2021版高考数学一轮复习 第八章 数列 8.3 等比数列练习 理 北师大版

8.3 等比数列核心考点精准研析考点一等比数列基本量的运算1.已知各项均为正数的等比数列an的前n项和为sn,且s3=14,a3=8,则a6等于 ()a.16b.32c.64d.1282.(2020赣州模拟)sn是等比数列an的前n项和,若s4,s3,s5成等差数列,则an的公比q的值为()a.12b.-2c.1d.-2 或13.已知等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=()a.21b.42c.63d.844.(2019全国卷)已知各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()a.16b.8c.4d.25.已知sn是等比数列an的前n项和,若存在mn*,满足s2msm=9,a2mam=5m+1m-1,则数列an的公比为()a.-2b.2c.-3d.3【解析】1.选c.因为s3=14,a3=8,所以q1,所以a1(1-q3)1-q=14a1q2=8, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-23(舍),所以a6=a1q5=232=64.2.选b.由s4,s3,s5成等差数列知等比数列an的公比q1,因此得2s3=s5+s4,即2a1(1-q3)1-q=a1(1-q5)1-q+a1(1-q4)1-q,化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.3.选b.设数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.4.选c.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由已知得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,则可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,则a3=a1q2=4.5.选b.设公比为q,若q=1,则s2msm=2,与题中条件矛盾,故q1.因为s2msm=a1(1-q2m)1-qa1(1-qm)1-q=qm+1=9,所以qm=8.所以a2mam=a1q2m-1a1qm-1=qm=8=5m+1m-1,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.把t1条件“s3=14,a3=8”改为“a3=9,s3=27”其他条件不变,则公比q的值为()a.1b.-12c.1或-12d.-1或 -12 【解析】选c.当公比q=1时,a1=a2=a3=9,所以s3=39=27.符合题意.当q1时,s3=a1-a3q1-q,所以27=a1-9q1-q,所以a1=27-18q,因为a3=a1q2,所以(27-18q)q2=9,所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-12.综上q=1或q=-12.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q1两种情况进行讨论.【秒杀绝招】1.应用转化法解t2选b.由s4,s3,s5成等差数列,得2s3=s5+s4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以a5a4=-2,即q=-2.故选b.2.应用等比数列性质解t3:选b.设数列an的公比为q,则a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42,所以a3+a5+a7=42.考点二等比数列的判断与证明【典例】1.已知数列an中,a1=1,若an=2an-1+1(n2),则a5的值是_.【解题导思】序号联想解题(1)由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5(2)由an=2an-1+1(n2)联想到转化法求通项公式【解析】因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以an+1an-1+1=2,又a1=1,所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=22n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31【一题多解】由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.答案:312.已知数列an的前n项和为sn,a1=1,sn+1=4an+2(nn*),若bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.【解题导思】序号题目拆解(1)sn+1=4an+2(nn*)出现sn+2=4an+1+2(nn*)(2)bn=an+1-2an证明bn是等比数列把n换为n+1左式和已知式子相减an+2=4an+1-4an,把n换为n+1得出bn+1转化为证明bn+1bn为常数【证明】因为an+2=sn+2-sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以bn+1bn=an+2-2an+1an+1-2an=4an+1-4an-2an+1an+1-2an=2an+1-4anan+1-2an=2.因为s2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.若本例2中的条件不变,试求an的通项公式.【解析】由题知bn=an+1-2an=32n-1,所以an+12n+1-an2n=34,故an2n是首项为12,公差为34的等差数列.所以an2n=12+(n-1)34=3n-14,所以an=(3n-1)2n-2.【继续探究】若将本例中“sn+1=4an+2”改为“sn+1=2sn+(n+1)”,其他不变,求数列an的通项公式.【解析】由已知得n2时,sn=2sn-1+n. 所以sn+1-sn=2sn-2sn-1+1,所以an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),n2,(*) 又a1=1,s2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1), 所以当n=1时(*)式也成立, 故an+1是以2为首项,以2为公比的等比数列, 所以an+1=22n-1=2n,所以an=2n-1.1.等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:若an+1an=q(q为非零常数,nn*)或anan-1=q(q为非零常数且n2,nn*),则an是等比数列.(2)等比中项法:若数列an中,an0且an+12=anan+2(nn*),则an是等比数列.(3)通项公式法:若数列an的通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nn*),则an是等比数列.(4)前n项和公式法:若数列an的前n项和sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),则an是等比数列.2.证明某数列不是等比数列若证明某数列不是等比数列,则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2018全国卷改编)已知数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=ann.(1)求b1,b2,b3.(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由.(3)求bn的前10项和s10.【解析】(1)由条件可得an+1=2(n+1)nan.将n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由:由条件可得an+1n+1=2ann,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得sn=1-2n1-2=2n-1,所以s10=210-1=1 023.考点三等比数列的性质及其应用命题精解读1.考什么:等比数列通项公式、前n项和公式、性质和最值问题2.怎么考:等比数列性质、等比数列前n项和的性质作为考查等比数列运算知识的最佳载体,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中3.新趋势:以数列为载体与函数、不等式知识结合等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.学霸好方法1.与等比数列性质有关的运算问题解题思路在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若相等则利用等比数列的性质进行运算2.交汇问题以数列为载体与函数性质、不等式等知识结合考查,注意分类讨论思想的应用等比数列项的性质应用【典例】已知等比数列an中,a4+a8=-2,则a6(a2+2a6+a10)的值为()a.4b.6c.8d.-9【解析】选a.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2a62+a6a10=a42+2a4a8+a82=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?提示:通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形.2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?提示:在等比数列中凡是涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,若项数和相等,则利用等比数列的性质进行运算.提醒:根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.等比数列中的最值与范围问题【典例】设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2an的最大值为_.【思路探究】利用等比数列通项公式求出首项a1与公比q,再将a1a2an的最值问题利用指数幂的运算法则转化为二次函数最值问题.【解析】设等比数列an的公比为q,则由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=12.又a1+a1q2=10,所以a1=8.故a1a2an=23n12(n-1)n2=23n-n22+n2=2-n22+72n.记t=-n22+7n2=-12(n2-7n),结合nn*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2an的最大值为26=64.答案:64求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也应用基本不等式.1.已知等比数列an满足a1=14,a3a5=4(a4-1),则a2=()a.2b.1c.12d.18【解析】选c.设公比为q,因为a3a5=a42,a3a5=4(a4-1),所以a42=4(a4-1),所以a42-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3=a4a1=214=8,所以q=2,所以a2=a1q=142=12.2.已知正数组成的等比数列an,若a1a20=100,那么a7+a14的最小值为()a.20b.25 c.50d.不存在【解析】选a.(a7+a14)2=a72+a142+2a7a144a7a14=4a1a20=400(当且仅当a7=a14时取等号).所以a7+a1420.1.已知数列an满足log2an+1=1+log2an(nn*),且a1+a2+a3+a10=1,则log2(a101+a102+a110)=_.【解析】因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列an是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+a10=1,所以a101+a102+a110=(a