机械动力学振动二

1-1,机械动力学,第二章振动分析基础,21概述振动分析的研究思路：,一动力学模型任何实际的振动系统是无限复杂的,为了便于分析,要作简化,在简化的基础上建立动力学模型模型由三种理想化元件组成：质量m阻尼c弹性k系统简化的程度取决于考虑问题的复杂程度、计算精度、计算条件实际结构两种简化处理方式：对实际结构质量、刚度、阻尼线性化处理对其分布规律作离散化处理动力学模型采用的正确与否要由实践检验动力学模型分三类：a集中参数模型(常微分方程)b有限元模型(常微分方程)c连续弹性体模型(偏微分方程),1-18,1弹性元件：只有弹性,无惯性、阻尼(理想化元件)弹簧所受外力Fx是位移x的函数：Fx=f(x)在线性范围内Fx=kx(对弹簧的线性化处理)通常假定弹簧没有质量若：弹簧质量相对小,可忽略弹簧质量相对较大,一定要处理,实际工程结构中许多构件在一定范围内所受作用力与变形是线性关系,可作线性弹性元件处理.例图示悬臂梁根据材力P与变形的关系杆长E材料弹性模量I抗弯截面惯性矩设则P=k因此悬臂梁相当一个刚度为的线性弹簧,1-19,角振动系统：弹簧为扭转弹簧M=kM外力矩转角k刚度扭振系统G轴材料剪切模量J轴截面极惯性矩M扭矩因此扭转刚度：从能量角度：不消耗能量,以势能方式贮存能量.等效刚度：复杂弹性元件组合形式,可用等效弹簧取代等效弹簧的刚度用等效刚度表示(等于组合弹簧的刚度),并联弹簧：比各组成弹簧”硬”共位移串联弹簧：比各组成弹簧”软”共力确定弹性元件组合方式是”并联”还是”串联”关键看是”共位移”还是”共力”,1-20,见下例：例1a.两弹簧共位移(x)并联b.两弹簧共力(Fs)串联例2确定阶梯轴的等效扭转刚度解共力矩M，为串联由扭振,2阻尼元件:只有阻尼无惯性,弹性(理想元件)振动系统的阻尼特性及模型是振动分析最困难问题之一,也是最活跃的研究方向之一阻尼力是振动速度的函数对线性阻尼器C:阻尼系数阻尼元件消耗能量以热能声能等方式耗散系统的机械能角振动系统:有以上类似关系为阻尼力矩,1-21,例1(a)(b),例2,非粘性阻尼:与速度成正比的阻尼为粘性(Viscous)阻尼,又称线性阻尼其它性质的阻尼统称非粘性阻尼工程中将非粘性阻尼折算成等效粘性阻尼系数Ceq折算原则:一个振动周期内非粘性阻尼所消耗的能量等于等效粘性阻尼一周期所消耗的能量非粘性阻尼种类：a.库仑(Coulemb)阻尼即干磨擦阻尼b.流体阻尼:物体以较大速度在粘性很小的流体(空气液体)中运动.阻尼力与速度平方成正比:c.结构阻尼：材料内磨擦产生的阻尼(又称材料阻尼)由结构各部件连接面之间相对滑移而产生的阻尼:滑移阻尼结构阻尼=材料阻尼+滑移阻尼(两项统称)3.质量元件只有惯性无弹性和阻尼的理想元件.(略),1-22,.二.动力学模型的建立举例说明:南京工学院(东南大学)为无锡机床厂外园磨床作振动分析:,1-23,22单自由度系统,一.自由振动自由振动的基本振动特性只决定系统本身的参数,因此是在理论上十分重要的一种振动形式.系统自由振动所表现出的一些规律能反映出系统本身的一些”固有特性”或”固有参数”.反映了系统内部结构的所有信息,是研究强迫振动的基础.,单自由度自由振动概述当外界对系统没有持续的激励即F(t)=0但系统仍可以在初速度或初位移的作用下发生振动,称为自由振动其运动微分方程为:,二阶常系数齐次微分方程,方程还可其中（衰减系数）（固有频率）方程特征方程通解其中:,为特征方程的二个特征根,为积分常数,由初始条件定,1-24,系统的运动情况随(衰减系数)不同值,分五种情况：(1)=0(无阻尼情况),0(正阻尼情况)(2)(弱阻尼情况)(3)(强阻尼情况)(4)=(临界阻尼情况),(5)0(负阻尼情况)首先从无阻尼情况(最简单)介绍,2.