高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】（一）数列极限1. 概念考察以下三个数列当n无限增大时，项a的变化趋势： （1）随着n的增大，从数值变化趋势上看，a有三种变化方式：数列是递减的,是递增的，是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n的增大，从数轴上观察项a表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:是从点a右侧，是从点a左侧，是从点a两侧交替地无限趋近于a（3）随着n的增大，从差式aa的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a无限趋近于a这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n的无限增大，数列项a无限地趋近于常数a（即aa无限地接近于0）”定义：一般地，如果当项数n无限增大时，无穷数列的项无限地趋近于某个常数a时，（即无限地接近于0），那么就说数列以a为极限，或者说a是数列的极限。表示为2. 数列极限的表示方法： 当时，.3. 几个常用极限：（为常数）对于任意实常数，当时，当时，若a1，则；若，则不存在当时，不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x的变化方式有哪些1. x时，函数的极限考察函数f(x)，当x和x时，函数的变化趋势x1101001 00010 000100 000y10.10.010.0010.000 10.000 01（1）当x时，从图象和表格上看，函数y的值无限趋近于0就是说函数y上的极限为0，记作（2）当时，类似地可得函数的值无限趋近于0，就是说，当时，函数的极限为0，记作 （3）还可以从差式y0上看，随着x (或x),差式无限趋近于0，即函数y无限趋近于0，这说明(或)函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：变化方式自变量x的变化趋势F(x)值的变化趋势极限表示从数值上看从数轴x上看从图象、表格上看从 |ya|看xx取正值并且无限增大单方向，向右无限增大f(x)无限趋近于常数a差式|ya|无限趋近于0xx取负值并且绝对值无限增大单方向，向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式 |ya|无限趋近于0Xx取正值并且无限增大,x 取负值并且绝对值无限增大双方向，向右无限增大和向左绝对值无限增大f(x)无限趋近于常数a差式|ya|无限趋近于0几种特殊函数的极限：（1）常数函数f(x)C (C为常数,xR),有（2）函数 （x0）,有.2. xx0时，函数的极限 例1. 考察函数yx，当无限趋近于2时，函数的变化趋势表一：x1.51.91.991.9991.999 91.999 99y2.253.163.963.9963.999 63.999 96y41.750.390.040.0040.000 40.000 04 表二：x2.52.12.012.0012.000 12.000 01y6.254.414.044.0044.000 44.000 04y42.250.410.040.0040.000 40.000 04从表一上看：自变量x2趋近于2(x2)时，y4 从图象上看：图象见教科书第79页，自变量x从左侧趋近于2(即x2)和从右侧趋近于2(即x2)时，y都趋近于4 从差式|y4|看：差式的值变得任意小(无限接近于0)从任何一方面看，当x无限趋近于2时，函数yx的极限是4记作： x4注意：x2，包括分别从左、右两侧趋近于2例2. 考察函数(x1),当x1时的变化趋势.分析：此例虽然在x1处没有定义，但仍有极限即：定义：一般地，当自变量无限趋近于常数（但不等于）时，如果函数无限趋近于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为记作或当时，.注：当时，是否存在极限与在处是否有定义无关，因为并不要求（当然，在处是否有定义也与在处是否存在极限无关故函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件）如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零3. 函数的左、右极限 例3 考察函数f(x) 当x0时，或x0时函数的变化趋势 分析： 此例与上两例不同，x从原点某一侧无限趋近于0，f(x)也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近于0，f(x)趋近的值不同，这时f(x)在x处无极限定义：如果x从xx的单侧无限趋近于x时，f(x)无限趋近于一个常数a，那么a叫做f(x)单侧的极限当xx时，f(x)的极限a叫做左极限，记作；当xx时，f(x)的极限a叫右极限，记作只有aa时，才存在。