2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例练习 理 北师大版

4.7 正弦定理、余弦定理的应用举例核心考点精准研析考点一测量距离问题1.如图,从气球a上测得正前方的河流的两岸b,c的俯角分别为75,30,此时气球的高是60m,则河流的宽度bc=()a.240(3-1)mb.180(2-1)mc.120(3-1)md.30(3+1)m2.一船以每小时152km的速度向东行驶,船在a处看到一灯塔b在北偏东60,行驶4小时后,船到达c处,看到这个灯塔在北偏东15,这时船与灯塔的距离为()a.60kmb.602kmc.302kmd.30km3.(2019衡阳模拟)如图,为了测量a,c两点间的距离,选取同一平面上b,d两点,测出四边形abcd各边的长度(单位:km):ab=5,bc=8,cd=3,da=5,且b与d互补,则ac的长为() a.7kmb.8kmc.9kmd.6km4.如图,海中有一小岛c,一小船从a地出发由西向东航行,望见小岛c在北偏东60,航行8海里到达b处,望见小岛c在北偏东15,若此小船不改变航行的方向继续前行2(3-1)海里,则离小岛c的距离为 ()a.8(3+2)海里b.2(3-1)海里c.2(3+1)海里d.4(3+1)海里【解析】1.选c.记气球在地面的投影为d,在rtabd中,cos15=60ab,又cos15=cos(60-45)=6+24,所以ab=2406+2.在abc中,由正弦定理得bcsin 45=absin 30,所以bc=sin 45absin 30=2ab=120(3-1)(m).2.选a.画出图形如图所示,在abc中,bac=30,ac=4152=602,b=45,由正弦定理得acsinb=bcsinbac,所以bc=acsinbacsinb=602sin30sin45=60,所以船与灯塔的距离为60km.3.选a.在abc中,由余弦定理得ac2=ab2+bc2-2abbccosb,即ac2=25+64-258cosb=89-80cosb.在adc中,由余弦定理得ac2=ad2+dc2-2addccosd,即ac2=25+9-253cosd=34-30cosd.因为b与d互补,所以cosb=-cosd,所以-34-ac230=89-ac280,解得ac=7(km).4.选c.bc=absin30sin45=81222=42,所以离小岛c的距离为2(3-1)2+(42)2-22(3-1)42cos75=2(3-1)2+(42)2-22(3-1)426-24=2(3+1)海里.距离问题的常见类型及解法1.类型:测量距离问题常分为三种类型:山两侧、河两岸、河对岸.2.解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将实际问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.【秒杀绝招】直角三角形解t1,记气球在地面的投影为d,在rtacd中,tan60=cdad,所以cd=603,在rtabd中,因为tan15=bdad,tan15=tan(60-45)=tan60-tan451+tan60tan45=2-3,所以bd=120-603,所以bc=cd-bd=120(3-1)(m).考点二测量高度问题【典例】1.一架直升飞机在200m高度处进行测绘,测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60,则塔高为()a.4003mb.40033mc.20033md.2003m2.如图,在水平地面上有两座直立的相距60m的铁塔aa1和bb1.已知从塔aa1的底部看塔bb1顶部的仰角是从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的2倍,从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角.则从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的正切值为;塔bb1的高为m. 【解题导思】序号联想解题1由“测得一塔顶与塔底的俯角分别是30和60”,想到作图,建立数学模型2由“60m”“从塔aa1的底部看塔bb1顶部的仰角是从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角的2倍”“从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角”,想到a1accbb1【解析】1.选a.如图所示.在rtacd中,cd=20033=be,在abe中,由正弦定理得absin30=besin60,所以ab=2003,de=bc=200-2003=4003(m).2.设从塔bb1的底部看塔aa1顶部的仰角为,则aa1=60tanm,bb1=60tan2m.因为从两塔底部连线中点c分别看两塔顶部的仰角互为余角,所以a1accbb1,所以aa130=30bb1,所以aa1bb1=900,所以3600tantan2=900,所以tan=13(负值舍去),所以tan2=34,bb1=60tan2=45m.答案:1345求解高度问题的关注点1.在处理有关高度问题时,要理解仰角、俯角(在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(在水平面上所成的角)是关键.2.注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.1.