2020-2021学年高中数学 第2章 平面向量 2.1.1 向量的物理背景与概念 2.1.2 向量的几何表示 2.1.3 相等向量与共线向量学案 新人教A版必修4

2.1.1向量的实体背景和概念2.1.2向量的几何图形表示2.1.3等向量和共线向量学习目标核素食主义1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面矢量的实际背景。理解矢量的概念和矢量的几何表达。(焦点)2.理解共线矢量、等矢量的概念。(困难)准确区分矢量与直线平行。(容易混合的点)1.通过对矢量概念的学习，提高数学抽象素养。2.利用向量的几何意义培养学生数学抽象及直观想象的核心素养。3.通过对等向量和平行向量的学习，提高学生逻辑推理的核心素养。1.向量和数量(1)矢量：具有现有大小和方向的量称为矢量。(2)数量：只有大小，没有方向的数量称为数量。2.向量的几何表现法(1)具有方向的线段称为垂直线段。这包括三个元素：起点、方向和长度。(2)矢量是。可以用矢量的大小表示，即矢量的长度(或凹模)| |。向量是字母a、b、c、可以显示为，也可以显示为表示矢量的乳香线段的开始和结束文字，例如，想法：(1)矢量可以比较大小吗？(2)乳香线段是矢量吗？提示 (1)矢量不能比较大小，但矢量的模块可以比较大小。(2)直接线段只是表示矢量的图形工具，不是矢量。3.向量的相关概念零向量将长度为零的向量记录为0单位向量长度等于1个单位的矢量平行向量(共线向量)方向相同或相反的非零向量以向量a、b平行、a/b记录建议：0向量与任意向量平行等向量长度相同、方向相同的矢量向量a与b相同，记录为a=b1.正n边形有n条边，其向量为a1、a2、a3、如果是an，则为n个向量()a.等于b。共线c.不共线。d .模型相同d 因为多边形是正多边形，所以边的形状等，所以每条边的对应向量都是相同的。有以下物理量：质量；温度；角度；弹性；风速。从中可以看作矢量()a.1 b.2c.3 d. 4b 不是矢量，而是矢量。3.|=1，| |=2，abc=90时| |=_ _ _ _ _ _。三角形abc是以b为直角的直角三角形，因此| |=。4.在图中，当四边形abcd是平行四边形时，图形中的相同向量为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _(填充顺序)。(1)和；(2)和；(3)和；(4)和。(1)(4)可视为平行四边形的特性和等角向量的定义：=，=。向量的相关概念【例1】请判断以下命题是否正确，并说明原因：(1)如果矢量a与b的方向相同，并且|a|b|，则为ab；(2)如果矢量| a |=| b |，则a与b的长度相同，方向相同或相反；(3)对于任何矢量，| a |=| b |，如果a和b的方向相同，则a=b；(4) 0方向不确定，因此0与任意矢量不平行；(5)如果向量a平行于向量b，则向量a与b方向相同，反之亦然。想法点：这个问题的答案根据向量的概念，需要注意向量的大小和方向两个因素。解决方案 (1)无效。矢量由大小和方向两个因素决定，因此两个矢量不能比较大小。(2)无效。| a |=| b |可以确定两个向量的长度相等，无法确定方向关系。(3)正确| a |=| b |，a与b的方向相同，因此a=b(4)无效。按照规定：0与任意矢量平行。(5)无效。如果矢量a和矢量b中的一个是0矢量，则不确定方向。1.理解0矢量和单位矢量应注意的问题(1) 0向量的方向是任意的，所有0向量都相同。(2)单位向量不一定相同，容易忽略向量的方向。2.共线和平行向量(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别；(2)具有共线向量的线可以平行，这与平面几何图形的共线不同；(3)平行向量可以位于同一直线上，而不是平行于平面几何图形的线。通知：解决与矢量概念相关的问题的关键是强调矢量的核心方向和长度。后续培训1.提出以下命题： a/b，b/c表示a/c如果单位矢量的起点相同，则端点相同。起点不同，但方向相同，模式相同的一些矢量是等矢量。如果向量为共线向量，则a，b，c，d 4点必须在同一条线上。其中正确命题的序号是_ _ _ _ _ _ _ _ _。 错误。如果b=0，那么不是。错误。起点相同的单位矢量，端点可能不相同；对。矢量只要不改变大小和方向，就可以任意移动。错误。共线矢量是平行矢量，只要求相同方向或相反方向，两个矢量不需要，必须位于同一直线上。矢量表示和应用(范例2) (1)插图中，b，c是线段ad的三等分点，每个点均为起点和终点，因此您可以写入_ _ _ _ _ _ _ _ _个向量。(2)在坐标纸上(每个小矩形边的长度为1)，使用标尺和指南针绘制以下矢量，如图所示：将点o东北45处的点a设定为4。