无阻尼系统的自由振动运动方程为（C=0,F(t)=0）或式中其通解:x(t)=Asin(t+)是系统自由振动的角频率,也称为系统无阻尼固有频率单位:Hz或1/sA振动幅值初相角(由初始条件确定),1-25,若记初始位移初始速度则因当t=0时得分析：单自由度无阻尼系统的自由振动是正弦或余弦函数,可用谐波函数表示,故称简谐振动,自由振动的角频率即为仅由系统本身参数确定,与外界激励,初始条件均无关.反映了系统内在的特征.自由振动的振幅A和初相角由初始条件确定无阻尼自由振动是等幅振动研究无阻尼自由振动时,常用到“能量法”,1-26,3.能量法：,(1)用能量的观点研究振动有时很方便.例只需计算系统固有频率时,可避免写微分方程,直接得结果.(也可用能量法写系统微分方程)在无阻尼又无外作用力时,系统的动量T和势能U是守恒的.即T+U=恒量(2-1)对上式时间取一次导数：（2-2）式中:T为系统中运动质量所具有的动能U为系统的弹性势能或重力势能由(2-1)式,有：任意选两个瞬时位置1和2机械能总和应相等对简谐振动：通常选质量块经过平衡位置为第一瞬时位置,此时速度最大,动能此时再选质量块达最大位移时为第二瞬时位置,此时速度为0,而势能（2-3）利用(2-3)式可直接得系统固有频率,1-27,例如图测量低频振幅用的传感器中的一个元件无,定向摆的示意图,摆轮2上铰接一摇杆1,摇杆另一端有敏感质量M，在摇杆离转轴0距离为a处左右各联一刚度为k的平衡弹簧,以保持摆的垂直方向的稳定位置.已知系统对0的转动惯量为解：以摇杆偏离平衡位置的角位移为参数并设:则摇杆通过静平衡位置时系统动能最大在摇杆摆到最大角位移处时系统最大势能包括两部分:,弹性变形后储存的弹性势能:质量块m的重心下降后重力势能:由于得:,1-28,（2）能量法求系统振动微分方程例图示一半径为r,重量为w的园柱体在一个半径为R的园柱面内作无滑动的滚动,在园柱面最低位置0点左右微摆动.推导园柱体摆动的微分方程.,解:园柱体有两种运动:园柱体质心的线位移(Rr),线速度为园柱体绕质心转动,因无滑动,角速度为(以A点为瞬心)在任一瞬时位置,园柱体的动能为:为园柱体的质量，为园柱体绕质点轴的转动惯量园柱体的势能为相对最低点O的重力势能，在同一瞬时园柱体质心升高了,故按（2-2）式,对于微幅摆动:上式可简化为:,1-29,（3）用能量法计算弹簧的等效质量,用能量法原理，可把弹簧的分布质量对系统振动频率的影响加以估计.得频率准确值。下面介绍用等效质量进行折算的一种近似方法。先假定弹簧各截面的位移与其距固定端处的原始距离成正比。设弹簧在联结质量块的一端位移为X，弹簧轴向长为L,则距固定端处，位移为，因此，当质量块m在某一瞬时的速度为时,弹簧在处的微段d,相对速度为。设为弹簧单位长度的质量，则弹簧d段的动能为整个弹簧的动能为:（整个弹簧质量）系统总动能为质量块m的动能和弹簧质量的动能之和，在质量块经过静平衡位置时,系统最大动能为:,系统的势能仍与忽略弹簧质量时一样:,由对简谐振动:得:,=,代入:,称为系统等效质量.,1-30,4.有阻尼系统的自由振动图示系统的运动方程:前面已述:特征方程:通解:其中:,（1）弱阻尼状态为虚数,令方程通解:若为方程的复解,数学上可证明,它的实部和虚部也是方程的解,由欧拉公式；=,实部:虚部:均为方程解,且是线性无关解.由此,方程的通解为:,1-31,同时:当初始条件t=0时,代入得:解得:,分析:由于有阻尼,振幅随时间衰减有阻尼,系统振动周期略有增大可通过振幅衰减曲线求阻尼大小值(对数减缩),1-32,（2）强阻尼状态，是非周期性蠕动(3)临界阻尼状态,非周期性运动是一种从振动过渡到不振动的临界情况,此时系统阻尼称为临界阻尼,临界阻尼系数为,临界情况:令阻尼比,（4）负值,瞬时振幅逐渐增大:微小扰动不会恢复到平衡不稳定,负阻尼系统,一定是不稳定系统,阻尼正负稳定性判据,1-33,阻尼参数小结:粘性阻尼系数C衰减系数阻尼比对数减缩之间关系:,1-34,22单自由度系统,二单自由系统的强迫振动:系统在外加随时间而变化的持续外力作用下产生的振动.