2021版高考数学一轮复习 第二章 函数及其应用 2.2 函数的单调性与最值练习 理 北师大版

2.2 函数的单调性与最值核心考点精准研析考点一函数的单调性(区间)1.下列函数中,在区间(-,0)上是减少的是()a.y=1-x2b.y=x2+2xc.y=-xd.y=xx-12.函数f(x)=ln(x2-2x-8) 的单调递增区间是()a.(-,-2)b.(-,1)c.(1,+)d.(4,+)3.设函数f(x)在r上为增函数,则下列结论一定正确的是()a.y=1f(x)在r上为减函数b.y=|f(x)|在r上为增函数c.y=-1f(x)在r上为增函数d.y=-f(x)在r上为减函数4.设函数f(x)=1,x0,0,x=0,-1,x0,解得:x4,结合二次函数的单调性和复合函数同增异减的原则,可得函数的单调增区间为(4,+).3.选d.特例法:设f(x)=x,则y=1f(x)=1x的定义域为(-,0)(0,+),在定义域上无单调性,a错;则y=|f(x)|=|x|在r上无单调性,b错;则y=-1f(x)=-1x的定义域为(-,0)(0,+),在定义域上无单调性,c错.y=-f(x)=-x在r上为减函数,所以选项d正确.4.选b.因为g(x)=x2,x1,0,x=1,-x2,x0,x0),若f(x)在12,2上的值域为12,2,则a=_.【解题导思】序号联想解题1由1-x21+x2,想到分离常数2由x+x-1,想到利用函数的单调性或换元法求解3由-1x,想到反比例函数的单调性【解析】1.(分离常数法)因为y=1-x21+x2=-1+21+x2,又因为1+x21,所以021+x22,所以-10,x0)在12,2上是增加的,所以f12=12,f(2)=2,即1a-2=12,1a-12=2,解得a=25. 答案:25求函数最值的常用方法(1)单调性法:先确定函数的单调性,再利用单调性求最值.(2)图像法:先作出函数的图像,再观察其最高点、最低点,求出最值.(3)换元法:对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最值.(4)分离常数法:对于分式的分子、分母中都含有变量的求值域,变成只有分子或分母有变量的情况,再利用函数的观点求最值.(5)基本不等式法:先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.1.若函数f(x)=2x,x1,-log2x,x1,则函数f(x)的值域是()a.(-,2)b.(-,2c.0,+)d.(-,0)(0,2)【解析】选a.当x1时,02x2,当x1时,f(x)=-log2x-log21=0,综上f(x)2,即函数的值域为(-,2).2.函数y=3x+1x-2的值域为_.【解析】y=3x+1x-2=3(x-2)+7x-2=3+7x-2,因为7x-20,所以3+7x-23,所以函数y=3x+1x-2的值域为y|y3.答案:y|y33.(2020汉中模拟)设0x32,则函数y=4x(3-2x)的最大值为_.【解析】y=4x(3-2x)=22x(3-2x)22x+(3-2x)22=92,当且仅当2x=3-2x,即x=34时,等号成立.因为340,32,所以函数y=4x(3-2x)0xx11时,f(x2)-f(x1)(x2-x1)abb.cbac.acbd.bac【解析】选d.因为f(x)的图像关于x=1对称,所以f-12=f52,又由已知可得f(x)在(1,+)上单调递减,所以f(2)f52f(e),即f(2)f-12f(e).与抽象函数有关的不等式问题【典例】函数f(x)的定义域为(0,+),且对一切x0,y0都有fxy=f(x)-f(y),当x1时,有f(x)0. (1)求f(1)的值;(2)判断f(x)的单调性并证明;(3)若f(6)=1,解不等式f(x+5)-f1x2.【解析】(1)f(1)=fxx=f(x)-f(x)=0.(2)f(x)在(0,+)上是增函数.证明:设0x11,所以fx2x10.所以f(x2)-f(x1)0,即f(x)在(0,+)上是增函数.(3)因为f(6)=f366=f(36)-f(6),又f(6)=1,所以f(36)=2,原不等式化为f(x2+5x)0,1x0,x2+5x36,解得0x4.已知函数单调性求参数值问题【典例】(2020蚌埠模拟)若f(x)=(3a-1)x+4a,x1,-ax,x1是定义在r上的减函数,则a的取值范围为_.【解析】由题意知,3a-10,解得a0,所以a18,13.答案:18,131.若函数f(x)=|2x+a|的单调递增区间是3,+),则a的值为()a.-2b.2c.-6d.6【解析】选c.由图像易知函数f(x)=|2x+a|的单调增区间是-a2,+,令-a2=3,所以a=-6.2.f(x)是定义在(0,+)上的单调增函数,满足f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,当f(x)+f(x-8)2时,x的取值范围是()a.(8,+)b.(8,9c.8,9d.(0,8)【解析】选b.2=1+1=f(3)+f(3)=f(9),由f(x)+f(x-8)2,可得fx(x-8)f(9),因为f(x)是定义在(0,+)上的增函数,所以有x0,x-80,x(x-8)9,解得8x9.3.函数y=f(x)在r上是增函数,且y=f(x)的图像经过点a(-2,-3)和b(1,3),则不等式|f(2x-1)|3的解集为_.【解析】因为y=f(x)的图像经过点a(-2,-3)和b(1,3),所以f(-2)=-3,f(1)=3.又|f(2x-1)|3,所以-3f(2x-1)3,即f(-2)f(2x-1)f(1).因为函数y=f(x)在r上是增函数,所以-22x-1-2,2x-1-12,x1,所以-12x1.答案:-12,1(2020北京模拟)函数y=f(x),x1,+),数列an满足an=f(n),nn*,函数f(x)是增加的;数列an是递增数列.写出一个满足的函数f(x)的解析式_.写出一个满足但不满足的函数f(x)的解析式_.【解析】由题意可知:在x1,+)这个区间上是增加的函数有许多,可写为:f(x)=x2.第二个填空是找一个数列是递增数列,而对应的函数不是增加的,可