《三角恒等变换单元教学设计》教案（新人教A版必修4）

必修4第三章 三角恒等变换单元教学设计案例 3.1.1两角和与差的余弦（一）教学目标知识目标：掌握用向量方法建立两角差的余弦公式，通过简单运用，使学生初步理解公式的结构及其功能，为建立其它和（差）公式打好基础.能力目标：进一步理解向量法解决问题的方法，培养学生运用数学工具在实践中探索知识，进而获取知识的能力情感目标：培养学生探索和创新的意识，构建良好的数学思维品质（二）教学重点，难点本节课的重点是使学生掌握两角和与差的余弦公式难点是两角差的余弦公式的推导与证明（三）学法与教学用具1. 学法：启发式教学2. 教学用具：多媒体（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图探究提出问题并引入新课师：探究生：反例：问题：的关系？创设问题的情景，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动复习复习有关知识，寻求解决问题的思路复习：1。余弦的定义 在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角的终边与单位圆的交点为P,等于角与单位圆交点的横坐标 2能否用向量的方法求角的余弦？ 师：M、N是两边上任一点，（显然为了简化计算，取M、N为两边与单位圆的交点， 此时有）通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫。公式的推导公式的推导证明公式理解和基本掌握。如图构造角，终边与单位圆交于Q, , 师：指出角与关系：生：则师：写出点P、Q坐标生: 带领学生推导公式：（板书）因为： 所以：公式记号通过定义的复习，在坐标系中找到差角的几何表示，利用以上的铺垫引导学生试探采用向量方法去解决问题，同时也体会到向量的工具性作用。公式的深化对公式进行更深层次的认识思考并讨论：（投影）1） 问题解决的思路与方法2） 体现了与的任意性吗？3）探究 cos(a-b)的公式由学生回答上述问题，教师点评：结论如下1）主要利用了向量这个工具，体会其作用与便利之处.。回归到余弦的定义，数形结合，利用单位圆简化了计算。2）与有任意性，有 说一该公式具有一般性。3）把公式C-中的换成-，则有板书：cos-（-）=coscos（-）sinsin（-）coscos-sinsin，即cos（+）=coscos-sinsin（，R）公式记号师：公式有何特点？如何记忆生： 公式的结构和特点：“同名异和差”主要是公式右端中间的“、-”号与公式左端与间的“-、”号正好相反对推导过程进行回顾，彻底理清解决问题的思路，体会用到的数学思想及方法。同时通过对问题的讨论，让学生对公式对有一个清晰完整的认识，为公式的灵活运用打下基础，进一步培养学生探索的能力。对公式进行深挖掘，显示其“辐射”的作用培养学生的分析、联想能力、优化思维品质。公式的应用例1、利用和、差角余弦公式求及的值学生练习、板演，教师讲评注意将一般角转化为特殊角的和或差，可以不查表求值让学生初步掌握公式的应用，并进一步熟悉公式的特征，为以后灵活应用作铺垫。归纳小结从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结公式推导中向量的应用公式的结构特征在三角变换时，本公式应用中，首先应考虑根据题目的条件与结论来进行角的变换 使学生对本节知识有一个清晰完整地认识，并点出问题解决的基本思路与方法。布置作业教材习题3.1.1练习A 1,2,3练习B 1思考题：巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，给学有余力的学生留出自由发展的空间案例.1()（一）教学目标 知识目标：掌握公式结构特点，会用公式求值 能力目标：培养学生的观察，分析，类比，联想能力，间接推理能力，自学能力 情感能力：发展学生正向，逆向思维能力，构建良好的数学思维品质（二）教学重点，难点重点是公式的结构特点，会用公式求值难点是公式的逆向和变形运用（三）教学方法教师按照课本的知识结构先设计若干问题，课前印发给学生，引导他们阅读课本，课堂上在教师三导（引导，指导，辅导）下，以学生为主体，对所设问题进行读，议，练，讲，其间教师通过提问，参与讨论，巡视学生练习及板演，观察学生情绪等渠道，及时搜集反馈信息，及时作出评价，再发指令，使教学过程处于动态平衡中（四）教学过程教学环 