2021版高考数学一轮复习 核心素养测评五十七 双曲线 理 北师大版

核心素养测评五十七 双曲线 (30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020合肥模拟)已知双曲线的一条渐近线方程为y=2x,且经过点2,25,则该双曲线的标准方程为()a.x24-y2=1b.y24-x2=1c.x2-y24=1d.y2-x24=1【解析】选b.对于a选项,双曲线的渐近线方程为y=12x,不符合题意.对于b选项,双曲线的渐近线方程为y=2x,且过点2,25,符合题意.对于c选项,双曲线的渐近线为y=2x,但不过点2,25,不符合题意.对于d选项,双曲线的渐近线为y=12x,不符合题意.2.(2019全国卷)双曲线c:x24-y22=1的右焦点为f,点p在c的一条渐近线上,o为坐标原点,若po=pf,则pfo的面积为()a.324b.322c.22d.32【解析】选a.由双曲线的方程x24-y22=1可得一条渐近线方程为y=22x;在pfo中,|po|=|pf|,过点p作phof,垂足为h,因为tanpof=22得到ph=32;所以spfo=12326=324.3.已知曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)为等轴双曲线,且焦点到渐近线的距离为2,则该双曲线的方程为()a.x2-y2=12b.x2-y2=1c.x2-y2=2d.x2-y2=2【解析】选d.由已知,若曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)为等轴双曲线,则a2=b2,c=a2+b2=2a,即焦点的坐标为(2a,0);渐近线方程为xy=0,若焦点到渐近线的距离为2,则|2a|1+1=a=2,双曲线的标准方程为x22-y22=1,即x2-y2=2.4.(2018全国卷i)已知双曲线c:x23-y2=1,o为坐标原点,f为c的右焦点,过f的直线与c的两条渐近线的交点分别为m,n.若omn为直角三角形,则mn=()a.32b.3c.23d.4【解析】选b.渐近线方程为x23-y2=0,即y=33x,所以mon=3.因为omn为直角三角形,假设onm=2,如图,则kmn=3,所以直线mn方程为y=3(x-2).联立y=-33x,y=3(x-2),解得x=32,y=-32,所以n32,-32,即on=3,因为mon=3,所以|mn|=3.5.已知椭圆x225+y2m2=1(m0)与双曲线x27-y2n2=1(n0)有相同的焦点,则m+n的取值范围是 ()a.(0,6 b.3,6 c.(32,6 d.6,9)【解析】选c.由题意可知m225 ,则0m0 知:当m=0 时, (m+n)min=32 ,且m+n=32 为无法取到的临界点,综上可得: m+n的取值范围是(32,6 .6.已知f1,f2分别为双曲线c: x24-y25=1的左、右焦点, p为双曲线c右支上一点,且|pf1|=2|pf2|,则pf1f2外接圆的面积为()a.415b.1615c.6415d.25615【解析】选d.双曲线c:x24-y25=1的两个焦点f1(-3,0),f2(3,0),|f1f2|=6,a=2,由|pf1|=2|pf2|,设|pf2|=x,则|pf1|=2x,由双曲线的性质知,2x-x=4,解得x=4,所以|pf1|=8,|pf2|=4,因为|f1f2|=6,所以cosf1pf2=64+16-36284=1116,所以sinf1pf2=31516,所以pf1f2外接圆的半径为62sinf1pf2=1615,所以pf1f2外接圆的面积为25615.7.(2020杭州模拟)已知椭圆c1:x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线c2:x2m2-y2n2=1(m0,n0)有相同的焦点f1,f2,点p是两曲线的一个公共点,且f1pf2=60,若椭圆e1=22,则双曲线c2的离心率e2= ()a.72b.62c.3d.4【解析】选b.设|pf1|=s,|pf2|=t,p为第一象限的交点,由椭圆和双曲线的定义可得s+t=2a,s-t=2m,解得s=a+m,t=a-m,在f1pf2中,f1pf2=60,可得4c2=s2+t2-2stcos 60=a2+m2+2am+a2+m2-2am-(a2-m2),即有a2+3m2=4c2,可得a2c2+3m2c2=4,即1e12+3e22=4,由e1=22,可得e2=62.二、填空题(每小题5分,共10分)8.双曲线x225-k+y29-k=1的焦距为_.【解析】由题意可得(25-k)(9-k)0,解得9k0,9-k0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上,则双曲线的方程为_.【解析】因为渐近线方程为y=3x,所以ba=3,抛物线y2=24x的准线方程为x=-6,因此双曲线的一个焦点为(-6,0),其半焦距c=6,由双曲线的性质c2=a2+b2,所以a2=9,b2=27,故方程为x29-y227=1.答案:x29-y227=1三、解答题10.(10分)已知双曲线x23-y24=1,过点m(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于a,b两点.若aob是锐角三角形(o为坐标原点),求实数m的取值范围.【解析】由题意得am,2m23-1,bm,-2m23-1,所以oa=m,2m23-1,ob=m,-2m23-1,因为aob是锐角三角形,所以aob是锐角,即oa与ob的夹角为锐角,所以oaob0,即m2-4m23+40,解得-23m23.因为过点m(m,0)作垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于a,b两点,所以m3,故实数m的取值范围是(-23,-3)(3,23).(15分钟35分)1.(5分)已知双曲线x24-y2b2=1(b0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于a,b,c,d四点,四边形abcd 的面积为2b,则双曲线的方程为()a.x24-3y24=1 b.x24-4y23=1c.x24-y24=1 d.x24-y212=1【解析】选d.