新人教版九年级下数学第二十七章《相似》复习

.,.,一.比例线段,知识要点1,1.成比例的数（线段）：,.,其中：a、b、c、d叫做组成比例的项，,a、d叫做比例外项，,b、c叫做比例内项，,比例的性质：,ab=cd,.,1.若a,b,c,d成比例,且a=2,b=3,c=4,那么d=,6,2、下列各组线段的长度成比例的是（）,A.2,3,4,1B.1.5,2.5,6.5,4.5,C.1.1,2.2,3.3,4.4D.1,2,2,4,练习:,D,.,6,5,3、,4、已知(1)x：(x+2)=(2x)：3，求x。(2)若，求。(3)若，求，,1或-4,7/3,1/5,-4/5,.,5,6已知1,2,3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。,6或2/3或1.5,.,一.比例线段,2.比例中项：,练习：,当两个比例内项相等时，,那么线段b叫做a和c的比例中项.,.,1.相似图形：,形状相同的图形。,27.1图形的相似,.,2.相似多边形：,对应角相等，对应边成比例。,相似多边形对应边的比。,3.相似比：,.,1.相似图形三角形的判定方法：,通过定义平行于三角形一边的直线三边对应成比例两边对应成比例且夹角相等两角对应相等两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,（三边对应成比例，三角相等）,（SSS）,（AA）,（SAS）,（HL）,27.2相似三角形,27.2.1相似三角形的判定,.,A,D,E,B,A,C,B,A,B,C,D,ADE绕点A,旋转,D,C,A,D,E,B,C,A,B,C,D,E,B,C,A,D,E,点E移到与C点,重合,ACB=Rt,CDAB,相似三角形基本图形的回顾：,.,相似三角形基本图形的回顾：,利用直线MN和ABC作出另一个三角形与ABC相似。,.,第一种作法：（1）DEBC（2）ADE=B或AED=C（3）AD：AB=AE：AC第二种作法：（1）ADE=C或AED=B（2）AE：AB=AD：AC,A,E,B,C,D,A,D,E,B,C,.,第三种作法：（1）DEBC（2）ADE=B或AED=C（3）AD：AB=AE：AC第四种作法：（1）ADE=C或AED=B（2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,E,D,A,B,C,E,D,.,第五种作法：（1）DEBC（2）ADE=ABC或AED=ACB（3）AD：AB=AE：AC第六种作法：（1）ADE=ACB或AED=ABC（2）AE：AB=AD：AC,A,B,C,A,B,C,D,E,D,E,.,第七种作法：（1）ACD=B（2）ADC=ACB（3）AD：AC=AC：AB,A,B,D,C,.,对应角相等。对应边成比例。对应高的比等于相似比。对应中线的比等于相似比。对应角平分线的比等于相似比。周长比等于相似比。面积比等于相似比的平方。,相似三角形（多边形）的性质：,27.2.2相似三角形的性质,.,1.相似三角形的应用主要有两个方面：,（1）测高,测量不能到达两点间的距离,常构造相似三角形求解。,（不能直接使用皮尺或刻度尺量的）,（不能直接测量的两点间的距离）,测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决。,（2）测距,27.2.3相似三角形应用举例,.,2.解相似三角形实际问题的一般步骤：,（1）审题。（2）构建图形。（3）利用相似解决问题。,.,1.位似图形、位似中心、位似比：,如果两个图形不仅形状相同,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形。这个点叫做位似中心。这时的相似比又称为位似比.,27.3位似,.,2.位似图形的性质：,位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比。以坐标原点为位似中心的位似变换有以下性质：若原图形上点的坐标为（x，y），与原图形的位似比为k，则像上的对应点的坐标为（kx，ky）或（kx，ky）。,.,画出基本图形。选取位似中心。根据条件确定对应点，并描出对应点。顺次连结各对应点，所成的图形就是所求的图形。,3.位似图形的画法：,.,1.找一找:,(1)如图1,已知:DEBC,EFAB,则图中共有_对三角形相似.,(2)如图2,已知:ABC中,ACB=900,CDAB于D,DEBC于E,则图中共有_个三角形和ABC相似.,3,4,五、知识运用,.,4,.,4.若如图所示，ABCADB，那么下列关系成立的是(),A.ADB=ACBB.ADB=ABCC.CDB=CABD.ABD=BDC,B,C,.,6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等).,ADE、BAE、CDA都相似,.,7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_时，CMN与ADE相似。,1或4,.,8.在平面直角坐标系，B（1，0）,A（3，3）,C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与ABC相似，则点P的坐标是_.,P,（0，1.5）或（0，2/3）,.,9、如图,在ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与ABC相似,那么AF=_,10、如图,在直角梯形中,BAD=D=ACB=90。，CD=4,AB=9,则AC=_,6,.,11、如图,已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BFBP.试问在射线BF上是否存在一点E，使以点B、E、C为顶点的三角形与ABP相似?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.,F,.,12、在ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟BPQ与BAC相似？,.,或AP:AC=AC:AB,13、如图点P是ABC的AB边上的一点,要使APCACB,则需补上哪一个条件?,.,14、如图,点C,D在线段AB上,PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时,PCABDP.(2)当PCABDP时,求APB的度数.,.,15、如图D,E分别AB,AC是上的点,AED=72o，A=58o，B=50o,那么ADE和ABC相似吗？,若AE=2,AC=4,则BC是DE的倍.,.,16、若ACPABC，AP=4，BP=5，则AC=_，ACP与ABC的相似比是_，周长之比是_，面积之比是_。,6,2:3,2:3,4:9,11、如图：已知ABCCDB90，AC5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时ABC和BDC相似？