在点a的东边|=4，创建点b。点b到东北30 | |=6，点c。(1)12 可以写12个矢量。分别为、(2)解 因为点a位于点o到东北45点，所以点a的水平和垂直等于点o的水平和垂直等于小正方形的数量。此外，由于| |=4，小正方形的长度为1，因此点a的水平方向和点o的垂直方向都是4，因此点a的位置可以绘制矢量，如图所示。由于点b位于点a的正东方方向，并且| |=4，因此在坐标图纸中，点b从点a开始的水平小方块数为4，垂直小方块数为0，因此点b位置可以绘制矢量，如下所示：点c在点b到东北30，| |=6，所以根据毕达哥拉斯定理是可能的。在坐标图纸中，点c的位置可以绘制矢量，因为点b的水平小方块数为3，垂直小方块数为3 5.2。1.向量的两种表示法(1)几何表示法：确定向量的起点，指定向量的方向，然后根据向量的长度确定向量的终点。(2)文字表现法：为了便于运算，字母a、b、c表示表示向量正向线段的起点和终点的向量，例如，等，以连接平面几何图形中的图形性质。2.两种向量表示的作用(1)通过用几何表示向量，用几何方法轻松研究向量运算，为用向量处理几何问题奠定了基础。(2)用文字表示矢量，便于矢量运算。后续培训2.有人从a点向东走5米，到达b点。改变方向，向东北走10米，到达c点。到达c点，再次转向，向西走10米，到达d点。(1)创建矢量，(2)求的模型。解 (1)创建向量，如下所示：(2) bcd是直角三角形。其中bdc=90、bc=10m、cd=10m，因此bd=10m。 abd是直角三角形。其中，| |=5m，因为abd=90，ab=5m，bd=10m，所以ad=5(米)。相等和共线向量探究问题1.两个相同非零向量的起点和终点是否分别重合？提示：不一定。因为矢量都是自由矢量，所以如果大小相同，无论起点位置和终点位置如何，它们在同一方向都是相同的矢量。2.如果从直线ab和直线cd的关系以及与的方向关系两个方面考虑什么情况？提示：分为四种情况(1)直线ab和直线cd在同一方向重合。(2)直线ab和直线cd重合且相反。(3)直线ab直线cd，和同向；(4)直线ab线性cd，和反转。示例3如图所示，o是正六角形abcdef的中心，=a，=b，=c(1)等于a的长度且方向相反的矢量有什么？(2)与a共线的向量是什么？(3)一一列出与a，b，c相同的向量。想法点：根据共向量和共线向量的概念，寻找所需向量。解 (1)等于a的长度，方向相反的向量为、(2)与a共线的向量为、(3)与a相等的向量为，与b相同的向量为，与c相同的向量是、1.此范例中的条件保持不变，并建立与向量相同的向量。解相等向量是长度相等、方向相同的向量，因此图中与相同的向量是、2.此范例中的条件保持不变，建立的共线向量等于向量长度。与解长度相等的共线向量为、3.在此范例中，如果| a |a|=1，则正六角形边长度是多少？解决方案正六角形中，每个角连接到中心的三角形是正三角形。 foa是等边三角形，因此边长af=| a |=1。共向量和共线向量导航方法(1)查找各向同性矢量：首先查找表示已知矢量的各向同性线段的长度等矢量，然后确定共线矢量。(2)寻找共线向量：首先寻找与表示已知向量的垂直线段平行或共线的线段，建构相同方向和反转向量，以表示已知向量的乳香线段的终点为起点，并注意不要错过起点为终点的向量。通知：对于与矢量平行的问题，不要忽略0矢量。向量是大小和方向都有的量。解决向量问题时，必须同时考虑大小和方向。此外，请注意理解以下概念：1.平行向量：方向相同或相反的非零向量称为平行向量。所有矢量都是自身和平行矢量。2.共线矢量，即平行矢量，多个非零矢量的方向必须相同或相反，直线可以平行或重合。“共线”的含义在平面几何图形中不是“共线”。3.等向量：长度相同、方向相同的向量称为等向量。如果矢量定义相等，则表明只要一个矢量的大小和方向保持不变，就可以进行平移。因此，当矢量显示为流向段时，可以任意选择流向段的起点。4.有两个特殊向量 0向量和单位向量，0向量与任意向量平行，单位向量无限多，所有具有相同起点的单位向量的端点在平面上形成单位圆。1.在以下判断中，确切地说是()长度为零的矢量都是零矢量。零矢量的方向相同。单位向量的长度相同。单位矢量方向相同。任意矢量和零矢量共线。a.b .c.d .d 由定义知道是正确的， 0向量的方向是任意的，因为两个0向量的方向是相同的不确定性，所以不准确。很明显准确，错了，所以d.2.如果汽车以120公里/小时的速度向西行驶2 h，摩托车以45公里/小时的速度向东北行驶2 h，以下命题中正确的是a.汽车的速度大于摩托车的速度b.汽车的位移比摩托车的位移大c.汽车比摩托车走得更远d.异常错误c 速度，位移是向量，有大小，有方向，大小无法比较，距离可以比较大小。在以下命题中：平行向量必须相同；不相等的向量不得平行。共线矢量必须相同；等