2021版高考数学一轮复习 第十章 平面解析几何 10.6 双曲线练习 理 北师大版

10.6 双曲线核心考点精准研析考点一双曲线的定义及标准方程1.已知定点f1(-2,0),f2(2,0),n是圆o:x2+y2=1上任意一点,点f1关于点n的对称点为m,线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p,则点p的轨迹是()a.椭圆b.双曲线 c.抛物线 d.圆2.已知圆c1:(x+3)2+y2=1,c2:(x-3)2+y2=9,动圆m同时与圆c1和圆c2相外切,则动圆圆心m的轨迹方程为()a.x2-y28=1b.x28-y2=1c.x2-y28=1(x-1)d.x2-y28=1(x1)3.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左、右焦点分别为f1,f2,以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),则此双曲线的方程为()a.x216-y29=1b.x23-y24=1c.x29-y216=1d.x24-y23=14.(2020唐山模拟)p是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)右支上一点,f1,f2分别为左、右焦点,且焦距为2c,则pf1f2的内切圆圆心的横坐标是_.5.若双曲线的渐近线方程为y=12x,且经过点(4,3),则双曲线的方程为_.【解析】1.选b.如图,连接on,由题意可得|on|=1,且n为mf1的中点,又o为f1f2的中点,所以|mf2|=2.因为点f1关于点n的对称点为m,线段f1m的中垂线与直线f2m相交于点p,由垂直平分线的性质可得|pm|=|pf1|,所以|pf2|-|pf1|=|pf2|-|pm|=|mf2|=2|f1f2|,所以由双曲线的定义可得,点p的轨迹是以f1,f2为焦点的双曲线.2.选c.设圆m的半径为r,由动圆m同时与圆c1和圆c2相外切,得|mc1|=1+r, |mc2|=3+r,|mc2|-|mc1|=26,所以点m的轨迹是以点c1(-3,0)和c2(3,0)为焦点的双曲线的左支,且2a=2,a=1,又c=3,则b2=c2-a2=8,所以点m的轨迹方程为x2-y28=1(x-1).3.选c.因为以|f1f2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4),所以c=5,ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,所以此双曲线的方程为x29-y216=1.4.(利用定义解三角形)如图所示,内切圆圆心m到各边的距离分别为|ma|,|mb|,|mc|,切点分别为a,b,c,由三角形的内切圆的性质有|cf1|= |af1|,|af2|= |bf2|,|pc|=|pb|,所以|pf1|-|pf2|=|cf1|-|bf2|=|af1|-|af2|=2a,又|af1|+|af2|=2c,所以|af1|=a+c,|oa|=|af1|-|of1|=a.因为m的横坐标和a的横坐标相同,所以m的横坐标为a.答案:a5.方法一:因为双曲线的渐近线方程为y=12x,所以可设双曲线的方程为x2-4y2=(0).因为双曲线过点(4,3),所以=16-4(3)2=4,所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.方法二:因为渐近线y=12x过点(4,2),而30,b0).由已知条件可得ba=12,16a2-3b2=1, 解得a2=4,b2=1, 所以双曲线的标准方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=11.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线,进而根据要求可求出曲线方程.在应用双曲线定义时,要注意定义中的条件,搞清所求轨迹是双曲线还是双曲线的一支,若是双曲线的一支,则需确定是哪一支.(2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|pf1|-|pf2|=2a,运用平方的方法,建立|pf1|与|pf2|的关系.2.求双曲线标准方程的方法(1)定义法根据双曲线的定义确定a2,b2的值,再结合焦点位置,求出双曲线方程,常用的关系有:c2=a2+b2;双曲线上任意一点到双曲线两焦点的距离的差的绝对值等于2a.