节教学内容师生互动设计意图复习引入复习公式先让学生默写两角和与差的余弦公式，然后指出这两个公式是讨论复角与单角的余弦函数间的关系，且此关系对任意角均成立，并且要注意是错误的以旧引新，注意创设情境，通过设疑，引导学生开展积极的思维活动公式的运用例，已知，求例学生练习，板演，教师讲评注意几个问题：（） 特殊角不需要查表，直接求出三角函数值（） 再求时，要注意角的取值范围，三角函数值的正负（） 代入时，从左至右依次代入（） 注意可以象上面这样逆用例是使学生掌握公式的正向应用，并进一步熟悉公式的特征，为后面的灵活运用奠定基础变式：已知且均为锐角，求变式教师讲评注意几个问题：（） 将看作一个整体，角由得到（） 应用公式（） 由得到，再进一步参考确定的值变式是一个典型例题，在变式中注意配凑公式，对它的解法深入讨论，有益于启发学生思维，提高学生的解题能力，且在解题过程中提炼思想方法，有利于培养学生良好的思维品质公式的运用例利用证明：例学生练习，教师讲评注意两个问题：（） 方法可以按和差角的余弦公式直接展开，将看作一个整体角（） 方法也可以，再按诱导公式进行运算例要求学生用两种方法来做，培养学生良好的思维品质公式的运用练习，已知求练习使用平方法将两个等式平方，然后相加，利用只剩下问题得解思维过程可以逆向，（考虑由入手，寻找想到平方）通过这个练习，培养学生良好的发现问题解决问题的能力归纳小结从知识，方法两个方面来对本节课的内容进行归纳总结对公式做到一掌握，二会想，三会用使学生对所学内容有一个清晰完整的认识，并点出三角公式的基本方法，体现了授之以鱼，不如授之以渔的教育思想布置作业教材练习B2,3教材p154页思考题：1 已知cos(a-b)=求 (sina+sinb)2+(cosa+cosb)2的值。2 sina-sinb=-，cosa-cosb=， a(0, ),b(0, ), 求cos(a-b)的值巩固本节课所学知识，培养学生自觉学习的习惯，同时给学有余力的学生留出自由发展的空间3.1.2 两角和与差的正弦一、教学目标1、知识与技能目标：能从两角差的余弦公式导出两角和、差正弦公式，了解它们的内在联系。2、过程与方法目标：引导学生推导和角公式，使学生认识整个公式体系的推理和形成的过程。从这一过程中，使学生领会其中体现出来的数学基本思想、蕴含的创新思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质。3、情感、态度与价值观目标：通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识的发展过程，体会一般与特殊的关系与转化，培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。体会学科间的联系。二、教学重点、难点1. 教学重点：两角和、差正弦公式的应用和旋转变换公式。2. 教学难点：利用两角和的正弦公式变为一个角的三角函数的形式。三、教学方法研讨式教学，讲授式教学四、教学过程：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和与差的余弦公式：；这是两角和与差的余弦公式，下面大家思考一下两角和与差的正弦公式是怎样的呢？提示：在第一章我们用诱导公式五（或六）可以实现正弦、余弦的互化，这对我们解决今天的问题有帮助吗？让学生动手完成两角和与差正弦公式.让学生观察认识两角和与差正弦公式的特征 里加外加，里减外减 顺序不变简单应用：（视学生情况，2可酌情删减）1、求的值（答案：）2、（口答）课本138页练习A 14题 （二）例题讲解例题安排：例1与例2是三角与向量的综合问题，其过程是一次旋转变换。例1是例2的一个特例，在编排上体现了由特殊到一般的认识规律，例2求证的结论是一组旋转变换公式。由此，在安排上，例1作为重点讲解，而例2则留给学生自己课下解决。培养学生举一反三，由特殊到一般的学习能力。例3与例4也是由特殊到一般的关系。先讲例3降低了难度，为例4打好了基础，这样例4便也可由同学仿照例3研讨得出。例5 体现了数学学科与物理学科的联系，增强了学生的学习兴趣，可留作思考作业课下完成。例1、已知向量，逆时针旋转到的位置。求点的坐标解题分析：问题1、P点坐标知道吗？ 问题2、旋转到，什么变了，什么没变？ 问题3、通过前面的学习，你能利用三角函数的知识解决这个问题吗？