2020-2021学年高中数学 第2章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数学案 新人教A版必修1

2.3幂函数学习目标核心养心1.要理解幂函数的概念，就要找到幂函数的解析表达式。(要点，易于混合的要点)2.掌握幂函数图像y=x，y=x2，y=x3，y=，y=x的性质(强调，难度)3.幂函数的单调性可以用来比较指数幂的大小。1.结合幂函数形象培养视觉想象的数学素养。2.利用幂函数的性质提高逻辑推理的数学素养。1.幂函数的概念通常，函数y=x 被称为幂函数，其中x是自变量，是常数。思考：幂函数和指数函数的自变量之间有什么区别？建议幂函数的形状为y=x ( r)，自变量在基数上，而指数函数的形状为y=ax (a0和a1)，自变量在指数上。2.幂函数图像，在同一平面直角坐标系中，绘制幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x，y=x-1，如图所示：3.幂函数的本质，y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义领域rrr0，+)x|x0范围r0，+)r0，+)y|y0同等奇数的甚至奇数的不奇怪，也不奇怪奇数的单调性递增函数x0，+)何时，增加功能x(-，0当，减法函数递增函数递增函数x(0，+)当，减法函数x(-，0)当，减法函数1.以下函数不是幂函数()a.y=b.y=x3c.y=3xd.y=x-1只有y=3x不符合幂函数的形式y=x ，所以c.2.如果f (x)=(m 1) x已知为幂函数，则m=()a.2b.1c.3d.0d m+1=1=1，即m=0，f(x)=x2.3.如果幂函数f (x)=x 已知为图像交叉点，则f(4)=1_。来自f (2)=2=，即=-，f(4)=4-=.幂函数的概念示例1已知y=(m22m-2)x 2n-3是幂函数，并且获得m和n的值。解答就是从这个问题的含义中推导出来的。所以m=-3，n=。判断函数是否为幂函数的方法判断函数是否为幂函数的依据是函数是否为y=x (为常数)，即函数的解析表达式为幂形式，必须满足以下要求：(1)指数为常数；(2)基数是自变量；(3)系数为1。1.(1)在函数y=，y=2x2，y=x2 x，y=1中，幂函数的数量为()0 b.1c.2 d.3(2)如果函数f(x)是幂函数，并且满足f (4)=3f (2)，则f的值等于_ _ _ _ _ _。(1)b(2)(1)y=x-2，是一个幂函数；由于系数2的出现，y=2x2不是幂函数；y=x2 x是两项之和的形式，不是幂函数；y=1=x0 (x 0)，可以看出，具有常数函数y=1的图像比具有幂函数y=x0的图像多一个点(0，1)，因此常数函数y=1不是幂函数。(2)设f (x)=x ，87 f (4)=3f (2)， 4=32，解=log23， f=。幂函数图像及其应用点(、(2)和点分别在幂函数f(x)和g(x)的图像上。当被问及x值是多少时，有：(1)f(x)g(x)；(2)f(x)=g(x)；(3)f(x)g(x)；(2)当x=1时，f(x)=g(x)；(3)当x(0，1)时，f(x)cbab.abcdc.dcabd.abdc(2)函数y=x-1的图像约为()ab c d(1)b (2)b (1)顺序a=2，b=，c=-，d=-1，完全符合题目给出的形式。在第一个象限中，x=1的右边部分的图像的功率指数从下到上增加，因此选择abcd。(2)y=x的像位于第一象限，是递增函数，所以函数的像是递增的。函数y=x-1的图像可以被认为是通过将y=x的图像向下平移一个单位而获得的(如选项a中的图所示)。y=x-1的图像是选项b.幂函数性质的综合应用探索问题1.(0，)上的幂函数y=x 的单调性与有什么关系？建议当0时，幂函数y=x 在(0，)上单调增加；当0时，幂函数y=x 在(0，)上单调递减。2.23.1和23.2可视为哪个函数的两个函数值？两者之间的大小关系是什么？注：23.1和23.2可视为函数f (x)=2x的两个函数值，因为函数f (x)=2x单调增加，所以23.1 23.2。3.2.3-0.2和2.2-0.2可视为哪个函数的两个函数值？两者之间的大小关系是什么？提示：2.3-0.2和2.2-0.2可视为幂函数f (x)=x-0.2的两个函数值，因为函数f (x)=x-0.2在(0，)上单调递减，所以2.3-0.2 2.2-0.2。示例3比较以下组中的功率值：(1)30.8，30.7；(2)0.213，0.233；(3)2，1.8；(4)1.2，0.9，其思想是构造一个幂函数或指数函数，并利用其单调性来求解。解(1)函数y=3x是增函数，0.8 0.7。30.830.7.(2)函数y=x3是递增函数，0.21 0.23，0.2130.233.(3)函数y=x是增函数，2 1.8，21.8.y=1.8x是递增函数，1.81.8,21.8.(4)0.9-=，=1.1。1 . 21 . 1，y=x在0上单调增加，1.21.1，也就是1.20.9。如下所示替换本例中的每组数据，然后比较它们的大小关系：(1)和；(2)和；(3)和。解 (1)因为幂函数y=x 0.5在0上单调增加，所以。(2)因为幂函数y=x-1在(-，0)上单调递减，所以。(3)因为函数y1=是r上的减法函数，所以。也因为函数y2=x是(0，)的增函数，所以，所以。比较幂的关键是找出基数是否与指数相同。如果基数相同，则用指数函数的单调性来比较幂。如果指数相同，用幂函数的单调性来比较大小。如果基数和指数不同，考虑使用中位数方法来比较大小。这里的中值可以是“0”或“1”或1.8，如实施例3(3)所示1.要点：(1)幂函数的概念是区分指数函数和处理幂函数相关问题的基础。判断一个函数是否是幂函数的关键是判断它是否符合y=x (是常数)的形式。(2)幂函数的单调性是比较幂值之间关系的重要依据。我们应该学会用幂函数的图像和性质来处理幂值的比较。2.数学思想：幂函数的形象是幂函数本质的直接反映。类比思维将用来分析函数y=x (是常数)的形象与五个函数(y=x，y=x2，y=x3，y=x-1，y=x)的性质之间的关系。1.思考和分析(勾选“正确”和“不正确”)(1)幂函数图像都通过点(0，0)、(1，1)。()(2)幂函数图像不得出现在第四象限。(3)当幂指数为1，3时，幂函数y=x 为增函数。()(4)当幂指数=-1时，幂函数y=x 是域中的负函数。回答 (1) (2) (3) (4)2.如果幂函数的图