2021版高考数学一轮复习 核心素养测评二十五 正弦定理和余弦定理 理 北师大版

核心素养测评二十五 正弦定理和余弦定理(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.在abc中,a=23,b=22,b=45,则a为()a.60或120b.60c.30或150d.30【解析】选a.在abc中,由正弦定理得asina=bsinb,所以sin a=asinbb=23sin4522=32.又ab,所以ab,所以a=60或a=120.2.(2020侯马模拟)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若sinaa=cosbb,则b的大小为()a.30b.45c.60d.90【解析】选b.由正弦定理知,sinasina=cosbsinb,所以sin b=cos b,所以b=45.3.在abc中,a,b,c分别为角a,b,c的对边,若a=2bcos c,则此三角形一定是()a.等腰直角三角形b.直角三角形c.等腰三角形d.等腰三角形或直角三角形【解析】选c.在abc中,因为cos c=a2+b2-c22ab,所以a=2bcos c=2ba2+b2-c22ab,所以a2=a2+b2-c2,所以b=c,所以此三角形一定是等腰三角形.4.在abc中,a=60,a=6,b=2,则abc解的情况是()a.无解b.有唯一解c.有两解d.不能确定【解析】选b.因为在abc中,a=60,a=6,b=2,所以根据正弦定理得sin b=bsinaa=2326=12,因为a=60,得b+c=120,所以由sin b=12,得b=30,从而得到c=90,因此,满足条件的abc有且只有一个.【变式备选】已知在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.a=x,b=2,b=30,若三角形有两个解,则x的取值范围是()a.(2,+)b.(2,22)c.(2,4)d.(2,23)【解析】选c.因为三角形有两个解,所以xsin bbx,得2x4,即x的取值范围是(2,4).5.(2020郑州模拟)在abc中,a,b,c的对边分别为a,b,c.若2cos2a+b2-cos 2c=1,4sin b=3sin a,a-b=1,则c的值为()a.13b.7c.37d.6【解析】选a.由2cos2a+b2-cos 2c=1得2cos2a+b2-1-cos 2c=0,即cos 2c+cos c=0,即2cos 2c+cos c-1=0,解得cos c=12或cos c=-1(舍),由4sin b=3sin a得4b=3a,又a-b=1,联立得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2abcos c=16+9-12=13,c=13.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020合肥模拟)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且a=2,cos c=-14,3sin a=2sin b,则c=_.【解析】因为3sin a=2sin b,所以3a=2b.又因为a=2,所以b=3.由余弦定理可知c2=a2+b2-2abcos c,所以c2=22+32-223-14=16,所以c=4.答案:47.在abc中,三个内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若12bcos a=sin b,且a=23,b+c=6,则abc的面积为_.【解析】由题意可得:12abcos a=asin b,所以12asin bcos a=sin asin b,所以tan a=12a=3,所以a=3.利用余弦定理有cos a=b2+c2-a22bc=(b+c)2-a2-2bc2bc=12,结合a=23,b+c=6可得:bc=8,则sabc=12bcsin a=12832=23.答案:23【变式备选】在abc中,三个内角a,b, c所对的边分别是a,b,c,若(b+2sin c)cos a=-2sin acos c,且a=23,则abc面积的最大值是_.【解析】因为(b+2sin c)cos a=-2sin acos c,所以bcos a=-2(sin ccos a+sin acos c)=-2 sin(a+c)=-2sin b,则bsinb=-2cosa,结合正弦定理得-2cosa=asina=23sina,即tan a=-3,a=23,由余弦定理得cos a=b2+c2-a22bc=-12,化简得b2+c2=12-bc2bc,故bc4,sabc=12bcsin a12432=3 .答案:38.已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,且asin a+bsin b+2bsin a=csin c,a=2,b=22,则sin b=_.【解析】因为asin a+bsin b+2bsin a=csin c,所以a2+b2+2ab=c2.由余弦定理得cos c=a2+b2-c22ab=-22,又0c,所以c=34.c2=a2+b2-2abcos c=22+(22)2-2222-22=20,所以c=25.由正弦定理得csinc=bsinb,即2522=22sinb,解得sin b=55.答案:55三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2019柳州模拟)在abc中,角a,b,c所对的边分别为a,b,c,且(a2+b2-c2)(2sin a-sin b)=(a2+c2-b2)sin b.(1)求角c.