(2)待定系数法一般步骤常用设法()与双曲线x2a2-y2b2=1共渐近线的方程可设为x2a2-y2b2=(0);()若双曲线的渐近线方程为y=bax,则双曲线的方程可设为x2a2-y2b2=(0);()若双曲线过两个已知点,则双曲线的方程可设为x2m+y2n=1(mn0)或mx2+ny2=1(mn0,b0)的离心率为2,则其渐近线与圆(x-a)2+y2=14a2的位置关系是()a.相交 b.相切 c.相离 d.不确定2.已知椭圆c1的方程为x24+y2=1,双曲线c2的左、右焦点分别是c1的左、右顶点,而c2的左、右顶点分别是c1的左、右焦点(1)求双曲线c2的方程.(2)若直线l:y=kx+2与双曲线c2恒有两个不同的交点a和b,且oaob2(其中o为原点),求k的取值范围.【解题导思】序号联想解题1一看到直线与圆的位置关系问题,即联想到利用弦心距与半径的大小关系判别;出现双曲线离心率为2时,一定为等轴双曲线,渐近线方程为y=x2当题目中出现数量积时,首选方法是联立方程,利用根与系数的关系表示数量积,进而可求出参数范围【解析】1.选c.因为一条渐近线方程为ay-bx=0,又离心率为ca=2,所以a=b,所以一条渐近线方程为y-x=0,由(x-a)2+y2=14a2知圆心为(a,0),半径为12a,圆心到直线的距离d=a2=22a12a,所以直线与圆相离.2.(1)设双曲线c2的方程为x2a2-y2b2=1(a0,b0),则a2=3,c2=4,再由a2+b2=c2,得b2=1.故c2的方程为x23-y2=1.(2)将y=kx+2代入x23-y2=1,得(1-3k2)x2-62kx-9=0.由直线l与双曲线c2交于不同的两点,得1-3k20,=(-62k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)0, 所以k213且k22,得x1x2+y1y22,所以3k2+73k2-12,即-3k2+93k2-10,解得13k23.由得13k21,故k的取值范围为-1,-3333,1.直线与双曲线位置关系的解决策略(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于0时,用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.(3)弦长公式:设直线与双曲线交于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,直线的斜率为k,则|ab|=1+k2|x1-x2|.1.过双曲线x2-y23=1的右焦点作直线l交双曲线于a,b两点,则满足|ab|=6的直线l共有_条.【解析】当直线l的倾斜角为90时,|ab|=6;当直线l的倾斜角为0时,|ab|=20,b0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为43,焦点到渐近线的距离为3.(1)求双曲线的方程.(2)已知直线y=33x-2与双曲线的右支交于m,n两点,且在双曲线的右支上存在点d,使om+on=tod(o为坐标原点),求t的值及点d的坐标.【解析】(1)由题意知a=23,因为一条渐近线为y=bax,即bx-ay=0,所以由焦点到渐近线的距离为3,得|bc|b2+a2=3.又因为c2=a2+b2,所以b2=3,所以双曲线的方程为x212-y23=1.(2)设m(x1,y1),n(x2,y2),d(x0,y0)(x00),则x1+x2=tx0,y1+y2=ty0.将直线方程y=33x-2代入双曲线方程x212-y23=1得x2-163x+84=0,则x1+x2=163,y1+y2=33(x1+x2)-4=12.所以x0y0=433,x0212-y023=1.解得x0=43,y0=3.所以t=4,点d的坐标为(43,3).考点三双曲线的几何性质命题精解读1.考什么:(1)考查双曲线的离心率、最值问题、范围问题、渐近线问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、分类讨论及化归与转化等思想方法.2.怎么考:结合双曲线定义及焦点三角形等考查离心率及渐近线方程.3.新趋势:双曲线的离心率及渐近线仍是考查的重点.学霸好方法1.离心率的求解:借助条件建立a,b,c之间的关系或利用特殊值法求解.2.渐近线的求解:将标准形式中右侧常数变为0,整理即得.(牢记焦点到渐近线的距离)3.交汇问题: 与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域.双曲线的离心率【典例】(2019全国卷)设f为双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点,o为坐标原点,以of为直径的圆与圆x2+y2=a2交于p,q两点.