2021版高考数学一轮复习 第十章 平面解析几何 10.9.2 圆锥曲线的最值问题练习 理 北师大版

10.9.2 圆锥曲线的最值问题核心考点精准研析考点一几何法求最值1.设p是椭圆x225+y29=1上一点,m,n分别是两圆:(x+4)2+y2=1和(x-4)2+y2=1上的点,则|pm|+|pn|的最小值、最大值分别为()a.9,12b.8,11c.8,12d.10,122.已知点a是抛物线c:y2=4x上的一个动点,点a到直线x-y+3=0的距离为d1,到直线x=-2的距离为d2,则d1+d2的最小值为 ()a.22+2b.22c.2+3d.22+1【解析】1.选c.如图,由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别为椭圆的两个焦点a,b,由椭圆定义知|pa|+|pb|=2a=10,连接pa,pb分别与圆相交于两点,此时|pm|+|pn|最小,最小值为|pa|+|pb|-2r=8;连接pa,pb并延长,分别与圆相交于两点,此时|pm|+|pn|最大,最大值为|pa|+|pb|+2r=12,即最小值和最大值分别为8,12.2.选d.抛物线的焦点为f(1,0),准线为x=-1,则d2=|af|+1.故d1+d2=|af|+d1+1.显然,当点a为点f到直线x-y+3=0的垂线段与抛物线的交点时,|af|+d1取到最小值d=|1-0+3|2=22.故d1+d2的最小值为22+1.几何方法求解圆锥曲线中的最值问题,即通过圆锥曲线的定义、几何性质将最值转化,利用平面几何中的定理、性质,结合图形的直观性求解最值问题.常用的结论有:(1)两点间线段最短;(2)点到直线的垂线段最短.考点二代数法求最值问题命题精解读1.考什么:(1)考查圆锥曲线中相关最值问题的求解;(2)考查数学建模、数学运算以及逻辑推理的核心素养以及函数与方程、转化与化归等数学思想方法.2.怎么考:(1)涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题;(2)求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.3.新趋势:最值问题与函数、不等式等其他知识相结合.学霸好方法1.代数法求解最值问题的解题思路:首先需要根据题目的条件和结论找出明确的函数关系,建立起目标函数,然后转化为函数的最值求解,最值常用基本不等式法、配方法、函数单调性法等求解.2.交汇问题:求解函数最值,要根据函数解析式的结构特征灵活变形,采用相应的方法求解.利用基本不等式求最值【典例】已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0),f1,f2为它的左、右焦点,p为椭圆上一点,已知f1pf2=60,sf1pf2=3,且椭圆的离心率为12. (1)求椭圆方程.(2)已知t(-4,0),过t的直线与椭圆交于m,n两点,求mnf1面积的最大值.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b利用椭圆的定义和几何性质,转化已知,建立方程组求解.(2)求m,n两点坐标的关系设直线方程,直线方程和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系建立坐标的关系式求mnf1的面积利用点f1,把所求三角形的面积用两个三角形面积之差表示,从而进行坐标运算,建立面积模型求面积的最值根据式子的结构特征,通过化简构造基本不等式求解最值【解析】(1)由已知,得|pf1|+|pf2|=2a,|pf1|2+|pf2|2-2|pf1|pf2|cos 60=4c2,即|pf1|2+|pf2|2-|pf1|pf2|=4c2,12|pf1|pf2|sin 60=3,即|pf1|pf2|=4,联立解得a2-c2=3.又ca=12,所以c2=1,a2=4,b2=a2-c2=3,椭圆方程为x24+y23=1.(2)根据题意可知直线mn的斜率存在,且不为0.设m(x1,y1),n(x2,y2),直线mn的方程为x=my-4,代入椭圆方程整理得(3m2+4)y2-24my+36=0,则=(-24m)2-436(3m2+4)0,所以m24.y1+y2=24m3m2+4,y1y2=363m2+4,则mnf1的面积smnf1=|sntf1-smtf1|=12|tf1|y1-y2|=32(y1+y2)2-4y1y2=3224m3m2+42-1443m2+4=18m2-44+3m2=61m2-4+163m2-4=61m2-4+163m2-462163=334.当且仅当m2-4=163m2-4,即m2=283时(此时适合0的条件)取得等号.故mnf1面积的最大值为334.利用函数单调性求最值【典例】已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,左、右焦点分别为f1,f2,a为椭圆c上一点,af1与y轴交于点b,|ab|=|f2b|,|ob|=66.(1)求椭圆c的方程.(2)过右焦点f2的直线y=k(x-2)(k0)交椭圆于p、q两点,若pq的中点为n,o为原点,直线on交直线x=3于点m.求|pq|mf2|的最大值.【解题导思】序号题目拆解(1)求参数a,b利用椭圆的几何性质,转化已知,建立方程组求解(2)求n点坐标直线和椭圆方程联立方程组,消元后利用根与系数的关系求n点坐标求m点坐标求直线on方程,与直线x=3联立,即可求得m点坐标求|pq|mf2|利用坐标分别表示出两条线段的长度,构建目标函数求最值根据目标函数结构特征,通过换元转化为二次函数的最值问题求解【解析】(1)连接af2,由题意得|ab|=|f2b|=|f1b|,所以bo为f1af2的中位线,又因为bof1f2,所以af2f1f2,且|af2|=2|bo|=b2a=63,又e=ca=63,a2=b2+c2,得a2=6,b2=2,故所求椭圆方程为x26+y22=1.