激振形式:按激振力随时间变化规律分:简谐激振非谐周期性激振非周期激振随机激振,按激振力作用在振动系统上的方式分:直接激振间接激振基点激振不平衡激振旋转轴的临界速度,1.直接激振(简谐激励)二阶常系数线性非齐次方程全解:相应齐次方程的通解(自由振动)由于有阻尼,是瞬时振动,称瞬态解方程特解,是激振力作用下产生的受迫振动,称稳态解只研究稳态解此处有两个待定系统:A稳态响应振幅.响应与激励之间相位差,2-1,称动态放大因子,表示振幅A较静态位移P/k放大倍数.,复数表示法:阻尼系统,简谐激振和响应用复数表示,可引出有用的概念:,H(w)=x(t)/p(t)是响应x(t)和激振力p(t)的比例因子.(谐波响应与谐波激励之比),2-2,H(w)的模和幅角:,系统谐波响应x(t)另一表达形式,动态放大因子,2-3,分析幅频特性曲线图:激励为简谐,则响应也是简谐,其振频=激振频率振幅A与系统参数m、k、c,激振力大小、频率有关,与初始条件无关,A在不同频率下特征不同a.很小,即b.很大,即,受迫振动振幅主要取决于系统质量,称”惯性区”,c.,称时的为”共振”,此区域内,阻尼影响大称”阻尼区”,共振区的说明:实用上为共振频率.,2-4,阻尼比的估算共振区曲线形状与阻尼比有密切关系实验测定阻尼比,常用共振峰的形状来估算.如图:,相频特性曲线分析位移x(t)与激振力p(t)有相位差,其值为:,阻尼很小时,共振点前后相位变化率最大(这是“相角法”识别系统固有频率点的依据),工程上常用的有谐波响应轨迹(Nyquist图),同时反映幅频和相频特性,2-5,小结:从受力的观点分析.受迫振动方程的解,可用旋转矢量表示,有以下关系:,方程左边三项分别为,：弹性恢复力滞后激振力,以上三个力与激振力Pcoswt平衡,四个矢量构成封闭四边形,2-6,2.间接激振基点激振,在直接激振中:,激振力力幅P与W无关的常数激振力直接作用在振动质点上,基点激振:基础有位移,因此运动方程为,此时扰动力的力幅与频率有关,参照直接激振公式,动态放大系数:,2-7,幅频特性曲线分析,:所有曲线都通过两点,地震仪(传感器)设计时,大质量,软弹簧,使固有频率小,让传感器在,频段内,阻尼大,不利隔振,2-8,3.不平衡激振,机器中有高速旋转部件时,常出现这种振动.设机器上有以w旋转的不平衡质量,转动半径为e,则不平衡质量产生离心惯性力为,垂直分量为:,可见激振力幅值与w平方有关.参照直接激振方程:,特解,2-9,幅频特性曲线分析:,所有曲线经过两点:,高频时趋近1,即A可见减小e的重要性,2-10,4.旋转轴的临界速度,垂直旋转轴,两端简支,在轴中点,固定一轮子(质量m),其重心G,相对轮子几何轴心s有偏心距e.轴和轮子系统绕轴几何轴心线以w旋转.其偏心质量产生使轴弯曲的离心力:,几点假设忽略轴质量轴和支承在圆周方向刚度相等轴承对轴不起力矩作用(对轴无阻尼)轴本身对轴的弯曲有阻尼作用(粘性阻尼)轴轮系统的几何中心s的运动方程式:,2-11,特解:,从方程看出:轴和轮子的几何中心的运动并不是一般意义上的振动,而是当轴与轮子系统绕自身轴以w旋转时,由于轮子偏心质量产生的离心惯性力作用,使轴变形为弓形,此时,轴与轮子系统的运动是由以下两种运动合成:,=,旋转运动(自转):轮子与轴绕自身轴的轴心线转动(G绕s的圆周运动),角速度为,回旋运动(公转):弯曲成弓形的轴线绕两支承的连线与圆盘相同的角速度大小和方向的转动(s绕o点的圆周运动),即=,弓形回旋:轴与轮子系统既作旋转运动又作回旋运动的运动.