解：设 由可知所以，而又因为 同理 所以 同理 所以例2（学生课下仿照例1研讨完成）已知点，与原点的距离保持不变，逆时针旋转角到点。求证：证明：设，则同理 从而 即 例3、化简解题分析：此题与我们所学的两角和与差正弦、余弦不相象，但我们能否发现规律呢？ 解：思考：是怎么得到的？发现，我们是构造一个角使它的正、余弦分别等于和，即和例4、（教师引导学生仿照例3研讨完成）求函数的最大值、最小值和周期，其中是不同时为零的实数。解：由例3 知 可写为 ，其中则，原式所以函数的最大值是，最小值是，周期是注：此题结论可作为公式记住，可方便解题。例5、（学生课下完成）已知三个电流瞬时值的函数式分别是，求它们合成后的电流瞬时值的函数式，并指出这个函数的振幅和初相。解: 其中所以。振幅为，初相为（三）小结：本节我们学习了两角和与差正弦公式及其应用，我们要熟记公式，在解题过程中要善于发现规律，学会灵活运用.（四）作业：课本141页 习题3 1 A第24题3.1.3两角和与差的正切一、教学目标：1、知识与技能： 掌握公式及其推导过程，理解公式成立的条件；会用公式求值。培养学生的观察、分析、类比、联想能力；间接推理能力；自学能力。2、过程与方法：由学生熟知的两角和与差的正弦、余弦公式，引导学生推导出两角和与差的正切公式，通过教师的提问，学生观察，分析，讨论及练习。及时搜集反馈信息，动态调整教学过程，引导学生攻克难点，掌握重点。3、情感态度、价值观：发展学生的正向、逆向思维和发散思维能力，构建良好的数学思维品质。二、教学重点：公式的结构特点及其推导方法、成立条件，运用公式求值。教学难点：公式的逆向和变形应用。三、教学过程：1、复习引入复习：两角和与差的正、余弦公式Sa+b ,Sa-b , Ca+b ,Ca-b提出问题：复角与单角，的正弦、余弦函数存在以上关系，那么能否用来表示呢？2、两角和与差正切公式的推导及理解 Ta+b ,Ta-btan(a+b)公式的推导（让学生回答） cos (a+b)0tan(a+b)= 当cosacosb0时分子分母同时除以cosacosb得：以-b代b得：思考讨论：公式是如何推导出来的？有什么限制条件？公式有何特点？如何记忆？公式有何用处？有何变形？注意：1、必须在定义域范围内使用上述公式。即：tana，tanb，tan(ab)只要有一个不存在就不能使用这个公式，只能（也只需）用诱导公式来解。 2、注意公式的结构，尤其是符号。3、公式的变形： 思考：公式cot=？3公式的应用 例1.求下列各式的值：tan15，tan75，解： tan15= tan(45-30)= tan75= tan(45+30)= 例2.不查表求值tan17+tan28+tan17tan28解：tan17+tan28+tan17tan28=巩固练习：P140练习A1，2，3 例3. 如图，三个相同的正方形相接，求证：解：由题意：， ， ， ，所以，例4：已知，求的值。解：【变题】：已知，求的值。解：， ，巩固练习：P141练习B1，2，3四、小结： 公式（）的结构类似，应注意符号的差别，可以用类比的方法记忆这两个公式的作用在于用单角、的正切来表达复角的正切 有关两角和差的余切问题，一般都是将它由同角公式的倒数关系化为两角和差的正切，用公式来解决 “化未知为已知”是推导公式和数学解题的常用方法；“公式的逆用”与“的变式”是数学解题中常用的技巧。我们应该熟练掌握这些方法和技巧五、作业： P141 练习3-1A中5 P142 习题3-1B 1，4，5，6，7 3.2.1 二倍角的正弦、余弦和正切公式一、教学目标以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用.二、教学重、难点教学重点：以两角和的正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式；教学难点：二倍角的理解及其灵活运用.三、学法与教学用具本节课采用观察、赋值、启发探究相结合的教学方法，运用现代多媒体教学手段，进行教学活动，通过设置问题引导学生观察分析，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得倍角公式；对于倍角公式的应用采取讲、练相结合的方式进行处理，使学生边练边巩固，同时设计问题，探究问题，深化对公式的记忆。四、教学设想：（一）复习式导入：大家首先回顾一下两角和的正弦、余弦和正切公式，；我们由此能否得到的公式呢？