2021版高考数学一轮复习 核心素养测评六十九 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 理 北师大版

核心素养测评六十九 分类加法计数原理与分步乘法计数原理(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.如图,从a到o的不同的走法(不重复过一点)有_种()a.1b.2c.4d.5【解析】选d.分3类:第一类,直接由a到o,有1种走法;第二类,中间过一个点,有abo和aco,有2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有abco和acbo,有2种不同的走法.由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5(种)不同的走法.2.将3张不同的演唱会门票分给10名同学中的3人,每人1张,则不同分法的种数是()a.2 160b.720c.240d.120【解题指南】按顺序分步骤确定每张门票的分法种数,根据分步乘法计数原理得到结果.【解析】选b.分步来完成此事.第1张有10种分法,第2张有9种分法,第3张有8种分法,共有1098=720(种)分法.【变式备选】用0到9这10个数字,可以组成_个没有重复数字的三位奇数.【解析】由题意,从1,3,5,7,9中任选一个数排在个位,共有5种方法,再从剩余的8个非零数字中任选一个数字排在首位,共有8种方法,从剩余的8个数字中任选一个数字排在十位数,共有8种方法,由分步乘法计数原理,知组成没有重复数字的三位奇数共有588=320(个).答案:3203.教学大楼共有五层,每层均有两个楼梯,由一层到五层的走法有()a.10种b.25种c.52种d.24种【解析】选d.每相邻的两层之间各有2种走法,共分4步.由分步乘法计数原理可知,共有24种不同的走法.4.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()a.36种b.48种c.96种d.192种【解析】选c.设4门课程分别为1,2,3,4,甲选修2门,可有1,2;1,3;1,4;2,3;2,4;3,4共6种情况,同理乙,丙均可有1,2,3;1,2,4;2,3,4;1,3,4共4种情况,所以不同的选修方案共有644=96(种).5.现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是()a.65b.56c.30d.11【解析】选b.每一位同学有5种不同的选择,则6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座,每名同学可自由选择其中的一个讲座,不同选法的种数是56.6.九章算术中记载有“阳马,鳖臑(bi no)”,阳马是底面为矩形,有一条侧棱与底面垂直的四棱锥,鳖臑是四个面都是直角三角形的四面体.若以正方体的顶点为阳马的顶点,可以得到m个阳马,以正方体的顶点为鳖臑的顶点,可以得到n个鳖臑,则()a.m=12,n=24b.m=36,n=24c.m=12,n=72d.m=36,n=72【解析】选d.因为以正方体的一个顶点为四棱锥的顶点所得的阳马有3个,而正方体有12个顶点,所以阳马的个数m=36,因为每个阳马可以拆分为2个鳖臑,所以鳖臑的个数n=72.【变式备选】在上海高考改革方案中,要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科(3门理科学科,3门文科学科)中选择3门学科参加等级考试,小丁同学理科成绩较好,决定至少选择两门理科学科,那么小丁同学的选科方案有_种.【解析】先分两类:(1)两理一文,分两步:从3门理科中,选择两门理科学科,有3种方法,从3门文科中选一门文科学科,有3种方法,所以共有33=9(种);(2)选择三门理科学科,只有1种,由分类加法计数原理得小丁同学的选科方案有10种.答案:107.某校为了庆祝新中国成立70周年举办文艺汇演,原节目单上有9个节目已经排好顺序,又有3个新节目需要加进去,不改变原来的顺序,则新节目单的排法有_种 ()a.12b.27c.729d.1 320【解题指南】可以考虑3个新节目逐一加入原来的节目单中去.【解析】选d.第一步:9个节目空出10个位置,可以加入1个新来的节目,所以加入一个新节目有10种方法,第二步:从排好的10个节目空出的11个位置中,加入第2个新节目,有11种方法,第三步:从排好的11个节目空出的12个位置中,加入第3个新节目,有12种方法,所以由分步乘法计数原理得加入3个新节目后的节目单的排法有101112=1 320(种).