(又称涡动),2-12,在位置A,轮子上的点1在外侧,点2在内侧,位置B、C、D,轮子上的点1仍在外侧,点2仍在内侧,轴轮绕s旋转了一周,轴轮系统绕O也回转了一周,即,分析1:系统的激励:轮子质心偏心,导致轮子自转时产生惯性离心力,该力以w旋转.系统响应:轮子绕o点的公转,转速仍为w.,当系统无阻尼时,0s与Gs在一条直线上,当系统有阻尼时,0s与Gs不在一条直线上,形成一定角度(响应与激励有相位差),分析2:当轴旋转速度w取不同值时,o、s、G三点相对位置也不同.,=,2-13,临界转速:旋转轴产生共振时的转速叫临界转速数值上等于转子不转动而作横向自由振动时的固有频率(固有角速度)共振是有害的,设计高速旋转轴时,要避开临界转速,此时，轴及轮子系统绕系统重心G作旋转称为自动定心,小结:高速旋转轴有一个临界转速,要避开临界转速一根不转动的轴横向振动,轴内产生交变应力.而作弓形回旋的轴,轴内不产生交变应力,但对轴两端支承(轴承)作用有交变力,并导致轴承系统强迫振动.,2-14,23周期激励下的受迫振动,Fourier级数,一.叠加原理线性微分方程描述的系统称为线性系统.线性系统满足叠加原理.若系统有:,则在激励叠加原理对线性系统极重要,它使处理线性系统问题在理论和技术上成熟,介绍a.Fourier级数分析法b.Fourier变换法c.脉冲响应函数法,.这三种方法,是叠加原理,对线性系统成功应用。将任意复杂激励分解为一系列简单激励.再将系统对这些简单激励的响应叠加,得系统对复杂激励的响应.,2-15,二.周期激励下的受迫振动.Fourier级数分析法:,由单自由度系统微分方程,f(t)周期函数，Fourier级数展开：,（231）,注：F(t):激振力函数（力量纲）f(t):激励函数（位移量纲）,2-16,对于基波：,其中：,由叠加原理，（231）式所示，一系列谐波激励下，其响应是一系列谐波响应的叠加：,对于高次谐和波：,其中：,2-17,（232）,讨论：激励是周期为T的函数，响应仍是周期为T的函数响应x(t)与激励f(t)波形有畸变。（不同频率成份谐波激励系统时，放大倍数和相位角均不同）对无阻尼系统,说明:单自由度系统周期激励比谐波激励更容易激起共振。危险性更大。（周期激励的基频Wo,只要是系统固有频率Wn的整数分之一，就可能激起共振）,2-18,f(t)=-A-T/2t0,例：求单自由度无阻尼系统对图示周期方波激励的响应,解：由周期方波的图形，其在一个周期中的函数为,A0tT/2,首先,由于f(t)均值为o,故,代入（233）式,对于无阻尼系统，频率响应:,2-19,24求解非周期激励的系统响应:Fourier变换法,设f(t)任意(非周期)激励信号,由:Fourier积分式:,每个谐波激励引起系统响应为:,将所有响应叠加(积分),得系统响应:,小结:用Fourier变换法,求解非周期激励f(t)下的响应，过程如下:,注意：要保证,，f(t)需满足两个条件（Dirichlet条件）,f(t)在(-,)上仅有有限个不连续点,2-20,例：求单自由度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲F(t)的响应x(t),解:令kf(t)=F(t)则f(t)=1/kF(t),首先检查f(t)是否满足Dirichlet条件：,(1)Fourier正变换：,(2)系统响应的频谱密度,(3)Fourier逆变换：得系统响应,2-21,积分得x(t)=,对例题的讨论:,系统对矩形激励的响应是谐波函数，且振动频率等于系统固有频率。