（学生自己动手，把上述公式中看成即可），（二）公式推导：；思考：把上述关于的式子能否变成只含有或形式的式子呢？；注意： （三）例题讲解例1、已知求的值解：由得又因为于是；例、已知求的值解：，由此得解得或例3、证明恒等式：证明：左边=右边（四）小结： 1、我们是如何得出倍角公式的。2、中角有限制条件吗？中呢？3、的三种形式及其如何用表示、。4、如何用二倍角表示？、等，又如何用二倍角表示呢？（五）作业：322半角的正弦、余弦和正切（一） 教学目标1 知识目标：掌握公式及其推导过程，会用公式进行化简、求值和证明。2 能力目标：通过公式推导，掌握半角与倍角之间及半角公式与倍角公式之间的联系， 培养逻辑推理能力。3 情感目标：培养用联系的观点看问题的观点。（二）教学重点、难点本节重点是公式的推导与应用，难点是半角与倍角的联系及符号的判断。（三）教学方法观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习倍角公式、先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意。既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？以旧引新，设疑创设情境，引导学生展开积极的思维活动半角公式的推导及理解推导半角公式：由学生根据推导，老师巡视并帮助有困难的学生，之后对照课本P145检查过程和结果。思考讨论：公式是如何推导出来的？有何限制条件？ 公式有何特点？如何记忆？公式如何变形？有何用处？ 先有学生回答问题，然后老师明确，结论如下： 由 得所以两式相除得 (2k+1) )与结构相同，一号之差，是由 与推出的 平方后是降幂公式，用于变形、求值、证明 培养学生运用已有知识获得新知识的能力和问题探究的能力，同时也使学生认识到了新公式的来源。通过讨论，使学生对公式有一个清晰完整的认识，为公式的灵活应用打下基础，逐步培养自学能力。半角公式的深化“倍”与“半”是相对的，公式不仅仅适用于具有“”与“”特征的角，而且更广泛地适用于具有倍半关系的角。思考 若是的一半，试尽可能多地写出联系与的三角恒等式（倍角，半角公式）通过对公式深挖掘，显示其强大作用，培养学生分析、联想能力，优化思维品质半角公式的运用会用半角公式解决实际问题例1：求，的值例2：求证例3：等腰三角形顶角的余弦值为，求它的底角的正弦、余弦和正切巩固练习 P146 A组1 P146 B组1 P147 A组2 P147 B组3(3)师生共同分析解决：例1：15角在第一象限，直接用公式；若所在象限已知，你会判断所在象限吗？（教会判断方法，并记住结论）若为第一象限的角，则=2k+1,kZ,且01,于是，当k为偶数时，在第一象限，当k为偶数时，也在第一象限，同理：若为第二象限的角，在一或三象限若为第三象限的角，在二或四象限若为第四象限的角，在二或四象限例2：半角正切的表达式是有理表达式，符号由算式决定，无须先判断；第二个表达式分母为“单项式”更易使用，但由余弦求正弦还须开方，就不合适了。例3、注意判断三角形的角以及这些角的一半的范围，让学生初步学会应用公式。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生发现新知识的能力。发掘例题的功能，把知识引向深入归纳小结从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。学生接力式总结，老师补充让学生明确本节课的重点,并判断自己达到的要求。布置作业P146 A组2P147 A组1P147 B 组3(4)及时巩固，加深理解。案例3.3 三角函数的积化和差与和差化积（二） 教学目标4 知识目标：了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行和、积互化。5 能力目标：能应用公式进行三角函数的求值、化简、证明6 情感目标：通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点。（二）教学重点、难点重点：公式的应用。难点：公式的灵活应用。（三）教学方法观察、归纳、启发、探究相结合的教学方法。