【变式备选】若自然数n使得作竖式加法n+(n+1)+(n+2)均不产生进位现象,则称n为“开心数”.例如:32是“开心数”,因32+33+34不产生进位现象;23不是“开心数”,因23+24+25产生进位现象.那么,小于100的“开心数”的个数为()a.9b.10c.11d.12【解析】选d.根据题意个位数需要满足要求:因为n+(n+1)+(n+2)10,即n2.3,所以个位数可取0,1,2三个数,因为十位数需要满足:3n10,所以n3.3,所以十位可以取0,1,2,3四个数,故小于100的“开心数”共有34=12(个).二、填空题(每小题5分,共15分)8.小明计划在2019年的暑假从他居住的昆明到北京去游学,他可以坐动车,也可以乘高铁,还可以乘飞机,已知动车每日5班,高铁每日10班,飞机每日2班,则小明在某一天从昆明到北京有_种出行方式.【解析】出行方式分3类,动车有5种方式,高铁有10种方式,飞机有2种方式,这三类的每一种方式都可以达到出行目的,所以由分类加法计数原理得共有5+10+2=17种出行方式.答案:179.甲组有4名男同学、2名女同学;乙组有5名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_种.【解析】分两类:第一类,甲组1男1女,乙组2男0女,再分两个步骤,第一步甲组选1男1女,有42=8(种)方法,第二步乙组选2男0女,把5个男同学编号1,2,3,4,5,从中选2人,有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,有10种方法,所以第一类共有810=80种方法,第二类,甲组2男0女,乙组1男1女,再分两个步骤,第一步甲组选2男0女,把4个男同学编号1,2,3,4,从中选2人,有12,13,14,23,24,34,共6种方法,第二步乙组选1男1女,有52=10(种)方法,所以第二类共有610=60种方法,所以选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有80+60=140(种).答案:14010.已知集合m=1,2,3,4,集合a,b为集合m的非空子集,若对xa,yb,xy恒成立,则称(a,b)为集合m的一个“子集对”,则集合m的“子集对”共有_个.【解析】当a=1时,b有23-1种情况;当a=2时,b有22-1种情况;当a=3时,b有1种情况;当a=1,2时,b有22-1种情况;当a=1,3,2,3,1,2,3时,b均有1种情况.所以满足题意的“子集对”共有7+3+1+3+3=17(个).答案:17【变式备选】已知集合p=x,1,q=y,1,2,其中x,y1,2,3,9,且pq.把满足上述条件的一对有序整数对(x,y)作为一个点的坐标,则这样的点的个数是_个.【解析】若x=2,则y取3,4,9中的一个数,共7种.若x=y,则y取3,4,9中的一个,共7种.这样的点有7+7=14(个).答案:14(15分钟35分)1.(5分)甲、乙两人从4门课程中各选修2门,则甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()a.6种b.12种c.30种d.36种【解析】选c.考虑问题的反面:甲、乙所选的课程2门都相同,把4门课程编号为1,2,3,4,从中选2门,有12,13,14,23,24,34共6种方法,所以甲、乙的选法都有6种,所以甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有66-6=30(种).2.(5分)一生产过程有4道工序,每道工序需要安排一人照看.现从甲、乙、丙等6名工人中安排4人分别照看这4道工序,第一道工序只能从甲、乙两工人中安排1人,第四道工序只能从甲、丙两工人中安排1人,则不同的安排方案共有()a.24种b.36种c.48种d.72种【解析】选b.按照甲的情形分类:第一类:甲照看第一道工序,则丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有43=12(种)方案,第二类:甲照看第四道工序,则乙照看第一道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有43=12(种)方案,第三类:甲不照看第一道工序,也不照看第四道工序,则乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,余下4人选择2人照看第二、第三道工序,有43=12种方案,所以由分类加法计数原理得不同的安排方案共有12+12+12=36(种).