通项公式。解析：（1）设等比数列的公比为q，则， ， （2）解法一：由（1）可知 解法二：设由（1），知 例10 记等比数列的前n项和为，已知，求的通项公式。解析：设的公比为q，由，知，所以得 由式得整理得，解得所以或将代入式得 所以将代入式得 所以例11 是无穷等比数列的前n项和，且公比，已知1是和的等差中项，6是与的等比中项。求：（1）和；（2）此数列的通项公式； （3）数列的前n项和。解析：（1）根据已知条件整理得解得 即（2） ，则可解得 （3）由（2）得例12 若是方程的两实根，而且成等比数列。（1）求m的值；（2）数列的通项公式为，且是它的前n项和，求证：。分析：根据方程根与系数的关系求出与m的关系，从而得出m的值；利用裂项法求，利用单调性证明不等式。解析： 为方程的两实根 ，且，又成等比数列 （2）证明： 又 ，所以要证，只要证即可 ， 故，得证例13 数列的前n项和记为，已知，证明：（1）数列是等比数列；（2）。证明：（1） ， 整理得所以故是以2为公比的等比数列（2）由（1）知于是又故因此对于任意正整数，都有。在等比数列中，前n项和为，若成等差数列，则成等差数列。（1）写出上述命题的逆命题；（2）判断逆命题是否为真，并给出证明。解析：（1）逆命题：在等比数列中，前n项和为，若成等差数列，则成等差数列。（2）设的首项为，公比为q由已知得 或当时， 不成等差数列；当时， 成等差数列。综上得当公比时，逆命题为假；当公比时，逆命题为真。例14 已知为函数图象上的点，为函数图象上的点，设，其中。（1）求证：数列既不是等差数列也不是等比数列；（2）试比较与的大小。解析：（1）证明：依题意，。假设是等差数列，则，即，产生矛盾 不是等差数列假设是等比数列，则，即，有，产生矛盾 也不是等比数列（2） ， 又 ， 例15 设正项等比数列的首项，前n项和为，且。（1）求的通项；（2）求的前n项和。解析：（1）由得即可得 解之得，因而，。（2）因为是首项，公比的等比数列，故 则数列的和两式相减即例16 已知数列满足是首项为1，公比为的等比数列。（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和。解析：（1）当时， 因此（2） 令 则 由得 又 【模拟试题】（答题时间：50分钟）1. 已知数列，满足，那么的值为（ ）A. 20022001B. C. 20202002D. 202020202. 设是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是（ ）A. 1B. 2C. 4D. 63. 正项等比数列满足：，则数列的前10项的和是（ ）A. 65B. 65C. 25D. 254. 等比数列的首项，前n项为，已知，则（ ）A. B. C. 2D. 5. 设是一次函数，若，且成等比数列，则等于（ ）A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前n项和为，若，且，则m=（ ）A. 11B. 10C. 9D. 87. 等比数列的公比，则（ ）A. 42B. 63C. 84D. 1688. 在西部大开发中，西部某厂在国家积极财政政策的推动下，积极吸收外资，盘活工厂活力，计划从2020年1月起，到2020年12月止的36个月中，月产值不断递增且构成等比数列，若逐月累计的产值满足关系式，则该厂的年增长率为（精确到万分位）（ ）A. 12.86%B. 12.68%C. 12.79%D. 12.80%9. 已知，把数列的各项排列成如下的三角形状：记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（21，12）=（ ）A. 411B. 412C. 413D. 42010. 已知数列是一个等差数列，其前n项和为，当首项和公差d 变化时，是一个定值。现将分别填入正方体的六个面内，如图是此正方体的两种不同放置方式，则由此可以推断填入定值的那一个面所对的面内填的是（ ）A. B. C. 或D. 11. 北京市成成功举办2020年奥运会，决定从2020年到2020年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2020年底更新车辆数约为现有总车辆数的（参考数据）（ ）A. 10%B. 16.4%C. 16.8%D. 20%12. 已知数列满足，若，则的值为（ ）A. B. C. D. 13. 已知等差数列10，7，4，则该数列的第10项为（ ）A. 17B. 20C. 17D. 2014. 等差数列中，则为（ ）A. 3B. 7C. 10D. 1115. 等比数列的各项为正，公比q满足，则的值为（ ）A. B. 2C. D. 16. 在等比数列中，已知，则等于（ ）A. 10B. 25C. 50D. 7517. 一个等差数列共有10项，其中偶数项的和为15，则这个数列的第6项是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 618. 在各项都为正数的等比数列中，首项，前三项和为21，则等于（ ）A. 33B. 72C. 84D. 18919. 已知数列满足，则等于（ ）A. 0B. C. D. 20. 在各项均为正数的等比数列中，若，则等于（ ）A. 12B. 10C. 8D. 21. 在等差数列中，若，则n值为（ ）A. 14B. 15C. 16D. 1722. 已知数列成等差数列，成等比数列，则的值为（ ）A. B. C. 或D. 23. 是各项均为正数的等比数列，是等差数列，且，则有（ ）A. B. C. D. 24. 在等差数