在-TT以后，系统绕其静止位置x=0振动振幅为,对于tT系统振动，可解释为系统的自由振动：因为当tT后，矩形脉冲已消失，由上式中第二式，当t=T时,上式为tT以后系统振动的初始位移和速度(作自由振动)。其振动频率当然为,2-22,一基本思路：将任意激励f(t)分解为一系列强度为的脉冲，求每一个脉冲单独激励的响应.由叠加原理，将一系列脉冲响应叠加，得系统对整个激励f(t)的响应x(t),2-5非周期激励下的受迫振动：脉冲响应函数法,二单位脉冲函数：,力学定义：单位脉冲函数描述了一个单位冲量,在t=a时产生一个冲量为的力F(t)，可按下式表达:量纲：,三单位脉冲响应函数：系统在单位脉冲函数的激励下的系统响应。设脉冲力作用单自由度系统:,初始条件:,由冲量定理:动量的增量等于作用力的冲量,记作用以后的时刻为,当t=o时刻突受脉冲力.,2-23,议论:形式上虽然为一种过程激励,但其效果相当于初始速度激励.因此,可将系统对过程激励的受迫振动问题转化为系统对初始激励的自由振动问题来处理.(这是脉冲响应函数法解题的关键).,速度突变(因力幅无限大,则加速度无限大),而来不及积累位移变化,因此,脉冲作用后的初始条件:,单自由度小阻尼系统响应为:,当得系统对单位脉冲激励的响应h(t)表示:,2-24,引入单位阶跃函数:,u(t)=,0t0,单位脉冲响应函数h(t)可写成,在t=0时刻，作用单位脉冲(t)，系统响应,在t=a时刻，作用单位脉冲(t-a)，系统响应,四脉冲响应函数法对任意激励函数F可视为一系列脉冲的组合,设任意时刻:脉冲力:(相当冲量值)脉冲力激励的响应:,2-25,在任意时刻t：由于t时刻以前各时刻的脉冲均会影响t时刻响应x(t)。t时刻的响应：应是从o到t这段时间内各时刻的脉冲激励的响应的叠加：,上式称为卷积积分：x(t)=F(t)*h(t),如果再考虑系统初始位移初始速度的影响，得单自由度系统的全部响应为：,2-26,讨论：脉冲响应函数法，充分表现出动态系统的两个特性：激励的“后效性”响应的“记忆性”系统在t时位移x(t)是时刻t之前所有脉冲响应在t时刻取值的叠加。这说明，某时刻的外加激励，决不只是影响系统在该时刻的状态，而且还影响系统后来的状态（外加激励对动态系统影响的“后效性”）。一个动态系统在任意时刻响应，决不只是与该时刻激励有关，还与此时刻以前系统经受的载荷全部历程有关。称动态系统的响应“记忆性”强迫响应与自由响应的关系：前面已讲，当系统有阻尼，其自由振动部分会很快衰减，只剩下强迫振动，但不要误解，认为系统的自由振动似乎只在很短时间内起作用。其实上式说明：自由响应在系统受到激励与产生响应的整个过程中起作用。自由响应是强迫响应的基础，任一时刻的强迫响应其实是该时刻以前被激起的一系列自由响应的叠加。,外界激励对系统的影响方式是通过系统的单位脉冲响应函数h(t)决定，而h(t)完全由系统参数所决定。这说明：外界激励通过系统本身的内在特性而起作用，引起系统的强迫振动。h(t)与H(w)之间存在Fourier正.逆变换关系。,2-27,解：图a所示矩形脉冲，可用阶跃函数表示：,0t0,所以:,由于:,由于当t0以后系统有响应,故单位阶跃函数严格表示为:,2-28,对本例题:系统对于u(t+T)响应g(t+T)u(t-T)响应g(t-T),所以系统响应：,2-29,2-6多自由度系统,一引言自由度与广义坐标广义坐标：若系统用某一组独立座标（参数）能完全确定系统的运动，则这组座标称为广义坐标。“独立”指各坐标都能在一定范围内任意取值，其间不存在函数关系。“完全”指完全地确定系统在任一时刻的位置或形状。,自由度：完全确定系统运动所需的独立座标数目。一般情况下：自由度=广义坐标数目（除不完全约束系统）广义坐标可以是长度，角度或某种其它含义，例比例等。广义坐标不是唯一的，各组广义坐标之间存在确定函数关系。