(2)联立x26+y22=1y=k(x-2) ,可得(3k2+1)x2-12k2x+12k2-6=0.设p(x1,y1),q(x2,y2),则x1+x2=12k23k2+1,x1x2=12k2-63k2+1,所以y1+y2=k(x1+x2)-4k=-4k3k2+1,所以pq的中点n的坐标为6k23k2+1,-2k3k2+1,|pq|=1+k226k2+13k2+1,因此直线on的方程为y=-13kx,从而点m为3,-1k,|mf2|=1+1k2,设i=|pq|2|mf2|2=24k2(k2+1)(3k2+1)2,令u=3k2+1,则i=8(u-1)(u+2)3u2=-1631u2-12u-12=-1631u-142-916,因此当u=4,即k=1时|pq|mf2|取得最大值3.1.已知f1,f2分别为椭圆c的两个焦点,p为椭圆上任意一点.若|pf1|pf2|的最大值为3,则椭圆c的离心率为()a.13b.12c.63d.22【解析】选b.p点到椭圆c的焦点的最大距离为a+c,最小距离为a-c,又|pf1|pf2|的最大值为3,所以a+ca-c=3,所以e=12.2.已知点c是圆f:(x-1)2+y2=16上任意一点,点f与圆心f关于原点对称.线段cf的中垂线与cf交于p点.(1)求动点p的轨迹方程e.(2)设点a(4,0),若直线pqx轴且与曲线e交于另一点q,直线aq与直线pf交于点b,证明:点b恒在曲线e上,并求pab面积的最大值.【解析】(1)由题意得,f点坐标为(1,0),f(-1,0),因为p为cf中垂线上的点,所以|pf|=|pc|.又|pc|+|pf|=4,所以|pf|+|pf|=4|ff|=2,由椭圆的定义知,2a=4,c=1,所以动点p的轨迹方程e为x24+y23=1.(2)设p点坐标为(m,n)(n0),则q点的坐标为(m,-n),且3m2+4n2=12,所以直线qa:y=n4-m(x-4),即nx-(4-m)y-4n=0,直线pf:y=nm-1(x-1),即nx-(m-1)y-n=0.联立方程组nx-(4-m)y-4n=0,nx-(m-1)y-n=0,解得xb=5m-82m-5,yb=3n2m-5,则xb24+yb23=(5m-8)24(2m-5)2+(3n)23(2m-5)2=25m2-80m+64+12n24(2m-5)2=16m2-80m+1004(2m-5)2=1,所以点b恒在椭圆e上.设直线pf:x=ty+1,p(x1,y1),b(x2,y2),则由x=ty+1,3x2+4y2=12,消去x整理得(3t2+4)y2+6ty-9=0,所以y1+y2=-6t3t2+4,y1y2=-93t2+4,所以|y1-y2|=(y1+y2)2-4y1y2=-6t3t2+42+363t2+4=12t2+13t2+4,从而spab=12|fa|y1-y2|=18t2+13t2+4=18t2+13(t2+1)+1=183t2+1+1t2+1.令=t2+1(1),则函数g()=3+1在1,+)上单调递增,故g()min=g(1)=4,所以spab184=92,即当t=0时,pab的面积取得最大值,且最大值为92.1.如图,已知抛物线c1的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,且过点(3,6),圆c2:x2+y2-6x+8=0,过圆心c2的直线l与抛物线和圆分别交于p,q,m,n,则|pn|+3|qm|的最小值为_.【解析】由题意,抛物线过点(3,6),得抛物线方程y2=12x,设焦点为f(3,0),圆的标准方程为(x-3)2+y2=1,所以圆心为(3,0),与抛物线焦点重合.半径r=1.由于直线过焦点,所以有1|pf|+1|qf|=2p=13,又|pn|+3|qm|=(|pf|+1)+(3|qf|+3) =|pf|+3|qf|+4=3(|pf|+3|qf|)1|pf|+1|qf|+4=34+3|qf|pf|+|pf|qf|+416+63.当且仅当|pf|=3|qf|时取等号.答案:16+632.(2020宣城模拟)已知直线l与抛物线c:x2=2pyp0相交于a,b两个不同点,点m是抛物线c在点a,b处的切线的交点.(1)若直线l经过抛物线c的焦点f,求证:fmab.(2)若p=1,且直线l经过点1,1,求smab的最小值.【解析】(1)由题意可得f0,p2,当k0时,设直线l:y=kx+p2,点a,b的坐标分别为x1,y1,x2,y2,由y=kx+p2,x2=2py得x2-2pkx-p2=0,所以x1+x2=2pk,x1x2=-p2,过点a的切线方程为y-y1=x1px-x1,即y=x1px-x122p,过点b的切线方程为y=x2px-x222p,由y=x1px-x122p,y=x2px-x222p得x=x1+x22=pk,y=x1x22p=-p2,所以mpk,-p2,因为kfmkab=-p2-p2pkk=-1,所以fmab;当k=0时,直线l:y=p2,m0,-p2,所以fmab.(2)由题意可得x2=2y,当k0时,设直线l:y=kx+1-k,点a,b的坐标分别为x1,y1,x2,y2,由y=kx+1-kx2=2y,得x2-2kx+2k-1=0,所以x1+x2=2kx1x2=2k-1,所以ab=1+k2x1-x2=21+k2k2-2k+2,由(1)可得