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4.2 三角函数的同角关系、诱导公式核心考点精准研析考点一同角三角函数的基本关系式的应用1.(2019西安模拟)若sin =-513,且为第四象限角,则tan = ()a.125b.-125c.512d.-512【解析】选d.因为sin =-513,为第四象限角,所以cos =1-sin2=1213,所以tan =sincos=-512.2.已知cos =k,kr,2,则sin =()a.-1-k2b.1-k2c.1-k2d.1+k2【解析】选b.因为2,所以cos 0,所以sin =1-cos2=1-k2.【巧思妙解】(排除法)选b.因为2,所以sin 0,排除a,c,又-1k1,故排除d.若将题中的“cos =k,kr,2,”换为“sin =k,kr,2,”,如何求cos 呢?【解析】因为2,所以cos 0,由平方关系知cos =-1-sin2=-1-k2.3.已知tan =12,则:(1)sin-3cossin+cos=_.(2)sin2+sin cos +2=_.【解析】(1)sin-3cossin+cos=tan-3tan+1=12-312+1=-53.(2)sin2+sin cos +2=3sin2+sin cos +2cos2=3sin2+sincos+2cos2sin2+cos2=3tan2+tan+2tan2+1=3122+12+2122+1=135.答案:(1)-53(2)135同角三角函数关系式的应用方法(1)利用sin2+cos2=1可实现的正弦、余弦的互化,利用sincos=tan 可以实现角的弦切互化.(2)由一个角的任意一个三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值,因为利用“平方关系”公式,需求平方根,会出现两解,需根据角所在的象限判断符号,当角所在的象限不明确时,要进行分类讨论.(3)分式中分子与分母是关于sin ,cos 的齐次式,往往转化为关于tan 的式子求解. 【秒杀绝招】1.勾股数解t1,看到sin =-513,想到勾股数5,12,13,所以cos =1213,tan =512,因为为第四象限角,所以tan 0,cos sin ,cos -sin =15,又(cos -sin )2=1-2sin cos =125,所以2sin cos =2425,(cos +sin )2=1+2sin cos =4925,cos +sin =75,所以sin2
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