2021高考数学一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 高考专题突破四 高考中的立体几何问题课件 理 新人教A版

,高考专题突破四高考中的立体几何问题,空间角的求法,题型一,多维探究,命题点1求线线角例1(2019安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱abca1b1c1中，a1acbac60，平面a1acc1平面abc，aa1acab，则异面直线ac1与a1b所成角的余弦值为_.,解析方法一令m为ac的中点，连接mb，ma1，由题意知abc是等边三角形，所以bmac，同理，a1mac，因为平面a1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，bm平面abc，所以bm平面a1acc1，因为a1m平面a1acc1，所以bma1m，,方法二如图，在平面abc，平面a1b1c1中分别取点d，d1，连接bd，cd，b1d1，c1d1，使得四边形abdc，a1b1d1c1为平行四边形，连接dd1，bd1，则abc1d1，且abc1d1，所以ac1bd1，故a1bd1或其补角为异面直线ac1与a1b所成的角.连接a1d1，过点a1作a1mac于点m，连接bm，,因为平面a1acc1平面abc，平面a1acc1平面abcac，a1m平面a1acc1，所以a1m平面abc，又bm平面abc，,(1)求异面直线所成角的思路：选好基底或建立空间直角坐标系.求出两直线的方向向量v1，v2.,思维升华,siweishenghua,(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是两向量的夹角的范围是0，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角.,跟踪训练1(2019龙岩月考)若正四棱柱abcda1b1c1d1的体积为ab1，则直线ab1与cd1所成的角为a.30b.45c.60d.90,以d为原点，da所在直线为x轴，dc所在直线为y轴，dd1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，,设直线ab1与cd1所成的角为，,又090，60，直线ab1与cd1所成的角为60.故选c.,命题点2求线面角例2(2018浙江)如图，已知多面体abca1b1c1，a1a，b1b，c1c均垂直于平面abc，abc120，a1a4，c1c1，abbcb1b2.(1)证明：ab1平面a1b1c1；,证明方法一由ab2，aa14，bb12，aa1ab，bb1ab，,故ab1a1b1.由bc2，bb12，cc11，bb1bc，cc1bc，,故ab1b1c1.又因为a1b1b1c1b1，a1b1，b1c1平面a1b1c1，所以ab1平面a1b1c1.,方法二如图，以ac的中点o为原点，分别以射线ob，oc为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系.由题意知各点坐标如下：,又a1b1a1c1a1，a1b1，a1c1平面a1b1c1，所以ab1平面a1b1c1.,(2)求直线ac1与平面abb1所成的角的正弦值.,解方法一如图，过点c1作c1da1b1，交直线a1b1于点d，连接ad.由ab1平面a1b1c1，得平面a1b1c1平面abb1.由c1da1b1，平面a1b1c1平面abb1a1b1，c1d平面a1b1c1，得c1d平面abb1.所以c1ad即为ac1与平面abb1所成的角.,方法二设直线ac1与平面abb1所成的角为.,设平面abb1的一个法向量为n(x，y，z).,(1)利用向量求直线与平面所成的角有两个思路：分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角).通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练2如图，已知三棱柱abca1b1c1中，平面a1acc1平面abc，abc90，bac30，a1aa1cac，e，f分别是ac，a1b1的中点.(1)证明：efbc；,证明方法一如图，连接a1e，因为a1aa1c，e是ac的中点，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac，所以a1e平面abc，则a1ebc.又因为a1fab，abc90，故bca1f，又a1e，a1f平面a1ef，a1ea1fa1，所以bc平面a1ef.又ef平面a1ef，因此efbc.,证明方法二连接a1e，因为a1aa1c，e是ac的中点，所以a1eac.又平面a1acc1平面abc，a1e平面a1acc1，平面a1acc1平面abcac，所以a1e平面abc.如图，以e为原点，分别以射线ec，ea1为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系.,(2)求直线ef与平面a1bc所成角的余弦值.,解方法一取bc的中点g，连接eg，gf，则egfa1是平行四边形.