存贮模型-焦梦

1,3.1存贮模型P59,2,3.1存贮模型,工厂定期订购原料，存入仓库供生产之用；车间一次加工出一批零件，供装配线每天生产之需；商店成批购进各种商品，放在货柜里以备零售；水库在雨季蓄水，用于旱季的灌溉和发电.显然，这些情况下都有一个贮存量多大才合适的问题.贮存量过大，贮存费用太高；贮存量太小，会导致一次性订购费用增加，或不能及时满足要求.,上游：供货,下游：需求,中间:存贮,3,存贮模型,本节在需求量稳定的前提下讨论两个简单的存贮模型：不允许缺货模型和允许缺货模型.前者适用于一旦出现缺货会造成重大损失的情况（如炼铁厂对原料的需求），后者适用于像商店购货之类的情形，缺货造成的损失可以允许和估计.,4,不允许缺货模型,先考察这样的问题：配件厂为装配线生产若干种部件，轮换生产不同的部件时因更换设备要付生产准备费（与生产数量无关），同一部件的产量大于需求时因积压资金、占用仓库要付贮存费.今已知某一部件的日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费每日每件1元.如果生产能力远大于需求，并且不允许出现缺货，试安排该产品的生产计划，即多少天生产一次（称为生产周期），每次产量多少，可使总费用最小.,5,不允许缺货模型,生产部件,仓库存贮,装配线,配件厂有多种产品的生产能力.从一件产品转换为另一件产品时要付生产准备费：技术图纸、工装夹具、材料准备、技术培训等.,仓库贮存费每日每件1元,装配线日需求量100件,6,不允许缺货模型,一个生产周期的总费用=生产准备费+贮存费平均每天的费用=,7,问题分析,若每天生产一次，每次100件，无贮存费，生产准备费5000元，每天费用5000元；若10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+100=4500元，生产准备费5000元，总计9500元，平均每天费用950元；若50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+100=122500元，生产准备费5000元，总计127500元，平均每天费用2550元.,8,问题分析,虽然从以上结果看，10天生产一次比每天和50天生产一次的费用少，但是，要得到准确的结论，应该建立生产周期、产量与需求量、生产准备费、贮存费之间的关系，即数学建模.从上面的计算看，生产周期短、产量少，会使贮存费小，准备费大；而周期长、产量多，会使贮存费大，准备费小.所以必然存在一个最佳的周期，使总费用最小.显然，应该建立一个优化模型.,9,问题分析,一般地，考察这样的不允许缺货的存贮模型：1.产品需求稳定不变，不允许缺货；2.生产准备费和产品贮存费为常数；3.生产能力无限.在这组条件下，确定生产周期和产量，使总费用最小.,10,模型假设,为了处理的方便，考虑连续模型，即设生产周期T和产量Q均为连续量.根据问题性质作如下假设：1.产品每天的需求量为常数r.2.每次生产准备费为c1，每天每件产品贮存费为c2.3.生产能力为无限大（相对于需求量），当贮存量降到零时，Q件产品立即生产出来供给需求，既不允许缺货.,11,模型建立,将贮存量表示为时间t的函数q(t)，t=0时生产Q件，贮存量q(0)=Q，q(t)以需求速率r递减，直到q(T)=0，如图1.显然有Q=rT(1),t,q,A,Q,T,O,r,图1不允许缺货模型的贮存量q(t),12,模型建立,一个周期内的贮存费是，其中积分恰等于图1中三角形A的面积QT/2.因为一个周期的准备费是c1，再注意到（1）式Q=rT，得到一个周期的总费用为,(2),(3),于是每天的平均费用是,（3）式为这个优化模型的目标函数.,13,模型求解,求T使（3）式的C最小.