若|pq|=|of|,则c的离心率为 ()a.2b.3c.2d.5【解析】选a.以of为直径的圆的方程为x-a2+b222+y2=a2+b24,则弦pq所在的直线方程为x=a2a2+b2,|pq|=2aba2+b2,根据|pq|=|of|可得2aba2+b2=a2+b2,即(a-b)2=0,得a=b,故c=2a,所以e=2.双曲线的渐近线 【典例】(2020德州模拟)已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12(a0,b0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为 ()a.y=33xb.y=3xc.y=22xd.y=2x【解析】选a.依题意椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)与双曲线x2a2-y2b2=12(a0,b0)即x2a22-y2b22=1(a0,b0)的焦点相同,可得:a2-b2=12a2+12b2,即a2=3b2,所以ba=33,可得b2a2=33,所以双曲线的渐近线方程为y=b2a2x=33x.如何求双曲线的渐近线方程?提示:(1)求双曲线中的a,b的值,进而得出双曲线的渐近线方程.(2)求a与b的比值,进而得出双曲线的渐近线方程.(3)令双曲线标准方程右侧为0,将所得代数式化为一次式即为渐近线方程.与双曲线有关的范围问题 【典例】1.已知点f1,f2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点,过f1且垂直于x轴的直线与椭圆交于a,b两点.若abf2是锐角三角形,则该椭圆的离心率e的取值范围是 ()a.(0,2-1)b.(2-1,1)c.(0,3-1)d.(3-1,1)2.已知直线y=kx-1和双曲线x2-y2=1的右支交于不同两点,则k的取值范围是_.【解析】1.选b.由题意得f1(-c,0),f2(c,0),a-c,b2a,b-c,-b2a.因为abf2是锐角三角形,所以af2f145,所以tanaf2f11,即b2a2c1.整理,得b22ac,所以a2-c20,解得e2-1或e-2-1(舍去).又因为0e0,-k1-k21,(1-k2+2k-2)(1-k2)0, 解得1k2,即k的取值范围为(1,2).答案:(1,2)双曲线中的范围问题如何求解?提示:(1)若条件中存在不等关系,则借助此关系直接求解.(2)若条件中没有不等关系,要善于发现隐含的不等关系,如借助双曲线上点的坐标范围,方程中0等来解决.1.(2019抚顺模拟)当双曲线m:x2m2-y22m+6=1(-2m0,b0)的右焦点,过坐标原点的直线依次与双曲线c的左、右支交于点p,q,若|pq|=2|qf|,pqf=60,则该双曲线的离心率为()a.3b.1+3c.2+3d.4+23【解析】选b.pqf=60,因为|pq|=2|qf|,所以pfq=90,设双曲线的左焦点为f1,连接f1p,f1q,由对称性可知,四边形f1pfq为矩形,|f1f|=2|qf|,|qf1|=3|qf|,所以e=2c2a=|f1f|qf1|-|qf|=23-1=3+1.1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为3,右焦点到一条渐近线的距离为2,则此双曲线的焦距等于()a.3b.23c.3d.6【解析】选b.由题意得,焦点f(c,0)到渐近线bx+ay=0的距离d=|bc+0|a2+b2=b=2,又ca=3,c2=a2+b2,所以c=3,所以该双曲线的焦距为23.2.(2020池州模拟)双曲线c:x2a2-y2b2=1a0,b0的左焦点为f,右顶点为a,虚轴的一个端点为b,若abf为等腰三角形,则双曲线c的离心率是()a.3b.2c.2或3d.1+3【解析】选d.由于abf为等腰三角形,故fb=a+c,of=c,ob=b,直角三角形ofb中,由勾股定理得b2+c2=a+c2,即c2-2ac-2a2=0,两边除以a2得e2-2e-2=0,解得e=1+3(负根舍去).1.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的顶点到渐近线的距离为253,焦点到渐近线的距离为5,则该双曲线的方程为()a.x29-y25=1b.x24-y25=1c.x25-y29=1d.x25-y24=1【解析】选b.由双曲线的对称性可得两个焦点,顶点到两条渐近线的距离相等,所以任意取一个焦点和顶点即可.因为双曲线的渐近线方程为y=bax,所以|ba-a0|a2+b2=253,即ab=253c,|bc-a0|