,例：一双摆，质量限制在图示平面内摆动，可用四个直角坐标来描述它的运动，但这四个直角坐标并不独立，它们满足两个约束条件：,两个是独立的。因此，系统有两个自由度,其广义坐标可选,也可选,与直角坐标之间存在确定关系：,。,3-1,一般而言，总可以将系统中各质点的直角坐标表示成广义坐标的函数：,二多自由度系统的振方程式确定实际结构动力学模型以及系统质量，刚度，阻尼等参数后，有多种方法建立系统运动微分方程。常用：直接法影响系数法拉格朗日法。（一）直接法：用达朗伯原理，牛顿二定律直接对系统中各质点建立方程，步骤：,（1）选描述系统运动的独立坐标（广义坐标）。本例选三个质量离开各自平衡位置的位移为广义坐标。（2）取分离体，并受力分析。,3-2,(3)分别对各质量块用达朗伯原理，牛顿二定律直接建立方程：,整理：,写成矩阵形式：,形式上与单自由度系统运动方程相似。由惯性力，阻尼力，弹性恢复力和激振力四项组成。可推断任何多自由度系统的运动方程有此形式，只是各矩阵具体内容不同。,3-3,因此，当选定坐标后，若直接求得质量，阻尼，刚度矩阵，就可按上面方程形式，写出系统运动方程。下面介绍影响系数法。,例N自由度，位移列阵为：,刚度矩阵：,（二）影响系数法：（A）刚度矩阵：元素的物理函义，由此函义直接求各元素。（1）：使系统的j坐标产生单位位移，而其它坐标的位移均为0时，在第i坐标上所需加的作用力的大小，定义为(2)反映整个系统刚度（柔度）特性其中（刚度影响系数）表示第i坐标与第j坐标之间的刚度相互影响(3)由互易原理（材力），,对上例直接求刚度矩阵,3-4,议论：对此类弹簧-质量-阻尼系统一般有下述规律刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的对角元素为联结在质量上所有弹簧刚度（或阻尼系数）之和。刚度矩阵（或阻尼矩阵）中的非对角元素为直接联结质量之间的弹簧刚度（或阻尼系数）取负值。,(结果与直接法相同),一般而言，刚度矩阵和阻尼矩阵是对称矩阵。以系统质心为坐标原点，质量矩阵是对角矩阵。一般情况质量矩阵不一定是对角矩阵,3-5,例1：用上述方法求刚度，阻尼，质量矩阵,3-6,例2：刚度影响系数法求刚度矩阵,如图质量m为质点与三条刚度系数同为k的弹簧相联互成，并限制在水平面oxy上运动。当它在平衡位置，各弹簧无变形，质点作微幅振动，可视为弹簧方向不变，求系统刚度矩阵。,解：选x,y为广义坐标a.令位移x=1,y=0在质点上加沿x方向的广义力，沿y方向的广义力。以质点为分离体，按平衡条件：,3-7,b.令位移x=0,y=1在质点上加沿x方向的广义力，沿y方向的广义力。以质点为分离体，按平衡条件：,对角矩阵（无耦合项),（B）质量矩阵，阻尼矩阵与刚度矩阵类似，质量矩阵和阻尼矩分别反映了系统惯性和阻尼特性。质量矩阵：由惯性影响系数组成。阻尼矩阵：由阻尼影响系数组成。其含义与刚度影响系数类似。只需将位移改为加速度和速度（例：坐标上有单位速度，其它坐标速度为0，在坐标上所需施加的力）,3-8,（C）柔度矩阵：,工程中常求如图所示的梁，轴类系统的方程，此类系统刚度矩阵（）求法困难，而柔度矩阵（）求法容易。,：柔度影响系数,定义：仅在系统第j坐标上，作用单位力，其它坐标上作用力为0时，在第i坐标上所产生的位移大小。,如图：求该系统柔度矩阵的诸元素,ii在处作用力地，由材力点和点的挠度（位移）,i首先处作用力，由材力点和点的挠度（位移）,3-9,（D）,对于线性系统，力与位移成正比，而且可以应用叠加原理,i如图（a）,ii如图（b）,iii如图（c）,对于n自由度系统：观察i坐标位移时,当系统各坐标都同时受到静力（j=1,2,3,n）时，第i坐标产生的位移：,令i=1.2.n则可得系统的位移与作用力的关系：,同样按照刚度影响系数的定义：比较两式显然：,结论：同一系统，选同一坐标系和互为逆矩阵,3-10,（F）作用力方程与位移方程,称为作用力方程，其每项量纲为“力”,方程两边乘得,（三）拉格朗日法建立振动运动方程（略）,3-11,三耦合与坐标变换,多自由度系统的运动方程是二阶常系数线性微分方程组，困难在于：a.