线段和的最小值问题

,中考数学中的最短问题,-线段和的最小值问题,青田二中虞伟杰,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,P,A,B,如图，要在街道旁修建一个奶站P，向居民区A、B提供牛奶，奶站P应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？为什么？,街道,P,求线段和最小值的一般步骤：,连结对称点A与B之间的线段，交直线l于点P，点P即为所求的点，线段AB的长就是AP+BP的最小值。,选点P所在直线l为对称轴；画出点A的对称点A；,B,L,A,基本图形:两点一线,B,L,A,基本解法:利用对称性,将“折”转“直”,1、如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC称连结ED交AC于P，则PB+PE的最小值等于线段_的长度，最小值等于_；,2、小聪根据实际情况，以街道旁为x轴，建立了如图1所示的平面直角坐标系，测得A点的坐标为（0，3），B点的坐标为（6，5），求从A、B两点到奶站P距离之和的最小值。,练习,A,P,C,B,DE,出题背景变式有：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题思路：找点关于线的对称点，实现“折”转“直”。,变式1（2008年湖北荆门市中考题）如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，则PM+PN的最小值是_,M,N,P,M,P,5,练习(2011广西试题改编）如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P线段EF上一个动点，连接BP、GP，则（1）PB+PG的最小值是（2）BPG周长的最小值是。,P,3,2,变式2如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（2,4），点B的坐标是（6,2），在y轴和x轴上找两点P、Q，使得A，B，P，Q四点组成的四边形周长最小，请画出示意图，并求出P、Q两点的坐标。,B,A,P,Q,.,P,Q,.,课堂小结,不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短”，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”，实现“折”转“直”,本节课我们学习了问题，这类问题的解题方法是怎样的？,线段和的最小值,数学思想：转化思想,练习、(2010东营)如图，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象与坐标轴交于点A（-1，0）和点B（0，-5）（1）求该二次函数的解析式；,（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点P，使得ABP的周长最小请求出点P的坐标,B,P,谢谢,2、已知：如图，AB是O的直径，AB=4，点C是半圆的三等份点，点D是弧BC的中点，AB上有一动点P，连接PC，PD，则PC+PD的最小值是多少？并画出点P的位置.,A,B,C,O,P,D,D,P,2、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，APD中边AP上的高为（）A、,B、,C、,D、3,D,C,4.如图，抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的坐标为,，交x轴于A、B两点，交y轴于点,（1）求抛物线的解析式（2）把ABC绕AB的中点E旋转180，得到四边形ADBC判断四边形ADBC的形状，并说明理由（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得FBD的周长最小，若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由,拓展,（2012台州