即a. 显然，是双侧极限。（三）函数极限与数列极限的四则运算法则 1. 函数极限的四则运算法则如果f(x)a, g(x)b, 那么 f(x)g(x) f(x) g(x) (. 特别的（1）CCf(x) (C为常数) （2） f(x)f(x)(nN)（3）这些法则对x的情况仍然成立（4）两个常用极限，0 (nN*)2. 数列极限的四则运算法则数列是一种特殊的函数（自变量为n，函数值为），所以数列的极限是函数极限的特例。数列极限有下面的四则运算法则： 如果 a，b，那么（）ab()ab（b0）特别地，（C）C （C为常数）说明：（1）法则的前提条件是、都存在（如果是商的运算，b0）（2）法则可推广到有限多个情形 （3）几个常用极限：CC，0 , 0 (1)数列的极限完美地统一了数列形式上的有限性和实质上的无限性的矛盾数列的极限是极其重要的数学概念因此必须正确理解数列极限的定义，准确地把握数列极限的四则运算法则应用的条件（四）函数的连续性从下列图形中分析：（1）（2）（3）（4）考虑下列问题：函数在点是否有定义？是否存在？是否与相等？分析：图（1）满足3条；图（2）不满足；图（3）不满足条件；图（4）不满足条件.函数f（x）在点处连续必须满足三个条件：函数f（x）在点处有定义；存在；函数f（x）在点处的极限值等于该点的函数值，即.1. 函数在一点处连续的定义：如果函数在点处及其附近有定义，而且，就说函数在点处连续。说明：（1） 包含两层意思： 存在；极限值与函数值相等（2）如果函数f（x），g（x）在某一点连续，那么函数在点处都连续2. 函数f（x）在点处不连续（间断）的判定：如果函数f（x）在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f（x）的不连续点.f（x）在点处没有定义，即不存在；不存在；存在，但【解题方法指导】例1 求下列极限：（1）；（2）分析：（1）当时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则。注意函数在定义域内，可以将分子、分母约去公因式后变成，由此即可求出函数的极限（2）分析：当时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则如果分子、分母都除以，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运算法则计算解：（1）（2）例2. 已知，求常数a的值分析：先求极限即可得到一个含a的方程，进一步解这个方程即可求出a来解： 由 ， 得a评述：本题既要运用方程的思想、转化的思想，又要有逆向思维能力及变形能力例3. 讨论函数的连续性解：函数的定义域为，由初等函数的连续知，在非分界点处函数是连续点，又在x1处连续不存在，从而在x1处不连续所以在上连续，x1为函数的不连续点【考点突破】【考点指要】 新教材对数列极限的定义要求有所降低，但对数列与函数的运算和应用要求较高.近几年高考试题中与极限有关的试题经常出现,形式多为选择、填空。在解答题中出现的极限问题，一般是数列、函数、几何图形等知识的综合题，分值约在510分。【典型例题分析】例1. （2020北京卷理9题）的值等于_解：例2. （2020湖南卷理3）已知数列（nN*）为等差数列，且a13，a25，则（A ）A. 2B. C. 1 D. 解：数列（nN*）为等差数列，且 ，故.【综合测试】一、选择题：1. 在数列an中，若(2n1)an1，则(nan)的值等于（ ）A. 0 B. C. 1 D. 22. 已知an是等比数列，a1a2a318，a2a3a49，它的前n项和为Sn，则Sn等于 （ ）A. 48 B. 32 C. 16 D. 83. 数列的前n项和分别为 若，则的值等于（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D.4. 在等比数列中，极限存在，且前n项和满足()0，那么a1的取值范围是（ ）A. (1，) B. (1，4) C. (1，2) D. 5. (2020广东卷理3题) （ ）A. B. 0C. D. 二、填空题6. 若，则实数a等于_7. 已知_8. （2020上海卷理7）计算： 三、解答题：9. 指出下列函数的不连续点：（1）（2）（3）10. （2000上海） 设正数数列an为一等比数列，且a24，a416. 综合测试答案一、选择题：1. 分析：逆用数列极限的运算法则时. 要保证各局部的数列极限必须存在解： 2. C解：设公比为q，则q(a1a2a3) a2a3a4，即：18q9,q,a124,Sn.3. C解：由已知可得,24. D解析：设等比数列的公比为q 为极限存在，且由此解得。故选D5. A解析：二、填空题6. 解：由已知得，a7. 原式1，原式0，原式1.