2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数练习 理 北师大版

4.1 任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数核心考点精准研析考点一象限角与终边相同的角1.若角是第二象限角,则2是()a.第一象限角b.第二象限角c.第一或第三象限角d.第二或第四象限角2.(2019长春模拟)若角的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=-3x上,则角的取值集合是()a.=2k-3,kzb.=2k+23,kzc.=k-23,kzd.=k-3,kz3.下列各角中,与角330的终边相同的是()a.150b.-390c.510d.-1504.与-2 010终边相同的最小正角是_.【解析】1.选c.因为是第二象限角,所以2+2k+2k,kz,所以4+k22+k,kz.当k为偶数时,2是第一象限角;当k为奇数时,2是第三象限角.综上,2是第一或第三象限角.2.选d.因为直线y=-3x的倾斜角是23,所以终边落在直线y=-3x上的角的取值集合为=k-3,kz.3.选b.与角330的终边相同的角为=k360+330(kz),令k=-2,可得=-390.4.因为-2 010=(-6)360+150,所以150与-2 010终边相同,又终边相同的两个角相差360的整数倍,所以在0360中只有150与-2 010终边相同,故与-2 010终边相同的最小正角是150.答案:1501.表示区间角的三个步骤(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界.(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360360范围内的角和,写出最简区间.(3)起始、终止边界对应角,再加上360的整数倍,即得区间角集合.2.象限角的两种判断方法(1)图像法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.(2)转化法:先将已知角化为k360+(0360,kz)的形式,即找出与已知角终边相同的角,再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角.3.求n或n(nn*)所在象限的方法(1)将的范围用不等式(含有k)表示.(2)两边同除以n或乘以n.(3)对k进行讨论,得到n或n(nn*)所在的象限.提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角的终边逆时针旋转180可得角+180的终边,类推可知+k180(kz)表示终边落在角的终边所在直线上的角.【秒杀绝招】结论法解t1,若角是第一(或二)象限角,则2是第一或第三象限角;若角是第三(或四)象限角,则2是第二或第四象限角.排除法解t2,终边在直线上,是k,终边在射线上是2k,排除a,b;直线y=-3x的倾斜角是钝角,加钝角或减锐角,排除c,所以选d.考点二弧度制、扇形的弧长及面积公式【典例】1.若扇形的圆心角=120,弦长ab=12 cm,则弧长l=_cm.2.已知扇形的周长为20 cm,当它的面积最大时,它的圆心角的弧度数为_.【解题导思】序号联想解题1由扇形的圆心角想到弧长公式l=|r2由扇形的周长想到扇形面积公式s=12lr,周长=l+2r,转化为函数求最值【解析】1.设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60=6r得r=43cm,所以l=|r=2343=833(cm).答案:8332.因为扇形的周长为20,所以l+2r=20,即l=20-2r,所以扇形的面积s=12lr=12(20-2r)r=-r2+10r=-(r-5)2+25,所以当半径r=5时,扇形的面积最大为25,此时=2(rad).答案:2有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.已知扇形周长为40,当它的半径和圆心角分别取何值时,扇形的面积最大?【解析】设圆心角是,半径是r,则2r+r=40.又s=12r2=12r(40-2r)=r(20-r)=-(r-10)2+100100,当且仅当r=10时,smax=100,此时210+10=40,=2,所以当r=10,=2时,扇形的面积最大.考点三任意角三角函数的定义及应用命题精解读1.考什么:(1)三角函数符号判断,比较大小、解不等式,运用定义求值等等.(2)考查数学抽象,逻辑推理,数学运算等核心素养,以及数形结合的思想.2.怎么考:与直线、诱导公式、三角恒等变换等结合考查判断符号、求三角函数值等等.学霸好方法1.三角函数值符号的判断方法(1)先分别判断每个三角函数值的符号.(2)按照题中要求判断所求三角函数值的符号.2.利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.三角函数符号判断【典例】(2019衡水模拟)若sin cos 0,则角是()a.第一象限角b.第二象限角c.第三象限角d.第四象限角【解析】选d.由tansin0,得1cos0,所以cos 0.又sin cos 0,所以sin 0,所以为第四象限角.知道哪些三角函数符号,可确定角所在象限?提示:知sin ,cos ,tan 中两个的符号,可确定角所在象限.解不等式【典例】函数y=sinx-32的定义域为_.【解析】由题意可得sin x-320,即sin x32.作直线y=32交单位圆于a,b两点,连接oa,ob,则oa与ob围成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,故满足条件的角x的集合为x|2k+3x2k+23,kz.答案:2k+3,2k+23,kz利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤是什么?提示:(1)用边界值定出角的终边位置.(2)根据不等式组定出角的范围.(3)求交集,找单位圆中公共的部分.(4)写出角所满足的范围.利用任意角三角函数定义求值【典例】1.(2019南昌模拟)已知角的终边在直线y=-x上,且cos 0,则tan =_.2.(2019许昌模拟)设是第二象限角,p(x,4)为其终边上的一点,且cos =15x,则tan =_.【解析】1.如图,由已知,角的终边在第二象限,在其终边上任取一点p(x,y),则y=-x,由三角函数的定义得tan =yx=-xx=-1.答案:-12.因为是第二象限角,所以cos =15x0,即x0,cosx-120,即sinx0,cosx12,解得2kx+2k,-3+2kx3+2k(kz),所以2kx3+2k,kz.所以函数的定义域为x2kx3+2k,kz.答案:x2kx3+2k,kz1.已知点m13,a在函数y=log3x的图像上,且角的终边所在的直线过点m,则tan =()a.-13b.13c.-3d.3【解析】选c.因为点m13,a在函数y=log3x的图像上,所以a=log313=-1,即m13,-1,所以