（四）教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图提出问题通过做过的作业，习题31A 2(2)的结果，对两个角的正弦之和的形式进行讨论师：右边的两个角如何用左边的两个角表示？引导学生观察等式两边角度之间的关系，右边的两个角分别是左边两个角的和、差的一半。师：通过类比，对任意两个角，应该等于什么？运用已知的公式加以推导验证。从做过的练习出发，引导学生进一步思考，培养学生从特殊到一般的思想方法。解决问题由两角和与差的三角函数公式，使用换元法得到两角的正弦之和可化成另两个角的三角函数的乘积的形式。两式相加得：(1)设，则，公式(1)可以写成：培养学生运用已有知识分析问题的能力和问题探究的能力，体会换元思想在解题中的应用。总结方法提出新问题总结推导过程所用的方法，实际上公式（1）还隐含着积化和差的公式。师：公式(1)实际上还可以变形成两角的正弦与余弦的乘积可以转化成另两个角的正弦的和。让学生通过类比，猜测任意两个角的其它三角函数的积、和的规律并在下一步加以证明。培养学生经常对方法进行总结和运用类比，在一个问题的基础上提出新的问题的能力。积化和差公式的推导推导积化和差公式。回忆两角和与差的三角函数公式：由公式（1）的推导过程，请学生进行类比，写出所有的积化和差的公式： 师：这组公式称为三角函数的积化和差公式。只要求熟悉公式结构，不要求记忆。其特点是化成和之后都是同名的三角函数，注意每个公式前面的系数。巩固旧知识，通过恒等变形，培养学生严谨地考虑问题。积化和差公式的应用例1把下列各积化成和差的形式。(1)(2)(3)(4)学生做练习教师巡视检查。让学生初步学会应用公式。和差化积公式的推导推导和差化积公式由积化和差公式，变形可以得到：，再通过换元，请学生自行整理和差化积公式。师：这组公式称为和差化积公式，其特点是同名的正（余）弦才能使用，它与积化和差公式相辅相成，配合使用。引导学生由积化和差公式推导和差化积公式，在推导过程中运用了换元法进行角的转化。通过组织学生讨论探究，逐步培养学生团结协作的思想品质，提高学生综合运用知识思考问题解决问题的能力。和差化积公式的应用例2 把下列各式化成积的形式：(1)(2)(3)(4)(5)例3 已知ABC180，求证：利用四个和差化积的公式和其他三角函数关系式，我们可以把某些三角函数的和差化成积的形式。在投影仪上，将例1与练习A的第1,3题，打出来，让学生做，教师巡视检查完成情况，并订正。提醒学生注意，化积问题的结果必须是几个三角函数的积的形式。例1和练习A的第1,3题是和差化积公式的直接应用，注意化积后是几个三角函数的积。例2是一道典型的综合性问题，对于它的解题过程的深入探讨，有益于启发学生思维，提高学生分析问题和解决问题的能力。巩固练习练习1把下列各式化成积的形式（1）（2）2求证下列各恒等式（1）练习1和2的第（1）小题先做示范讲解，让学生独立完成第（2）小题。再次提醒学生，化成积的时候一定要写成几个三角函数的积的形式。练习1的两道化积题，学生可能比较难想到要将常数化成某个特殊角的三角函数，对于它们的解题过程的思考有助于学生开阔思维，培养学生灵活运用知识的能力。小结从知识、方法两个方面来对本节课进行归纳总结。（1）本节重点学习了两组公式，不要求记住这两组公式，但要学会运用这些公式进行三角函数和差与积的互化，并能够运用公式解决求值、化简和证明等问题。（2）化积的问题注意最后结果的形式要写成几个三角函数的积的形式。（3）推导公式的过程中用了换元法，这是一种很常用的方法，要注意该方法在解题中的应用。让学生明确本节课的重点和要达到的要求。布置作业习题33A2,3，4对本节内容及时巩固。三角函数的积化和差与和差化积（三） 教学目标7 知识目标：1. 梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。2. 运用这些公式进行简单的三角恒等变换,达到熟练掌握基础知识的目的。8 能力目标：1. 通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。2. 通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；不同三角函数之间的变换。3. 通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。9 情感目标：通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