,4,.,(2)以正方形的边长等量过渡.,（3）请找出图中的相似三角形,.,18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.,若SAEF=6cm2,则SCDF=cm2,54,SADF=_cm2,18,练一练,.,19、如图（），中，则:四边形:四边形=_,答案：,.,20、已知梯形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，若AOD的面积为4cm2,BOC的面积为9cm2,则梯形ABCD的面积为_cm2,ADBC,25,.,画一画,1、在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图44的格纸中,ABC是一个格点三角形,(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与ABC相似(相似比不为1),(2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样.,.,.,例1、如图,正方形ABCD中,E是DC中点,FC=BC.求证:AEEF,证明:四边形ABCD是正方形,BC=CD=AD，D=C=90,E是BC中点，FC=BC,ADEECF,1=2,D=90,1+3=90,2+3=90,AEEF,六、例题讲解,.,例2、如图,DEBC,EFAB,且SADE=25,SCEF=36.求ABC的面积.,解：DEBC，EFAB,A=CEF，AED=C,ADEEFC,DEBC,ADEABC,SADE=25,SABC=121,.,例3.过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延长线于E、F、G.求证：EA2=EFEG.,分析：要证明EA2=EFEG，即证明成立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：AEDFEB，AEBGED.,证明：ADBFABBCAEDFEBAEBGED,.,例4、如图,在ABC中,ACB=900，四边形BEDC为正方形,AE交BC于F,FGAC交AB于G.求证:FC=FG.,证明:四边形BEDC为正方形,CFDE,ACFADE,又FGACBE,AGFABE,由可得：,又DE=BE,FC=FG,.,例5、如图,AB/AD=BC/DE=AC/AE.(1)求证:BAD=CAE;(2)若已知AB=6,BD=3,AC=4,求CE的长.,(1)得,ABCADE,BAC=DAE,BAC-DAC=DAE-DAC,即BAD=CAE,(2)由,BAD=CAE,ABDACE,证明：,.,1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.,七、相似三角形的应用,.,2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?,解:设高楼的高度为X米，则,答:楼高36米.,.,3、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。,.,4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?,A,B,C,D,E,F,G,H,FG=8米,.,5、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.,.,八、相似与函数的相关习题,.,2.如图,ADBC,D为垂足,AD=8,BC=10,EFGH是ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B,G不到达点C)设EH=x,EF=y(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;(2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积.,相似三角形性质应用,.,相似三角形性质应用,.,4、如图,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（1）求证：ABDDCE,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,拓展提高,1,.,如图,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,（1）求证：ABDDCE,ADC是ABD的外角,ADC=ADE+2=B+1,）2,1,证明：AB=AC，BAC=90,B=C=45,又ADE=45,ADE=B,1=2,ABDDCE,.,（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值,解：ABDDCE,1,如图,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,.,（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长,AD=AE,AE=DE,DE=AD,如图,在等腰ABC中,BAC=90,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使ADE=45,1,分类讨论,.,5、如图,在直角梯形ABCD中,ABCD,A=900,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),，交于点,（）ABP与DPE是否相似？请说明理由；,（）设x=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；,（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；,（4）请你探索在点P运动的过程中，BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。,2,5,x,y,5-x,拓展提高,.,6.如图，梯形ABCD中ADBC，ABC=90，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一P，作射线PEPD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=5时点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.,提示：体会这个图形的“模型”作用，将会助你快速解题！,拓展提高,.,7.如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点.（1）求此抛物线的解析式；（2）抛物线上有一点P，满足PBC=90，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，问在y轴上是否存在点E，使得以A、O、E为顶点的三角形与PBC相似？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.,2,3,Q,6,拓展提高,.,8、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图）（1）他们在AMD和BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在AMD地带（图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满BMC地带所需的费用是多少元。（2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APBDPC，且APD的面积与BPC的面积相等，并说明你的理由。,拓展提高,.,作业,如图，在平面直角坐标系中，A（0，1）、B（3，0）、C（-1，0）D（-2，0），连结AB、AC、AD.(1)