容易得到,代入（1）式可得,最小的总费用为,（4），（5）式是经济学中著名的经济订货批量公式(EOQ公式).,（4）,（5）,（6）,14,模型求解,用均值不等式来求解,注意“=”成立的条件，当且仅当,即,时，“=”成立.,15,结果解释,由（4），（5）式可以看到，当准备费c1增加时，生产周期和产量都变大；当贮存费c2增加时，生产周期和产量都变小；当需求量r增加时，生产周期变小而产量变大.这些定性结果都是符合常识的.当然，（4），（5）式的定量关系（如平方根、系数2等）凭常识是无法猜出的，只能由数学建模得到.,16,结果解释,用得到的模型计算本节开始的问题：以c1=5000，c2=1，r=100代入（4），（6）式可得T=10天，C=1000元.这里得到的费用C与前面计算的950元有微小的差别，你能解释么？,这是因为，在连续模型中，每天不是一下供给100件，而是连续供给，全天才达到100件，因此产品的贮存时间要长一些，费用有微小增加.,17,结果解释,O,t,q,A,18,敏感性分析,讨论参数c1，c2，r有微小变化时对生产周期T的影响.用相对该变量衡量结果对参数的敏感程度，T对c1的敏感度记作S（T，c1），定义为,（7）,由于,所以,19,敏感性分析,由（4）式容易得到S（T，c1）=1/2.作类似的定义并可得到S（T，c2）=-1/2，S（T，r）=-1/2.即c1增加1%，T增加0.5%，而c2或r增加1%，T减少0.5%.c1，c2，r的微小变化对生产周期T的影响是很小的.,20,思考,1.建模中未考虑生产费用（这应是最大的一笔费用），在什么条件下才可以不考虑它？每件产品的生产费用恒定不变，无论生产时间的早晚，都花那么多费用.2.建模时作了“生产能力为无限大”的简化假设，如果生产能力有限，是大于需求量的一个常数，如何建模？那么T就要有范围，若最大生产能力为每次M件，则Q=rTM，TM/r.,21,评注,EOQ公式是近百年前得到的，至今仍是研究批量生产计划问题的理论基础之一，实际上也还有一些用处.考察用户向供方订货的情况：如果订货时要付一笔订货费（与订货量无关），贮存费和用户需求量的假设与上面模型一样，并且当贮存量降到零时所订货物立即到达，那么只需将订货费类比于生产准备费，就会得到完全相同的模型.实际上，EOQ公式原本就是针对这种订货情况的.,22,允许缺货模型,在某些情况下用户允许短时间的缺货，虽然这会造成一定的损失，但是如果损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费的话，允许缺货就应该是可以采取的策略。,23,模型假设,下面讨论一种较简单的允许缺货模型：不允许缺货模型的假设1，2不变假设3改为：生产能力为无限大（相对于需求量），允许缺货，每天每件产品缺货损失费为c3，但缺货数量需在下次生产（或订货）时补足.,24,模型建立,因贮存量不足造成缺货时，可认为贮存量函数q（t）为负值，如图2.周期仍记作T，Q是每周期初的贮存量，当t=T1时q（t）=0，于是有Q=rT1（8）在T1到T这段缺货时段内需求率r不变，q（t）按原斜率继续下降.由于规定缺货量需补足，所以在t=T时数量为R的产品立即到达，使下周期初的贮存量恢复到Q.,25,模型建立,O,t,q,B,26,模型建立,与建立不允许缺货模型时类似，一个周期内的贮存费是c2乘以图2中三角形A的面积，缺货损失费则是c3乘以图2中三角形B的面积.计算这两块面积，并加上准备费c1，得到一个周期的总费用为,利用（8）Q=rT1式将模型的目标函数每天的平均费用记作T和Q的二元函数,（9）,（10）,27,模型求解,利用微分法求T和Q使C（T，Q）最小，令,可得（为了与不允许缺货模型相区别，最优解记作T，Q）,（11）,28,模型求解,每个周期的供货量R=rT，有,（12）,记,（13）,T=T，Q=Q/，R=Q,与不允许缺货模型的结果（4），（