2021版高考数学一轮复习 选修4-4 坐标系与参数方程 1 坐标系练习 理 北师大版

坐标系考点一伸缩变换1.曲线c:x2+y2=1经过伸缩变换x=2x,y=y得到曲线c,求曲线c的方程.2.曲线c经过伸缩变换x=2x,y=3y后所得曲线的方程为x2+y2=1,求曲线c的方程.3.将圆x2+y2=1变换为椭圆x225+y216=1的一个伸缩变换公式:x=x,y=y(,0),求和的值.【解析】1.因为x=2x,y=y,所以x=x2,y=y,代入曲线c的方程得c:x24+y2=1.2.根据题意,曲线c经过伸缩变换x=2x,y=3y后所得曲线的方程为x2+y2=1,则(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线c的方程为4x2+9y2=1.3.将变换后的椭圆x225+y216=1改写为x225+y216=1,把伸缩变换公式:x=x,y=y(,0)代入上式,得2x225+2y216=1,即52x2+42y2=1,与x2+y2=1比较系数,得52=1,42=1,所以=5,=4.1.应用伸缩变换时,要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x,y).2.平面上的曲线y=f(x)在变换:x=x(0),y=y(0)的作用下得到的方程的求法是将x=x,y=y代入y=f(x),得y=fx,整理之后得到y=h(x),即为变换之后的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【典例】(2020乌鲁木齐模拟)已知曲线c1的方程为(x-1)2+y2=1,c2的方程为x+y=3,c3是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)以直角坐标系原点o为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求c1与c2的极坐标方程.(2)若c1与c3的一个公共点为a(异于点o),c2与c3的一个公共点为b,当|oa|+3|ob|=10时,求c3的直角坐标方程.【解析】(1)曲线c1的方程为(x-1)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为=2cos.曲线c2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为cos+sin-3=0,(2)设曲线c3是一条经过原点且斜率大于0的直线,则极坐标方程为=02,由于c1与c3的一个公共点a(异于点o),故=2cos=,所以|oa|=2cos,c2与c3的一个公共点为b,所以cos+sin=3,=,所以|ob|=3cos+sin.由于|oa|+3|ob|=10,所以2cos+cos+sin=10,即3cos+sin=10sin(+)=10,当sin=110,cos=310时,tan =13,故曲线c3的直角坐标方程为y=13x.1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=cos ,y=sin .2.互化时要注意前后的等价性.在极坐标系下,已知圆o:=cos +sin 和直线l:sin-4=22(0,00)相切,求r的值.【解析】直线cos +3=1转化为x-3y-2=0,曲线=r(r0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,则圆心到直线的距离d=|-2|1+3=1=r.距离问题【典例】(2019江苏高考)在极坐标系中,已知两点a3,4,b2,2,直线l的方程为sin+4=3. (1)求a,b两点间的距离.(2)求点b到直线l的距离.【解析】(1)设极点为o.在oab中,a3,4,b2,2,由余弦定理,得ab=32+(2)2-232cos2-4=5.(2)因为直线l的方程为sin+4=3,则直线l过点32,2,倾斜角为34.又b2,2,所以点b到直线l的距离为(32-2)sin34-2=2.取值范围问题【典例】(2020黄冈模拟)在平面直角坐标系xoy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线c1的极坐标方程为cos-6=2.已知点q为曲线c1上的动点,点p在线段oq上,且满足|oq|op|=4,动点p的轨迹为c2.(1)求c2的直角坐标方程.(2)设点a的极坐标为2,3,点b在曲线c2上,求aob面积的最大值.【解析】(1)设p的极坐标为(,)(0),q的极坐标为(1,)(10),由题意知|op|=,|oq|=1=2cos-6.由|oq|op|=4得c2的极坐标方程为=2cos-6(0),化简得=3cos +sin ,因此c2的直角坐标方程为x-322+y-122=1,但不包括点(0,0).(2)设点b的极坐标为(b,)(b0),由题意知,|oa|=