【一题多解】选b.按照4道工序的安排分为两个步骤,第一步安排第一道工序和第四道工序,(1)甲照看第一道工序,丙照看第四道工序,(2)甲照看第四道工序,乙照看第一道工序,(3)乙照看第一道工序,丙照看第四道工序,所以符合条件的方案有3种,第二步安排余下的两道工序,有43=12(种)方案,由分步乘法计数原理得不同的安排方案有312=36(种).3.(5分)如图所示,用4种不同的颜色涂入图中的矩形a,b,c,d中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()a.256种b.128种c.72种d.64种【解析】选c.按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时a有4种涂法,b有3种涂法,c有2种涂法,d有1种涂法,共有4321=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时a,b,c的涂法有432=24(种),d只要不与c同色即可,故d有2种涂法,所以不同的涂法共有24+242=72(种).【变式备选】用5种不同的颜色给图中所给出的四个区域涂色,每个区域涂一种颜色.若要求相邻(有公共边)的区域不同色,则不同的涂法共有()1324a.220种b.240种c.260种d.300种【解析】选c.完成该件事可分步进行.涂区域1,有5种颜色可选.涂区域2,有4种颜色可选.涂区域3,可先分类:若区域3的颜色与2相同,则区域4有4种颜色可选;若区域3的颜色与2不同,则区域3有3种颜色可选,此时区域4有3种颜色可选.所以共有54(14+33)=260(种)涂色方法.4.(10分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中任意选取3个不同的数字,(1)求这3个数字组成等差数列的个数;(2)求以这3个数字为边长组成的三角形的个数.【解析】(1)按照公差的大小分类:公差为1的数列,有8个(0,1,2;1,2,3;2,3,4;7,8,9),公差为2的数列,有6个(0,2,4;1,3,5;2,4,6;5,7,9),公差为3的数列,有4个(0,3,6;1,4,7;2,5,8;3,6,9),公差为4的数列,有2个(0,4,8;1,5,9),所以公差为正数的等差数列有8+6+4+2=20(个).由对称性可知公差为负数的等差数列也有20个,所以这3个数字组成等差数列的个数为40.(2)按照边长最大的边分类:最长边为9,有7,8,9;6,8,9;5,8,9;4,8,9;3,8,9;2,8,9;6,7,9;5,7,9;4,7,9;3,7,9;5,6,9;4,6,9,共12个;最长边为8,有6,7,8;5,7,8;4,7,8;3,7,8;2,7,8;5,6,8;4,6,8;3,6,8;4,5,8,共9个;最长边为7,有5,6,7;4,6,7;3,6,7;2,6,7;4,5,7;3,5,7,共6个;最长边为6,有4,5,6,共1个.所以能组成三角形的个数为12+9+6+1=28.5.(10分)现有5幅不同的国画,2幅不同的油画,7幅不同的水彩画.(1)从中任选一幅画布置房间,有几种不同的选法?(2)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间,有几种不同的选法?(3)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间,有几种不同的选法?【解析】(1)分为三类:从国画中选,有5种不同的选法;从油画中选,有2种不同的选法;从水彩画中选,有7种不同的选法.根据分类加法计数原理共有5+2+7=14(种)不同的选法. (2)分为三步:国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法,根据分步乘法计数原理,共有527=70(种)不同的选法. (3)分为三类:第一类是一幅选自国画,一幅选自油画,由分步乘法计数原理知,有52=10(种)不同的选法.第二类是一幅选自国画,一幅选自水彩画,有57=35(种)不同的选法.第三类是一幅选自油画,一幅选自水彩画,有27=14(种)不同的选法,所以有10+35+14=59(种)不同的选法.1.(2020聊城模拟)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2013是“六合数”),则首数为2的“六合数”共有()a.18b.15c.12d.9【解析】选b.若由3个2,一个0组成六合数,符合题意的有3个;若由2个2,2个1组成六合数,有3个;若由1个2,1个0,1个