(2019宜春模拟)某工厂实施煤改电工程防治雾霾,欲拆除高为ab的烟囱,测绘人员取与烟囱底部b在同一水平面内的两个观测点c,d,测得bcd=75,bdc=60,cd=40米,并在点c处的正上方e处观测顶部a的仰角为30,且ce=1米,则烟囱高ab=米.【解析】cbd=180-bcd-bdc=45,在cbd中,由正弦定理得bc=cdsinbdcsincbd=206,所以ab=1+tan30cb=1+202(米).答案:(1+202)2.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到a处时测得公路北侧一山顶d在西偏北30的方向上,行驶600m后到达b处,测得此山顶在西偏北75的方向上,仰角为30,则此山的高度cd=m.【解析】在abc中,cab=30,acb=75-30=45,根据正弦定理知,bcsinbac=absinacb,即bc=absinacbsinbac=6002212=3002(m),所以cd=bctandbc=300233=1006(m).答案:1006考点三测量角度问题命题精解读1.考什么:航行方向问题,航行时间、速度问题等等.2.怎么考:考查运用正弦定理、余弦定理解决航向,时间,速度等实际问题.3.新趋势:运用正弦定理、余弦定理解决实际问题.学霸好方法1.不要搞错各种角的含义,不要把这些角和三角形内角之间的关系弄混.2.在实际问题中,可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,这时可以画两个图形,一个空间图形,一个平面图形,这样将空间几何问题转化为平面几何问题,处理起来既清楚又不容易出现错误.方向问题【典例】如图,两座灯塔a和b与海岸观察站c的距离相等,灯塔a在观察站南偏西40,灯塔b在观察站南偏东60,则灯塔a在灯塔b的 ()a.北偏东10b.北偏西10c.南偏东80d.南偏西80【解析】选d.由条件及题干图知,cab=cba=40,又bcd=60,所以cbd=30,所以dba=10,因此灯塔a在灯塔b的南偏西80.解决测量角度问题时有哪些注意事项?提示:1.测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义.2.求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.3.在解应用题时,要由已知正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理使用的优点.时间、速度问题【典例】如图,据气象部门预报,在距离某码头南偏东45方向600kma处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动,距风暴中心450km以内的地区都将受到影响,则该码头将受到热带风暴影响的时间为 ()a.14hb.15hc.16hd.17h【解析】选b.记现在热带风暴中心的位置为点a,t小时后热带风暴中心到达点b位置,在oab中,oa=600km,ab=20tkm,oab=45,由余弦定理得ob2=6002+400t2-220t60022,令ob24502,即4t2-1202t+15750,解得302-152t302+152,所以该码头将受到热带风暴影响的时间为302+152-302-152=15(h).如何求解码头将受到热带风暴影响的时间?提示:已知热带风暴速度,所以将时间问题转化为路程问题,即求出码头受到热带风暴影响时的风暴路线长度.运用解三角形知识求解即可.1.如图所示,已知两座花坛a和b与教学楼c的距离相等,花坛a在教学楼c的北偏东40的方向上,花坛b在教学楼c的南偏东60的方向上,则花坛a在花坛b的的方向上.【解析】由已知,abc=12(180-80)=50,所以花坛a在花坛b的北偏西10的方向上.答案:北偏西102.在一次抗洪抢险中,某救生艇发动机突然发生故障停止转动,失去动力的救生艇在洪水中漂行,此时,风向是北偏东30,风速是20km/h;水的流向是正东,流速是20km/h,若不考虑其他因素,救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东,大小为km/h.【解析】如图aob=60,由余弦定理知oc2=202+202-800cos120=1200,故oc=203,coy=30+30=60.答案:602031.如图,两座相距60m的建筑物ab,cd的高度分别为20m,50m,bd为水平面,则从建筑物ab的顶端a看建筑物cd的张角cad等于()a.30b.45c.60d.75【解析】选b.由已知,ad=2010m,ac=305m,又cd=50m,所以在acd中,由余弦定理得coscad=ac2+ad2-cd22acad=(305)2+(2010)2-50223052010=6 0006 0002=22,又0cad180,所以cad=45,所以从顶端a看建筑物cd的张角为45.2.如图,在海岸a处发现北偏东45方向,距a处(3-1)海里的b处有一艘走私船.在a处北偏西75方向,距a处2海里的c处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船,此时走私船正以10海里/小时的速度从b处向北偏东30方向逃窜.问:缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.【解析】设缉私船应沿cd方向行驶t小时,才能最快截获(在d点)走私船,则cd=103t海里,bd=10t海里,在abc中,由余弦定理得,bc2=ab2+ac2-2abaccosbac=(3-1)2+22-2(3-1)2cos120=6,解得bc=6,又因为bcsinbac=acsinabc,所以sinabc=acsinbacbc=2sin1206=22,所以abc=45,