(2)若c=22,abc的中线cd=2,求abc的面积.【解析】(1)因为(a2+b2-c2)(2sin a-sin b)=(a2+c2-b2)sin b.所以2abcos c(2sin a-sin b)=2accos bsin b.所以2sin acos c=sin(b+c)=sin a,又在abc中,sin a0,所以cos c=12,又0c,所以c=3.(2)由|=得,a2+b2+ab=16,由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=a2+b2-ab=8,由两式得ab=4,所以abc的面积s=12absin c=34 ab=3.10.(2020清华附中模拟)在abc中,3sin a=2sin b,tan c=35.(1)求cos2c.(2)若ac-bc=1,求abc的周长.【解析】(1)因为tan c=35,所以cos c=16,所以cos2c=2162-1=-1718.(2)设abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c.由3sin a=2sin b及正弦定理得3a=2b,又因为ac-bc=b-a=1,所以a=2,b=3.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos c=13-2=11,所以c=11,abc的周长为5+11.(15分钟35分)1.(5分)在abc中,内角a,b,c的对边分别为a,b,c.若a+b+csina+sinb+sinc=233,a=3,b=1,则abc的面积为()a.32 b.34c.12 d.14【解析】选b.由正弦定理得asina=bsinb=a+b+csina+sinb+sinc=233,又a=3,b=1,则a=1,b=3,所以abc是边长为1的正三角形,所以abc的面积为121232=34.2.(5分)(2020揭阳模拟)已知abc中,ab=ac=3,sin abc=2sin a,延长ab到d使得bd=ab,连接cd,则cd的长为()a.332b.3102c.362d.36【解析】选c.因为sin abc=2sin a,所以ac=2bc,即bc=32,因为bd=ab,所以ab2+bc2-ac22abbc+bd2+bc2-cd22bdbc=32+322-322332+32+322-cd22332=0,cd2=544,cd=362.3.(5分)(2020长沙模拟)在锐角abc中,d为bc的中点,满足bad+c=90,则b,c的大小关系是_.【解析】由bad+c=90,得cad+b=90,由正弦定理得adbd=sinbsinbad=sinbcosc,adcd=sincsincad=sinccosb,又d为bc的中点,所以bd=dc,所以sinbcosc=sinccosb,化简得sin bcos b=sin ccos c,即sin 2b=sin 2c,又abc为锐角三角形,所以b=c.答案:b=c4.(10分)已知菱形abcd的边长为2,dab=60.e是边bc上一点,线段de交ac于点f.(1)若cde的面积为32,求de的长.(2)若7cf=4df,求sindfc.【解析】(1)由已知,bcd=dab=60.因为cde的面积s=12cdcesinbcd=32,所以122ce32=32,解得ce=1.在cde中,由余弦定理得de=cd2+ce2-2cdcecosbcd=22+12-22112=3.(2)连接bd,由已知acd=30,bdc=60,设cde=,则060.在cdf中,由正弦定理得cfsin=dfsinacd,因为7cf=4df,所以sin =cf2df=27,所以cos =37,所以sin dfc=sin(30+)=1237+3227=32114.5.(10分)(2020侯马模拟) 在abc中,a,b,c分别为内角a,b,c的对边,且2asin a=(2b+c)sin b+(2c+b)sin c.(1)求a的大小;(2)若sin b+sin c=1,试判断abc的形状.【解析】(1)由已知,结合正弦定理,得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c,即a2=b2+c2+bc.又由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos a,所以bc=-2bccos a,即cos a=-12.由于a为abc的内角,所以a=23.(2)由已知2asin a=(2b+c)sin b+(2c+b)sin c,结合正弦定理,得2sin2a=(2sin b+sin c)sin b+(2sin c+sin b)sin c,即sin2a=sin2b+sin2c+sin bsin c=sin223=34.又由sin b+sin c=1,得sin2b+sin2c+2sin bsin c=1,所以sin bsin c=14,结合sin b+sin c=1,解得sin b=sin c=12.因为b+c=-a=3,所以b=c=6,所以abc是等腰三角形.1.我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式:设abc的三个内角a,b,c所对的边分别为a,b,c,则abc的面积s=14c2a2-c2+a2-b222.若a2sin c=4sin a,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得abc的面积为()a.3b.2c.3d.6【解析】选a.由正弦定理及a2sin c=4sin a,得ac=4,再结合(a+c)2=12+b2,得a2+c2-b2=4,则s=14c2a2-c2+a2-b222=16-44=3,故选a.2.(2019沈阳模拟)在abc中,内