方程数目多b.方程之间相互耦合（主要难点）,方程耦合以矫车振动为例,经简化，杆质量m质心c绕轴转动惯量,下面分析可看出，选不同坐标系，所建立的方程式有所不同。,（一）选参考点C：直线位移，绕C转角，为广义坐标,分析受力：,以上力形成平衡力系,3-12,y方向，所有力平衡：,以质心C为力矩中心，力和力偶对C点力矩和0:,合并上两式：,分析：弹性恢复力项把两方程耦合起来，称为弹性耦合（刚度矩阵为非对角矩阵）。,（二）选参考点A：广义坐标,得方程：,分析：惯性矩阵，刚度矩阵都是非对角矩阵，因此，方程既有惯性耦合，又有弹性耦合。,选用不同广义坐标，方程形式不同，方程耦合情况也不同。由此：方程耦合并不是系统固有性质，只是坐标选用结果。显然，希望找到一组广义坐标，使方程既无惯性耦合，又无弹性耦合，方程组各方程相互独立。每个方程可象单自由度系统一样。,3-13,下面讲述：一个振动系统，若已知某一组广义坐标的运动方程，可通过坐标变换直接得到其它广义坐标所表示的运动方程。,线性代数中“线性变换”概念：,线性变换：如果变量能用变量线性表示，即,此式称为变量到变量的线性变换。,矩阵形式：,简写：,变换矩阵：线性变换中的系数矩阵称为变换矩阵（非奇异n阶常数方阵）,坐标变换：对线性振动系统，当列阵和都表示广义坐标时，则线性变换就叫做“坐标变换”。,3-14,将已知方程，通过坐标变换得另一组广义坐标下的运动方程：,代入方程并前乘得：,有可能是对角矩阵，耦合情况可能得到改变。,例：车身振动为例，,确定变换矩阵：由几何关系：,已知在下有方程：,；（是变换矩阵）,因此,3-15,小结：1.方程耦合不是系统固有性质，只是广义坐标选用的结果。2.通过坐标变换，可以改变方程耦合情况。关键是如何选择线性变换矩阵，使质量矩阵和刚度矩阵同时对角化。会证明这种变换矩阵存在（主振型所组成的矩阵）。,注：力矩,结果与前面相同。,3-16,四、固有频率和主振型,前面已述：1.N自由度系统的振动方程组各方程相互耦合。2.方程耦合不是系统固有性质，只是广义坐标选用的结果。3.坐标变换，可改变方程耦合。关键:选择线性变换矩阵，得新广义坐标，使其描述的方程，相互独立,互不耦合。,（一）自由振动的一般解,已知无阻尼n自由度系统自由振动微分方程式,设方程解形式为：作自由振动时，各值都按同一频率，同相位角作简谐振动：,3-17,矩阵形式：,将假设解代入方程：,观察方程（2-6-2）是以为未知数的n元线性齐次代数方程组，解这类方程组的问题，既所谓特征值问题线性齐次代数方程组有非零解的条件是系数行列式等于0。,称特征方程或频率方程,3-18,上式展开得的n次代数方程:,因系统是正定的（系统没有刚体位移），n次代数方程有n个正实根称的n个根为特征值,也称为n自由度系统的各阶“固有频率平方”。一般说：,方程组系数行列式为0，n个方程中至少一个方程不独立。去掉不独立方程，剩下(n-1)个方程是独立的，将方程中某一相同的项（例项）移到等到式右边，再相继代入方程求出的个特征根到方程组中。如j阶代入方程组得：,3-19,所有的都与有确定的比例，则这个振幅之间相互比值就确定,对应某一j阶固有频率的n个振幅值：,上标（j）表示第j阶固有频率下的各坐标的振幅值。,说明：当系统按第j阶固有频率简谐振动时,各振幅间有确定的“相对比值”,或者说系统各质点按一定“形态”进行振动（振动形态）n个固有频率分别对应n个振动形态