周期函数的判定与非周期函数的判定

编辑本段周期函数的判定定理1 若f(X)是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K0）和1/ f(X)分别是集M和集X/ f(X) 0，X 上的以T*为最小正周期的周期函数。 1 证： T*是f(X)的周期，对 有XT* 且f(X+T*)= f(X)，K f(X)+C=K f(X+T*)+C， K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T（ 0TT*）是K f(X)+C的周期，则对 ， 有K f(X+T)+C=K f(X) +C Kf(X+T)- f(X)=0，K0，f(X+T)- f(X)=0，f(X+T)= f(X)， T是f(X)的周期，与T*是f(X)的最小正周期矛盾，T*也是K f(X)+C的最小正周期。 同理可证1/ f(X)是集X/ f(X) 0，X 上的以T*为最小正周期的周期函数。 定理2若f(X)是集M上以T*为最小正周期的周期函数，则f(aX+n)是集X/aX+ n 上的以T*/ 为最小正周期的周期函数，（其中a、b为常数）。 证： 先证 是f(ax+b)的周期 T*是f(X)的周期， ，有XT*M，a（X ）+b=ax+b T*M，且fa（X+ T ）+b=f（ax+bT*）=f（ax+b） 是f（ax+b）的周期。 再证 是f（ax+b）的最小正周期 假设存在T（0T ）是f（ax+b）的周期， 则f（a（x+T）+b）=f（ax+b），即f（ax+b+aT）=f（ax+b）， 因当X取遍X/XM,ax+bM的各数时,ax+b就取遍M所有的各数， aT是f(X)的周期，但 =T*这与T*是f(X)的最小正周期矛盾。 定理3设f(u)是定义在集M上的函数u=g（x）是集M1上的周期函数，且当XM1时，g(x)M，则复合函数f(g(x)是M1上的周期函数。 证： 设T是u=g(x)的周期，则 1有（xT）M1且g（x+T）=g(x) f(g(x+T)=f(g(x) =f(g(x)是M1上的周期函数。 例1 设=f(u)=u2是非周期函数，u= g(X)=cosx是实数集R上的周期函数，则f(g(x)=cos2x是R上的周期函数。 同理可得：（1）f(X)=Sin(cosx)，（2）f(X)=Sin(tgx)，（3）f(X)=Sin2x，（4）f(n)=Log2Sinx(sinx0)也都是周期函数。 例2 f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a0)是非周期函数，f(g(x)=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 例3 f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x)=cos 是非周期函数。 证：假设cos 是周期函数，则存在T0使cos （kZ） 与定义中T是与X无关的常数矛盾， cos 不是周期函数。 由例2、例3说明，若f(u)是周期函数，u= g(X)是非周期函数，这时f(g(x)可能是，也可能不是周期函数。 定理4设f1(X)、f2(X)都是集合M上的周期函数，T1、T2分别是它们的周期，若T1/T2Q则它们的和差与积也是M上的周期函数，T1与T2的公倍 数为它们的周期。 证： 设 （(pq)=1）设T=T1q=T2p则有： 有（xT）=（xT1q）=（xT2p）M，且f1(x+T) f2（x+T）= f1(x+T1q) f2（x+T2p）= f1(X)f2(X) f1(X) f2(X)是以T1和T2的公倍数T为周期的周期函数。同理可证：f1(X) 、f2(X)是以T为周期的周期函数。 定理4推论 设f1(X) 、f2(X)fn(X) 是集M上的有限个周期函数T1、T2Tn分别是它们的周期，若， （或T1，T2Tn中任意两个之比）都是有理数，则此n个函数之和、差、积也是M上的周期函数。 例4 f(X)=Sinx-2cos2x+sin4x是以2、/2的最小公倍 数2为周期的周期函数。 例5 讨论f(X)= 的周期性 解：2tg3 是以T1= 为最小正周期的周期函数。 5tg 是以T2 为最小正周期的周期函数。 tg2 是以T3= 为最小正周期的周期函数。 又 都是有理数 f(X)是以T1、T2、T3最小公倍数（T1、T2、T3）= 为最小正周期的周期函数。 同理可证： （1）f(X)=cos ; (2)f(x)=sin2xcos2x+cos2xcos3x+cos3xsin3x。是周期函数。 定理5设f1(x)=sin a1x，f2(x)=cosa2x，则f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数的充要条件是a1/a2Q。 证 先证充分性： 若a1/a2Q，设T1、T2分别为f1(x)与f2(x)的最小正周期，则T1= 、T2= ，又 Q 由定理4可得f1(x)与f2(x)之和、差、积是周期函数。 再证必要性（仅就f1(x)与f2(x)的差和积加以证明）。 （1）设sina1x-cosa2x为周期函数，则必存在常数T0， 使sina1(x+T)-sina1x=cosa2(x+T)-cosa2x 2cos(a1x+ )sin = -2sin s(a2x+ ) sin (1)。 令x= 得2cos（a1x+ ），则 （KZ）。(2) 或 CZ（3） 又在（1）中令 2sin（a2x+ ）sin =-2sin =0 由(4) 由sin （5） 由上述（2）与（3），（4）与（5）都分别至少有一个成立。 由（3）、（5得 ）（6） 无论（2）、（4）、（6）中那一式成立都有a1/a2 。 （2）设sinaxcosa2x为周期函数，则 是周期函数。 编辑本段非周期函数的判定1（1）若f(X)的定义域有界 例：f(X)=cosx（ 10）不是周期函数。 （2）根据定义讨论函数的周期性可知非零实数T在关系式f(X+T)= f(X)中是与X无关的，故讨论时可通过解关于T的方程f(X+T)- f(X)=0，若能解出与X无关的非零常数T便可断定函数f(X)是周期函数，若这样的T不存在则f(X)为非周期函数。 例：f(X)=cos 是非周期函数。 （3）一般用反证法证明。（若f(X)是周期函数，推出矛盾，从而得出f(X)是非周期函数）。 例：证f(X)=ax+b(a0)是非周期函数。 证：假设f(X)=ax+b是周期函数，则存在T（0），使对 ，a（x+T）+b=ax+b ax+aT-ax=0 aT=0 又a0，T=0与T0矛盾，f(X)是非周期函数。 例：证f(X)= 是非周期函数。 证：假设f(X)是周期函数，则必存在T（0）对 ，有(x+T)= f(X)，当x=0时，f(X)=0，但x+T0, f(x+T)=1，f(x+T) f(X)与f(x+T)= f(X)矛盾，f(X)是非周期函数。 例：证f(X)=sinx2是非周期函数 证：若f(X)=