不妨设a(x0,y0)在第一象限,由已知x02+y02=22,2x02y0=2b,y0=b2x0,由得x02=164+b2,所以y02=b24164+b2=4b24+b2,由得b2=12.所以双曲线的方程为x24-y212=1.【变式备选】已知动圆m与圆c1:(x+4)2+y2=2 外切,与圆c2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.x22-y214=1(x2)b.x22-y214=1(x-2)c.x22+y214=1(x2)d.x22+y214=1(x-2)【解析】选a.设动圆的半径为r,由题意可得|mc1|=r+2,|mc2|=r-2,所以|mc1|-|mc2|=22=2a,故由双曲线的定义可知动点m在以c1(-4,0),c2(4,0)为焦点,实轴长为2a=22的双曲线的右支上,即a=2,c=4b2=16-2=14,故其标准方程为x22-y214=1(x2).2.(5分)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于a,b两点,与双曲线的两条渐近线交于c,d两点,若|ab|35|cd|,则双曲线离心率的取值范围为()a.53,+b.54,+c.1,53d.1,54【解析】选b.将x=c代入x2a2-y2b2=1,得y=b2a,不妨取ac,b2a,bc,-b2a,则|ab|=2b2a,将x=c代入y=bax,得y=bca,不妨取cc,bca,dc,-bca,则|cd|=2bca.因为|ab|35|cd|,所以2b2a352bca,即b35c,则b2925c2,又c2-a2=b2,所以c2-a2925c2,即1625c2a2,则e22516,则e54.【变式备选】(2020武汉模拟)已知a,b,c是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)上的三个点,ab经过原点o,ac经过右焦点f,若bfac且2|af|=|cf|,则该双曲线的离心率是 ()a.53b.173c.172d.94【解析】选b.设左焦点为f,|af|=m,连接af,cf,则|fc|=2m,|af|=2a+m,|cf|=2a+2m,|ff|=2c,因为bfac,且ab经过原点o,所以四边形fafb为矩形,在rtafc中,|af|2+|ac|2=|fc|2,代入(2a+m)2+(3m)2=(2a+2m)2,化简得m=2a3,所以在rtaff中,|af|2+|af|2=|ff|2,代入2a+2a32+2a32=(2c)2,化简得c2a2=179 ,即e=173.3.(5分)p是双曲线c:x2-y2=2左支上一点,直线l是双曲线c的一条渐近线,p在l上的射影为q,f2是双曲线c的右焦点,则|pf2|+|pq|的最小值为()a.22b.2c.32d.2+22【解析】选c.由题知|pf2|-|pf1|=2a=22,则|pf2|+|pq|=|pf1|+|pq|+22,由对称性,当f1,p,q在同一直线上时|pf1|+|pq|最小,由渐近线方程y=x,|f1o|=2知|f1q|=2,则|pf2|+|pq|的最小值为32.4.(10分)(2019福州模拟)已知双曲线c的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=2x,过点p62,1.(1)求双曲线c的标准方程.(2)是否存在被点b(1,1)平分的弦?如果存在,求出弦所在的直线l的方程;如果不存在,请说明理由.【解析】(1)双曲线c的焦点在坐标轴上,其渐近线方程为y=2x,设双曲线方程为x2-y22=(0),过点p62,1,代入可得=1,所求双曲线方程为x2-y22=1.(2)假设直线l存在.设b(1,1)是弦mn的中点,且m(x1,y1),n(x2,y2),则x1+x2=2,y1+y2=2.因为m,n在双曲线上,所以2x12-y12=2,2x22-y22=2,所以2(x1+x2)(x1-x2)-(y1-y2)(y1+y2)=0,所以4(x1-x2)=2(y1-y2),所以k=y1-y2x1-x2=2,所以直线l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0,联立方程组2x2-y2=22x-y-1=0 ,得2x2-4x+3=0,因为=16-432=-8b0),则根据题意知双曲线的方程为x2a2-y2b2=1且满足a2-b2a=45,2a2+b2=234,解方程组得a2=25,b2=9.所以椭圆的方程为x225+y29=1,双曲线的方程为x225-y29=1.(2)由(1)得a(-5,0),b(5,0),|ab|=10,设m(x0,y0),则由=得m为bp的中点,所以p点坐标为(2x0-5,2y0).将m,p坐标代入椭圆和双曲线方程,得x0225+y029=1,(2x0-5)225-4y029=1,消去y0,得2x02-5x0-25=0.解之,得x0=-52或x0=5(舍去).所以y0=332.由此可得m-52,332,所以p(-10,33).当p为(-10,33)时,直线pa的方程是y=33-10+5(x+5),即y=-335(x+5),代入x225+y29=1,得2x2+15x+25=0.所以x=-52或-5(舍去),所以xn=-52,xn=xm,mnx轴.所以s四边形anbm=2samb=21210332=153.1.(2020上饶模拟)过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点f1,作圆x2+y2=a2的切线交双曲线的右支于点p,切点为t,pf1的中点m在第一象限,则以下结论正确的是()a.b-a=|mo|-|mt| b.b-a|mo|-|mt|c.b-a0,b0)的左、右焦点为f1,f2,渐近线分别为l1,l2,过点f1且与l1垂直的直线分别交l1及l2于p,q两点,若满足=12+12,则双曲线的离心率为 ()a.2b.3c.2d.5【解析】选c.因为x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点为f1,f2,所以f1(-c,0),f2(c,0),双曲线的两条渐近线方程为y=-bax,y=bax,因为过f1的直线分别交双曲线的两条渐近