2021版高考数学一轮复习 第六章 不等式 6.2 基本不等式练习 理 北师大版

6.2 基本不等式核心考点精准研析考点一利用基本不等式求最值命题精解读1.考什么:(1)考查求最值,证明不等式等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养.2.怎么考:求式子的最值,证明不等式、与函数结合考查求函数的值域,与解析几何结合求面积等几何量的最值.3.新趋势:与函数相结合求值域.学霸好方法1.求最值的解题思路(1)拼凑法:拼凑成积或和为定值,利用基本不等式求相应的最值.(2)构造法:通过对已知条件的变形,构造定值,代入后利用基本不等式求值.(3)消元法:当要求最值的式子中含有多个字母时,应考虑利用已知条件减少字母的个数,以达到利用基本不等式求最值的目的.2.交汇问题: 与方程、不等式交汇时,涉及恒成立问题、参数的范围等.通过拼凑定值求最值【典例】1.已知a,b0,则ba+4aa+b的最小值为.【解析】因为a,b0,方法一:原式=ba+1+4aa+b-1=a+ba+4aa+b-12a+ba4aa+b-1=4-1=3,当且仅当a+ba=4aa+b,a=b时取等号.方法二:所以ba+4aa+b=ba+1+41+ba-12ba+141+ba-1=3,当且仅当ba+1=41+ba,即a=b时取等号.答案:32.若x54,则f(x)=4x-2+14x-5的最大值为.【解析】因为x0,则f(x)=4x-2+14x-5=-5-4x+15-4x+3-2(5-4x)15-4x+3=-2+3=1.当且仅当5-4x=15-4x,即x=1时,等号成立.故f(x)=4x-2+14x-5的最大值为1.答案:1本例不能直接运用基本不等式时怎么办?提示:通过分子分母同除以a统一式子的结构或直接加1变形,再观察拼凑定值利用基本不等式求最小值.通过常值代换求最值【典例】(2019深圳模拟)已知a1,b0,a+b=2,则1a-1+12b的最小值为 ()a.32+2b.34+22c.3+22d.12+23【解析】选a.已知a1,b0,a+b=2,可得(a-1)+b=1,a-10,则1a-1+12b=(a-1)+b1a-1+12b=1+12+a-12b+ba-132+2a-12bba-1=32+2;当且仅当a-12b=ba-1,a+b=2时取等号.则1a-1+12b的最小值为32+2.将条件进行变形目的是什么?提示:将已知条件变形,变形的方向是要证明的式子,特别是与式子分母相关的定值,将定值变为1后相乘,再利用基本不等式求最值.通过消元求最值【典例】(2020武汉模拟)若正数x,y满足x+4y-xy=0,则4x+y的最大值为 ()a.25b.49c.12d.47【解析】选b.因为正数x,y满足x+4y-xy=0,所以y=xx-40,解得x4,所以4x+y=4x+xx-4=4x+1+4x-4=4x-4+4x-4+542(x-4)4x-4+5=49,当且仅当x-4=4x-4,x=6时等号成立,所以4x+y的最大值为49.将其中一个字母利用另一个字母表示,代入后的变形方向如何?提示:构造定值以利用基本不等式求最值.构造二次不等式求最值【典例】(2019重庆模拟)已知a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,则2a+b的最小值为.【解析】因为a,b,c均为正实数,且ab+2a+b=6,所以6-2a-b=ab=122ab122a+b22,所以(2a+b)2+8(2a+b)-480,所以2a+b4,当且仅当a=1,b=2时取等号,所以2a+b的最小值为4.答案:4本题利用基本不等式,将已知式子进行转换的目标是什么?提示:转化成关于2a+b的二次不等式,通过解不等式求最值.1.设x,yr,且xy0,则x2+4y21x2+y2的最小值为()a.-9b.9c.10d.02.(2020厦门模拟)已知0x0,b0,且2a+b=ab-1,则a+2b的最小值为()a.5+26b.82c.5d.94.已知正数x,y满足x2+2xy-3=0,则2x+y的最小值是()a.1b.3c.6d.12【解析】1.选b.x2+4y21x2+y2=5+4x2y2+x2y25+24x2y2x2y2=9,当且仅当xy=2时,上式取得等号,可得最小值为9.2.选d.因为0x0,所以4x+11-x=4x+11-x(x+1-x)=5+4(1-x)x+x1-x5+24(1-x)xx1-x=9,当且仅当4(1-x)x=x1-x,即x=23时取等号,所以4x+11-x取得最小值时x=23.3.选a.因为a0,b0,且2a+b=ab-1,所以a=b+1b-20,所以b2,所以a+2b=b+1b-2+2b=2(b-2)+3b-2+55+22(b-2)3b-2=5+26,当且仅当2(b-2)=3b-2,即b=2+62时取等号.所以a+2b的最小值为5+26.4.选b.因为x2+2xy-3=0,所以y=3-x22x,所以2x+y=2x+3-x22x=3x2+32x=3x2+32x23x232x=3.当且仅当3x2=32x,即x=1时取等号.(2020马鞍山模拟)已知abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,若-ccos b是2acos b与2bcos a的等差中项,则sin 2atan 2c的最大值为.