2021版高考数学一轮复习 第九章 立体几何 9.1 空间几何体练习 理 北师大版VIP

9.1 空间几何体核心考点精准研析考点一空间几何体的结构特征1.以下命题:以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥;以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台;以矩形的任意一边所在直线为轴,其余三边旋转一周所得的旋转体是圆柱;一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台.其中正确命题的个数为()a.0b.1c.2d.32.以下四个命题中真命题为()a.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥b.底面是矩形的平行六面体是长方体c.直四棱柱是直平行六面体d.棱台的侧棱延长后必交于一点3. 下列结论:在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线;在圆台上、下两底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆台的母线;圆柱的任意两条母线相互平行.其中正确的是()a.b.c.d.4.若四面体的三对相对棱分别相等,则称之为等腰四面体,若四面体的一个顶点出发的三条棱两两垂直,则称之为直角四面体,以长方体abcd-a1b1c1d1的顶点为四面体的顶点,可以得到等腰四面体、直角四面体的个数分别为()a.2,8b.4,12c.2,12d.12,8【解析】1.选b.由圆锥、圆台、圆柱的定义可知错误,正确.对于命题,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,不正确.2.选d.对于a,对等腰三角形的腰是否为侧棱未作说明(如图),故a是假命题;底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与底面不垂直,故b是假命题;因为直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故c是假命题;由棱台的定义知d是真命题.3.选d.所取的两点的连线与圆柱的轴所构成的四边形不一定是矩形,若不是矩形,则与圆柱母线定义不符.所取两点连线的延长线不一定与轴交于一点,不符合圆台母线的定义.符合圆锥、圆柱母线的定义及性质.4.选a.因为矩形的对角线相等,所以长方体的六个面的对角线构成2个等腰四面体.因为长方体的每个顶点出发的三条棱都是两两垂直的,所以长方体中有8个直角四面体.解决空间几何体概念辨析题的常用方法(1)定义法:紧扣定义,由已知构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,根据定义进行判定.(2)反例法:通过反例对结构特征进行辨析.【秒杀绝招】优选法解t2,根据棱台的概念知,所有侧棱交于一点,故d正确,a,b,c可以不予考虑.考点二空间几何体的三视图与直观图【典例】1.(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为 ()a.1b.2c.3d.4【解题导思】序号联想解题1由直观图及俯视方向联想俯视图的形状2由三视图,想到还原为直观图后加以判断【解析】1.选a.由直观图可知选a.2.选d.由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图所示(图中阴影部分),利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面全部是直角三角形.1.由几何体的直观图求三视图需要注意的两个问题(1)注意主视图、左视图和俯视图的观察方向.(2)注意看到的部分用实线表示,不能看到的部分用虚线表示.2.根据三视图还原几何体实物的基本思想(1)仔细分析和认真观察三视图,进行充分的空间想象.(2)结合三视图的形状,从不同的角度去还原.1.(2020芜湖模拟)某超市货架上摆放着某品牌红烧牛肉方便面,如图是它们的三视图,则货架上的红烧牛肉方便面至少有()a.8桶b.9桶c.10桶d.11桶【解析】选b.易得第一层有4桶,第二层最少有3桶,第三层最少有2桶,所以至少有9桶,故选b.2.(2018全国卷i)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点m在主视图上的对应点为a,圆柱表面上的点n在左视图上的对应点为b,则在此圆柱侧面上,从m到n的路径中,最短路径的长度为()a.217b.25c.3d.2【解析】选b.将三视图还原为圆柱,m,n的位置如图1所示,将侧面展开,最短路径为m,n连线的距离,所以mn=42+22=25.考点三空间几何体的表面积与体积命题精解读1.考什么:(1)考查求几何体的表面积与体积.(2)考查直观想象、逻辑推理、数学运算的核心素养.2.怎么考:(1)由三视图还原几何体形状,再求表面积或体积.(2)与平行、垂直的性质、判定相结合考查.3.新趋势:以柱、锥、台、球为载体,结合线面垂直等知识考查.学霸好方法空间几何体表面积、体积的求法(1)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用.(2)多面体的表面积是各个面的面积之和;组合体的表面积注意衔接部分的处理.(3)体积可用公式法、转换法、分割法、补形法等求解.求空间几何体的表面积或侧面积【典例】(2018全国卷i)已知圆柱的上、下底面的中心分别为o1,o2,过直线o1o2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()a.122b.12c.82d.10【解析】选b.截面面积为8,所以高h=22,底面半径r=2,所以该圆柱表面积s=(2)22+2222=12.面积为8的正方形截面的边长与圆柱的高及底面半径有何关系?提示:正方形边长与圆柱高相等,是底面半径的2倍.求空间几何体的体积【典例】(2019全国卷)学生到工厂劳动实践,利用3d打印技术制作模型.如图,该模型为长方体abcd-a1b1c1d1挖去四棱锥o-efgh后所得几何体,其中o为长方体的中心,e,f,g,h分别为所在棱的中点,ab=bc=6 cm,aa1=4 cm,3d打印所用原料密度为0.9 g/cm3,不考虑打印损耗,制作该模型所需原料的质量为g.【解析】s四边形efgh=46-41223=12(cm2),v=664-13123=132(cm3).m=v=0.9132=118.8(g).答案:118.8(1)求制作该模型所需原料的质量实际是求面积还是体积问题?提示:体积问题.(2)模型的体积与长方体体积和四棱锥体积之间有何关系?提示:模型的体积是长方体体积和四棱锥体积之差.1.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为.【解析】根据三视图可知几何体是一个长方体挖去一个圆柱,所以s=2(4+3+12)+2-2=38.答案:382.若正方体的棱长为2,则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为()a.26b.23c.33d.23【解析】选b.由题意知,以正方体各个面的中心为顶点的凸多面体为正八面体(即两个同底同高同棱长的正四棱锥),所有棱长均为1,其中每个正四棱锥的高均为22,故正八面体的体积为v=2v正四棱锥=2131222=23.3.(2020吉安模拟)已知三棱锥p-abc中,pa,pb,pc两两垂直,且pa=pb=pc=1,则三棱锥p-abc外接球的表面积为()a.b.3c.2d.3【解析】选d.三棱锥p-abc中,pa,pb,pc两两垂直,设外接球半径为r,则2r=12+12+12=3,r=32,外接球的表面积s=4r2=3.1.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()a.b.34c.2d.4【解析】选b.如图,画出圆柱的轴截面,r=bc=32,那么圆柱的体积v=r2h=3221=34.2.(2020合肥模拟)陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一,但陀螺这个名词,直到明朝刘侗、于奕正合撰的京地景物略一书中才正式出现,如图所示的网格纸中小正方形的边长均为1,粗线画出的是一个陀螺模型的三视图,则该陀螺模型的表面积为()a.(85+82+16)b.(85+42+16)c.(85+82+4)d.(85+42+4)【解析】选b.由三视图知,该几何体是上部为圆锥,中部为圆柱,下部为圆锥的组合体,根据图中数据,计算该陀螺的表面积为s=12422+14+42-22+1284+16=(85+42+16).3.圆锥的