2021版高考数学一轮复习 第九章 立体几何 9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算练习 理 北师大版_第1页
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文档简介

9.5 空间直角坐标系、空间向量及其运算核心考点精准研析考点一空间向量的线性运算1.在空间四边形abcd中,若=(-3,5,2),=(-7,-1,-4),点e,f分别为线段bc,ad的中点,则的坐标为()a.(2,3,3)b.(-2,-3,-3)c.(5,-2,1)d.(-5,2,-1)2.在空间直角坐标系中,已知点a(1,0,2),b(1,-3,1),点m在y轴上,且m到a与到b的距离相等,则m的坐标是_.3.如图所示,在长方体abcd-a1b1c1d1中,o为ac的中点.用ab,ad,aa1表示oc1,则oc1=_.4.g为正四面体abcd外接球的球心,则=x+y+z,x,y,z分别是()a.14,14,14b.13,13,13c.12,12,12d.13,13,16【解析】1.选b.因为点e,f分别为线段bc,ad的中点,设o为坐标原点,所以=-,=12(+),=12(+).所以=12(+)-12(+)=12(+)=12(3,-5,-2)+(-7,-1,-4)=12(-4,-6,-6)=(-2,-3,-3).2.设m(0,y,0),则ma=(1,-y,2),mb=(1,-3-y,1),由题意知|ma|=|mb|,所以12+y2+22=12+(-3-y)2+12,解得y=-1,故m(0,-1,0).答案:(0,-1,0)3.因为oc=12ac=12(ab+ad),所以oc1=oc+cc1=12(ab+ad)+aa1=12ab+12ad+aa1.答案:12ab+12ad+aa14.选a.取bc的中点m,bcd的中心为o,则=34,=13+23,=12+12,=14+14+14,即x=y=z=14.用已知向量表示某一向量的方法(1)用已知向量来表示未知向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量,我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则.(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则,向量加法的平行四边形法则在空间中仍然成立.考点二共线向量定理、共面向量定理及其应用【典例】1.已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,),若向量a,b,c共面,则实数等于()a.627b.637c.647d.6572.如图,已知m,n分别为四面体abcd的面bcd与面acd的重心,且g为am上一点,且gmga=13.求证:b,g,n三点共线.【解题导思】序号联想解题1因为a,b,c共面,想到c=xa+yb,列出方程组可求参数值.2要证b,g,n三点共线,只要证bn=bg即可,想到选择恰当的基向量分别表示bn和bg. 【解析】1.选d.因为向量a,b,c共面,所以由共面向量基本定理,存在惟一有序实数对(x,y),使得xa+yb=c,所以2x-y=7,-x+4y=53x-2y=,解方程组得=657.2.设ab=a,ac=b,ad=c,则bg=ba+ag=ba+34am =-a+14(a+b+c)=-34a +14b +14c,bn=ba+an=ba+13(ac+ad)=-a+13b+13c=43bg.所以bnbg,即b,g,n三点共线.证明三点共线和空间四点共面的方法比较三点(p,a,b)共线空间四点(m,p,a,b)共面pa=pb且同过点pmp=xma+ymb对空间任一点o,op=oa+tab对空间任一点o,op=om+xma+ymb1.e1,e2是平面内不共线两向量,已知ab=e1-ke2,cb=2e1+e2,cd=3e1-e2,若a,b,d三点共线,则k的值是()a.2b.-3c.-2d.3【解析】选a.bd=cd-cb=e1-2e2,又a,b,d三点共线,设ab=bd,所以1=-k=-2,所以k=2.2.如图,已知平行六面体abcd-abcd,e,f,g,h分别是棱ad,dc,cc和ab的中点,求证e,f,g,h四点共面.【证明】取ed=a,ef=b,eh=c,则hg=hb+bc+cg=df+2ed+12aa=b-a+2a+12(ah +he+ea )=b+a+12(b-a-c-a)=32b-12c,所以hg与b,c共面.即e,f,g,h四点共面.考点三空间向量的数量积及其应用命题精解读1.考什么:(1)考查空间向量的数量积运算、利用数量积求线段长度、夹角大小以及证明垂直问题.(2)考查直观想象与数学运算的核心素养.2.怎么考:常见命题方向:证明线线垂直,求空间角.3.新趋势:以柱、锥、台体为载体,利用空间向量的数量积运算解决求值问题.学霸好方法1.(1)利用数量积解决问题的两条途径 :一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算;二是利用坐标运算.(2)利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题.a0,b0,abab=0;|a|=a2;cos=ab|a|b|.2.交汇问题:与立体几何知识联系,考查证明垂直,求空间角等问题. 空间向量的数量积运算【典例】1.在棱长为1的正四面体abcd中,e是bc的中点,则=()a.0b.12c.-12d.-142.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2)且ka+b与2a-b互相垂直,则k=_.【解析】1.选d.=12=12=1212+12-12-1=-14.2.由题意得,ka+b=(k-1,k,2),2a-b=(3,2,-2).所以(ka+b)(2a-b)=3(k-1)+2k-22=5k-7=0,解得k=75.答案:75数量积的应用【典例】已知空间三点a(0,2,3),b(-2,1,6),c(1,-1,5).(1)求以ab,ac为边的平行四边形的面积.(2)若|a|=3,且a分别与ab,ac垂直,求向量a的坐标.【解析】(1)由题意可得:ab=(-2,-1,3),ac=(1,-3,2),所以cos=abac|ab|ac|=-2+3+61414=714=12,所以sin=32,所以以ab,ac为边的平行四边形的面积为s=212|ab|ac|sin=1432=73.(2)设a=(x,y,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1,或x=-1,y=-1,z=-1,所以向量a的坐标为(1,1,1)或(-1,-1,-1).1.已知向量a=(1,0,-1),则下列向量中与a成60夹角的是()a.(-1,1,0)b.(1,-1,0)c.(0,-1,1)d.(-1,0,1)【解析】选b.经检验,选项b中向量(1,-1,0)与向量a=(1,0,-1)的夹角的余弦值为12,即它们的夹角为60.2.如图所示,在四棱柱abcd-a1b1c1d1中,底面为平行四边形,以顶点a为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60.(1)求ac1的长.(2)求证:ac1bd.(3)求bd1与ac夹角的余弦值.【解析】(1)记=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,=60,所以ab=bc=ca=12.|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=1+1+1+212+12+12=6,所以|=6,即ac1的长为6.(2)因为=a+b+c,=b-a,所以=(a+b+c)(b-a)=ab+b2+bc-a2-ab-ac=bc-ac=|b|c|cos 60-|a|c|cos 60=0.所以,所以ac1bd.(3)=b+c-a,=a+b,所以|=2,|=3,=(b+

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