由于a1e平面abc，故a1eeg，所以平行四边形egfa1为矩形.连接a1g交ef于o，由(1)得bc平面egfa1，则平面a1bc平面egfa1，所以ef在平面a1bc上的射影在直线a1g上.则eog是直线ef与平面a1bc所成的角(或其补角).,解方法二设直线ef与平面a1bc所成角为.,设平面a1bc的法向量为n(x，y，z).,命题点3求二面角例3如图，在四棱锥abcde中，平面bcde平面abc，beec，bc2，ab4，abc60.(1)求证：be平面ace；,所以ac2bc2ab2，所以acbc.又因为平面bcde平面abc，平面bcde平面abcbc，ac平面abc，所以ac平面bcde.又be平面bcde，所以acbe.又beec，ac，ce平面ace，且accec，所以be平面ace.,(2)若直线ce与平面abc所成的角为45，求二面角eabc的余弦值.,解方法一因为直线ce与平面abc所成的角为45，平面bcde平面abc，平面bcde平面abcbc，所以bce45，所以ebc为等腰直角三角形.取bc的中点f，连接ef，过点f作fgab于点g，连接eg，则egf为二面角eabc的平面角.,方法二因为直线ce与平面abc所成的角为45，平面bcde平面abc，平面bcde平面abcbc，所以bce45，所以ebc为等腰直角三角形.记bc的中点为o，连接oe，则oe平面abc，以o为坐标原点，分别以ob，oe所在直线为x轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面abe的法向量m(x，y，z)，,易知二面角eabc为锐角，,(1)求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.(2)利用向量法求二面角的大小的关键是确定平面的法向量，求法向量的方法主要有两种：求平面的垂线的方向向量.利用法向量与平面内两个不共线向量的数量积为零，列方程组求解.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练3(2020湖北宜昌一中模拟)如图，在四棱锥pabcd中，pa底面abcd，adab，abdc，addcap2，ab1，点e为棱pc的中点.(1)证明：bepd；,解依题意，以点a为原点，以ab，ad，ap为轴建立空间直角坐标系如图，可得b(1,0,0)，c(2,2,0)，d(0,2,0)，p(0,0,2).由e为棱pc的中点，得e(1,1,1).,(2)若f为棱pc上一点，满足bfac，求二面角fabd的余弦值.,不妨令z1，可得n1(0,3，1)为平面fab的一个法向量，取平面abd的法向量n2(0,0,1)，,又因为二面角fabd为锐二面角，,例4(2019淄博模拟)已知正方形的边长为4，e，f分别为ad，bc的中点，以ef为棱将正方形abcd折成如图所示的60的二面角，点m在线段ab上.(1)若m为ab的中点，且直线mf与由a，d，e三点所确定平面的交点为o，试确定点o的位置，并证明直线od平面emc；,立体几何中的探索性问题,题型二,师生共研,解因为直线mf平面abfe，故点o在平面abfe内也在平面ade内，所以点o在平面abfe与平面ade的交线上(如图所示)，因为aobf，m为ab的中点，所以oamfbm，所以ommf，aobf，所以点o在ea的延长线上，且ao2，连接df交ec于n，因为四边形cdef为矩形，所以n是ec的中点，连接mn，因为mn为dof的中位线，所以mnod，又因为mn平面emc，od平面emc，所以直线od平面emc.,(2)是否存在点m，使得直线de与平面emc所成的角为60；若存在，求此时二面角mecf的余弦值，若不存在，说明理由.,解由已知可得，efae，efde，aedee，所以ef平面ade，所以平面abfe平面ade，取ae的中点h为坐标原点，以ah，dh所在直线分别为x轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，,设平面emc的法向量m(x，y，z)，,因为de与平面emc所成的角为60，,解得t1或t3，所以存在点m，使得直线de与平面emc所成的角为60，,取ed的中点q，因为ef平面ade，aq平面ade，所以aqef，又因为aqde，deefe，de，ef平面cef，,设二面角mecf的大小为，,因为当t2时，cos0，平面emc平面cdef，,(1)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论则否定假设.