浙江省杭州市八校联盟2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）

浙江省杭州市八校联盟2020学年高一数学下学期期中联考试题（含解析）一、选择题（每小题5分，共40分）1.设点O是正方形的中心，则下列结论错误的是（）A. B. C. 与共线D. 【答案】D【解析】【分析】由正方形的基本性质和向量的基本性质可得答案.【详解】解：如图，与方向相同，长度相等，A正确；,三点在一条直线上，B正确；，与共线，C正确；与方向不同，D错误.故选D.【点睛】本题考查相等向量、共线向量.熟练掌握相等向量和共线向量的定义是解决本题的关键.2.已知向量，且，则=（）A. 5B. -5C. 1D. -1【答案】D【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算，得到方程组求出结果即可.【详解】解：，故选D.【点睛】本题考查平面向量的坐标运算.3.在中，角所对的边为，若，则一定是（ ）A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】由，再根据余弦定理可得，即可得出是等边三角形.【详解】解: 在中，化简得：，则，是等边三角形.故选C.【点睛】本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法.熟练掌握正弦定理和余弦定理是解此类题目的关键.4.（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据三角函数中二倍角公式化简即可求得答案.【详解】解：故选B.【点睛】本题考查三角函数中二倍角公式的运用.熟练掌握二倍角公式是解题的关键.5.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且边，则边b=（）A. 3或5B. 3C. 2或5D. 5【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理即可求出b的值.【详解】解：，由余弦定理得，即，解得或.故选A.【点睛】本题考查余弦定理的运用.熟练掌握余弦定理是解题的关键.6.已知正六边形的边长为1，则的最大值是（）A. 1B. C. D. 2【答案】B【解析】【分析】依题意得，分别计算出当时的值，比较即可得出答案.【详解】解：如图，当时，的值相应是，故最大值为.【点睛】本题考查正多边形的性质、余弦定理和向量数量积的运算等知识.7.当时，函数的值域是（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题通过三角恒等变换得，根据，求出，即可得出值域.【详解】解：由题意得，. 当时，当时，取最小值为，所以值域为【点睛】本题考查三角恒等变换和正弦函数的定义域和值域.熟练掌握三角恒等变换是解题的关键.8.对于集合和常数，定义：为集合相对的“余弦方差”，则集合相对的“余弦方差”为（）A. B. C. D. 与有关的一个值【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，利用诱导公式和两角和与差的正弦公式对其化简；将代入化简后得到的结果，即可求出答案.【详解】因为故选B.【点睛】本题考查了两角和与差的余弦公式以及诱导公式，难点在于对表达式做合理变形后能够使用三角函数公式对其化简.对于此类题目，应熟记三角函数的各个公式，不要混淆.二、填空题（每小题4分，共28分）9.已知，若，则_.【答案】【解析】【分析】根据，利用平面向量数量积的坐标表示即可求出答案.【详解】解：又解得【点睛】本题考查平面向量的坐标表示.已知平面向量的数量积求参数.10.若，则=_【答案】【解析】【分析】求出角的正弦函数，然后利用两角和的正弦函数公式求解即可.【详解】解：由条件得，所以【点睛】本题考查两角差的正弦函数，同角三角函数的基本关系的应用.11.已知，点P在直线上，且，则点P的坐标是_【答案】【解析】【分析】由题意可知，三点共线，且有，设出点的坐标，利用向量相等的条件建立方程求出点P的坐标【详解】解：设，点P在直线上，则有解得【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，向量相等的条件.解题的关键是由题设条件得出两向量的数乘关系，再利用向量相等的条件得出坐标的方程求出P的坐标.12.有一长为10m的斜坡，它的倾斜度是75，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的斜角改为30，则坡底要延伸_m【答案】【解析】【分析】画出图形，利用正弦定理即可求出.【详解】解：如图，中，设，由正弦定理可知【点睛】本题考查了三角函数的简单运用，解答本题的关键是找到边角关系，列出等式求得即可.13.若是方程的两个实数根，则=_【答案】【解析】【分析】根据韦达定理求出，利用三角函数和与差的正弦和余弦公式将展开，分子分母同时除于，代入即可得出答案.【详解】解：由韦达定理得.【点睛】本题考查了韦达定理，三角函数两角和与差正弦、余弦公式.14.在中，则其周长为_【答案】【解析】【分析】因为，由正弦定理可得，所以可设，根据面积公式可求出，继而求出AC和AB，利用余弦定理求出BC，从而求出周长.【详解】由正弦定理得. 设则，解得，. 由余弦定理得故此三角形的周长为.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，解题的关键是由面积求出AB和AC.15.已知点M是所在平面内的一点，若满足，且，则实数的值是_.【答案】【解析】【分析】点M是所在平面内的一点，若满足，根据向量的概念，运算求解得：，再根据与的关系，求出与之比，得出.【详解】解：记，. 又，从而有.【点睛】本题考查了向量的几何运算，根据线段的比值，面积的关系求解.三、解答题（5小题，共52分）16.已知，均为锐角，且，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，利用诱导公式和二倍角的余弦公式求出即可（2）利用，即可求出的值【详解】解: （1）（2）【点睛】本题考查了两角和与差的三角函数，考查角的变换.正确运用公式是解题的关键.17.已知两个非零向量不共线，如果，（1）求证：A，B，D三点共线；（2）若，且，求向量的夹角【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）要证明A，B，D三点共线，只需证明共线.根据向量加法的三角形法则求出，利用向量共线定理可证.（2）根据得出，从而得出向量的夹角.【详解】（1），共线，即三点共线. （2），故有向量的夹角为.【点睛】本题考查了向量的加法法则、向量共线定理.18.在中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，（1）求角C的大小；（2）若，求的值【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用推出a，b，c的关系，利用余弦定理求出C的大小即可.（2）由正弦定理可得，得出，将化简得，进而求出答案.【详解】解：（1），则，.由余弦定理得，故有.（2）， ，即.【点睛】本题考查了平行向量与共线向量，余弦定理、正弦定理的运用.19.已知的面积为S，且，（1）当时，求的值；（2）当，边长为2时，求的周长的最大值【答案】（1）（2）周长的最大值为6【解析】【分析】设的角所对应的边分别为，根据向量和数量积和面积公式得出，从而得出.（1）当时，利用两角和的正切公式展开，代入即可得出答案.（2）当，时，利用正弦定理可将的周长转化为，进而得出当时，周长取最大值为6.【详解】设的角所对应的边分别为，由题意得，即，解得.（1）当时，则有.（2）当时，. 由正弦定理得，所以的周长为，所以当时，周长取最大值为6.【点睛】本题考查了正弦定理，三角形面积、周长的求解和三角函数知识的运用.20.设函数，为常数，（1）当时，取最大值，求此函数在区间上的最小值；（2）设，当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围【答案】（1）的最小值是1（2）【解析】【分析】（1）根据的最大值可得，解出；求得后，根据的范围求得的范围，结合正弦函数图象可求得最小值；（2）根据不等式对恒成立可得：恒成立，