【解析】因为-ccos b是2acos b与2bcos a的等差中项,所以-2ccos b=2acos b+2bcos a,所以-2sin ccos b=2(sin acos b+cos asin b)=2sin(a+b)=2sin c,所以cos b=-22,因为角b为三角形内角,所以b=34,所以a+c=4,所以c=4-a,所以sin 2atan 2c=sin 2asin4-acos4-a2=sin 2acosa-sinasina+cosa2=sin 2a1-sin2a1+sin2a,令sin 2a=x,因为0a4,所以2a0,2,所以sin 2a(0,1),即x(0,1).sin 2atan 2c=x-x2x+1,x(0,1),令x+1=t,则t(1,2),sin 2atan 2c=(t-1)-(t-1)2t=3-t+2t3-22,当且仅当t=2时取等号.答案:3-22考点二基本不等式在实际问题中的应用【典例】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50x100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油2+x2360升,司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.【解析】(1)设所用时间为t,则t=130x(h),y=130x22+x2360+14130x,x50,100.所以,这次行车总费用y关于x的表达式是y=13018x+2130360x,x50,100,即y=2 340x+1318x,x50,100.(2)y=2 340x+1318x2610,当且仅当2 340x=1318x,即x=1810时等号成立.故当x=1810千米/时时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为2610元.有关实际问题中的最值问题(1)根据实际问题抽象出函数的解析式,再利用基本不等式求得函数的最值.(2)解应用题时,一定要注意变量的实际意义及其取值范围.(3)在应用基本不等式求函数最值时,若等号取不到,可利用函数的单调性求解.网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时期内,成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足函数关系式x=3-2t+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,产品每1万件进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和, 则该公司最大月利润是万元.【解析】由题意知t=23-x-1(1x3),设该公司的月利润为y万元,则y=48+t2xx-32x-3-t=16x-t2-3=16x-13-x+12-3=45.5-16(3-x)+13-x45.5-216=37.5,当且仅当x=114时取等号,即最大月利润为37.5万元.答案:37.5考点三基本不等式的交汇应用【典例】1.已知a,b是函数y=2x的图像上不同的两点,若点a,b到直线y=12的距离相等,则点a,b的横坐标之和的取值范围是()a.(-,-1)b.(-,-2)c.(-,-3)d.(-,-4)2.已知等差数列an中,a3=7,a9=19,sn为数列an的前n项和,则sn+10an+1的最小值为.【解题导思】序号联想解题1由a,b是图像上两点,想到设出点的坐标;由点a,b到直线距离相等想到构造等式条件2由a3,a9想到基本量的运算,由sn,an想到求出代入【解析】1.选b.设a(x1,y1),b(x2,y2),不妨设x1x2.函数y=2x为单调增函数,若点a,b到直线y=12的距离相等,则12-y1=y2-12,即y1+y2=1,即2x1+2x2=1.由基本不等式得1=2x1+2x222x12x2,当且仅当x1=x2=-1时取等号,则2x1+x214,解得x1+x2-2(因为x1x2,所以等号取不到).2.因为a3=7,a9=19,所以d=a9-a39-3=19-76=2,所以an=a3+(n-3)d=7+2(n-3)=2n+1,所以sn=n(3+2n+1)2=n(n+2),因此sn+10an+1=n(n+2)+102n+2=12(n+1)+9n+1122(n+1)9n+1=3,当且仅当n=2时取等号.故sn+10an+1的最小值为3.答案:3关于基本不等式与其他知识点的交汇利用其他知识点的知识进行条件转化,表示出要求最值的式子,根据条件,利用基本不等式求最值.1.设等差数列an的公差是d,其前n项和是sn,若a1=d=1,则sn+8an的最小值是.【解析】由题意an=a1+(n-1)d=n,sn=n(1+n)2,所以sn+8an=n(1+n)2+8n=12n+16n+1122n16n+1=92,当且仅当n=4时取等号.所以sn+8an的最小值是92.答案:922.(2020新余模拟)abc的内角a,b,c的对边分别为a,b,c,已知2bsin c=(2a+b)tan b,c=23,则abc面积的最大值为.【解析】2bsin c=2a+btan b,