(2)平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.,思维升华,siweishenghua,跟踪训练4(2019天津市南开区南开中学月考)如图1，在边长为2的菱形abcd中，bad60，deab于点e，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dbe，如图2.,(1)求证：a1e平面bcde；,证明因为a1dbe，debe，a1dded，a1d，de平面a1de，所以be平面a1de，因为a1e平面a1de，所以a1ebe，又因为a1ede，bedee，be，de平面bcde，所以a1e平面bcde.,(2)求二面角ea1db的余弦值；,解以e为原点，分别以eb，ed，ea1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，,设平面a1bd的法向量n(x，y，z)，,因为be平面a1de，,因为所求二面角为锐角，,(3)在线段bd上是否存在点p，使平面a1ep平面a1bd？若存在，求的值；若不存在，说明理由.,解假设在线段bd上存在一点p，使得平面a1ep平面a1bd，,设平面a1ep的法向量m(x1，y1，z1)，,因为平面a1ep平面a1bd，,例(12分)(2019全国)如图，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa14，ab2，bad60，e，m，n分别是bc，bb1，a1d的中点.(1)证明：mn平面c1de；(2)求二面角ama1n的正弦值.,利用空间向量求解空间角,答题模板,规范解答(1)证明连接b1c，me.因为m，e分别为bb1，bc的中点，,由题设知a1b1dc且a1b1dc，可得b1ca1d且b1ca1d，故mend且mend，因此四边形mnde为平行四边形，3分所以mned.4分又mn平面c1de，ed平面c1de，5分所以mn平面c1de.6分,可取n(2,0，1).10分,利用向量求空间角的步骤第一步：建立空间直角坐标系，确定点的坐标；第二步：求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标；第三步：计算向量的夹角(或函数值)，并转化为所求角.,答题模板,datimuban,1.(2019大连模拟)如图，在三棱柱abca1b1c1中，abc和aa1c均是边长为2的等边三角形，点o为ac中点，平面aa1c1c平面abc.(1)证明：a1o平面abc；,基础保分练,1,2,3,4,5,课时精练,证明aa1a1c，且o为ac的中点，a1oac，又平面aa1c1c平面abc，平面aa1c1c平面abcac，a1o平面aa1c1c，a1o平面abc.,(2)求直线ab与平面a1bc1所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,解如图，以o为原点，ob，oc，oa1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.,1,2,3,4,5,设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)，,平面a1bc1的一个法向量为n(1,0,1)，设直线ab与平面a1bc1所成的角为，,1,2,3,4,5,2.如图1，在abc中，bc3，ac6，c90，且debc，将ade沿de折起到a1de的位置，使a1dcd，如图2.(1)求证：bc平面a1dc；,1,2,3,4,5,证明dea1d，debc，bca1d，又bccd，a1dcdd，a1d，cd平面a1cd，bc平面a1dc，,(2)若cd2，求be与平面a1bc所成角的正弦值.,1,2,3,4,5,在直角梯形cdeb中，过e作efbc，ef2，bf1，bc3，b(3,0，2)，e(2,0,0)，c(0,0，2)，a1(0,4,0)，,设平面a1bc的法向量为m(x，y，z)，,令y1，m(0,1，2)，设be与平面a1bc所成角为，,1,2,3,4,5,(1)求证：平面pac平面abc；,1,2,3,4,5,证明取ac的中点o，连接po，bo得到pbo.四边形abcd是菱形，papc，poac.dc5，ac6，oc3，poob4，,poob.obaco，ob，ac平面abc，po平面abc.po平面pac，平面pac平面abc.,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,解abbc，boac.易知ob，oc，op两两垂直.以o为坐标原点，ob，oc，op所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则b(4,0,0)，c(0,3,0)，p(0,0,4)，a(0，3,0).设点q(x，y，z).,设n1(x1，y1，z1)为平面bcq的法向量.,1,2,3,4,5,取平面abc的一个法向量n2(0,0,1).,由图可知二面角qbca为锐角，,1,2,3,4,5,(1)若点e为pd上的点，且pb平面eac，试确定e点的位置；,1,2,3,4,5,技能提升练,解设bd交ac于点o，连接oe，pb平面aec，平面aec平面bdpoe，pboe.又o为bd的中点，e为pd的中点.,(2)在(1)的条件下，在线段pa上是否存在点f，使平面aec和平面bdf所成的锐二面角的余弦值为若存在，求线段pf的长度，若不存在，请说明理由.,1,2,3,4,5,解连接op，由题意知po平面abcd