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文档简介
10.2排列、组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理解组合的概念及组合数公式,并能利用公式解决一些简单的实际问题.1.以实际问题为背景,考查排列数、组合数,同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.2.以选择、填空的形式考查,或在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序,组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“a”表示an(n1)(n2)(nm1)(n,mn*,且mn)(1)an!;(2)0!1c组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“c”表示c(n,mn*,且mn)(1)cc1;(2)cc;(3)ccc概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么?提示元素之间与顺序有关的为排列,与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系?它们的公式都有两种形式,如何选择使用?提示(1)排列数与组合数之间的联系为caa.(2)两种形式分别为:连乘积形式;阶乘形式.前者多用于数字计算,后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式cc,则xm成立.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同,并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说,如果某个元素已被取出,则这个元素就不再取了.()题组二教材改编2.6把椅子摆成一排,3人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为()a.144b.120c.72d.24答案d解析“插空法”,先排3个空位,形成4个空隙供3人选择就座,因此任何两人不相邻的坐法种数为a43224.3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数,其中偶数的个数为()a.8b.24c.48d.120答案c解析末位数字排法有a种,其他位置排法有a种,共有aa48(种)排法,所以偶数的个数为48.4.从4本不同的课外读物中,买3本送给3名同学,每人各1本,则不同的送法种数是_.答案24解析从4本书中选3本有c4(种)选法,把选出的3本送给3名同学,有a6(种)送法,所以不同的送法有ca4624(种).题组三易错自纠5.六个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有()a.192种b.216种c.240种d.288种答案b解析第一类:甲在最左端,有a54321120(种)排法;第二类:乙在最左端,甲不在最右端,有4a4432196(种)排法.所以共有12096216(种)排法.6.某校开设a类选修课3门,b类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法种数为_.答案30解析分两种情况:(1)a类选修课选1门,b类选修课选2门,有cc种不同的选法;(2)a类选修课选2门,b类选修课选1门,有cc种不同的选法.所以不同的选法共有cccc181230(种).排列问题1.用1,2,3,4,5这五个数字,可以组成比20000大,并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数,共有()a.96个b.78个c.72个d.64个答案b解析根据题意知,要求这个五位数比20000大,则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个,当万位数是3时,百位数不是数字3,符合要求的五位数有a24(个);当万位数是2,4,5时,由于百位数不能是数字3,则符合要求的五位数有3(aa)54(个),因此共有542478(个)这样的五位数符合要求.故选b.2.(2020惠州调研)七人并排站成一行,如果甲乙两人必须不相邻,那么不同的排法种数是()a.3600b.1440c.4820d.4800答案a解析除甲乙外,其余5个人排列数为a种,再用甲乙去插6个空位有a种,不同的排法种数是aa3600(种).3.3名女生和5名男生站成一排,其中女生排在一起的排法种数是_.答案4320解析3名女生排在一起,有a种排法,把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有a种排法,故共有aa4320(种)不同排法.思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法和元素分析法,在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)常见排列数的求法为:相邻问题采用“捆绑法”.不相邻问题采用“插空法”.有限制元素采用“优先法”.特殊顺序问题,先让所有元素全排列,然后除以有限制元素的全排列数.组合问题1.(2018全国)从2位女生,4位男生中选3人参加科技比赛,且至少有1位女生入选,则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类:只有1位女生参加有cc种,有2位女生参加有cc种.故所求选法共有cccc26416(种).方法二间接法:从2位女生,4位男生中选3人,共有c种情况,没有女生参加的情况有c种,故所求选法共有cc20416(种).2.(2019衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁,俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人,要求甲、乙二人不能全部裁去,则不同的裁员方案的种数为_.答案182解析甲、乙中裁一人的方案有cc种,甲、乙都不裁的方案有c种,故不同的裁员方案共有ccc182(种).3.从7名男生,5名女生中选取5人,至少有2名女生入选的种数为_.答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”,故可用间接法,所以有cccc596(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理.排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例1(2019怀化模拟)北京apec峰会期间,有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相,则女性领导人甲不在两端,3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()a.12种b.24种c.48种d.96种答案c解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作a,a共有ca6(种)不同排法,剩下1位男性领导人记作b,2位女性分别记作甲、乙;则女领导人甲必须在a,b之间,此时共有6212(种)排法(a左b右和a右b左),最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙,共有12448(种)不同排法.命题点2相间问题例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()a.72b.120c.144d.168答案b解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种:“小品1,小品2,相声”“小品1,相声,小品2”和“相声,小品1,小品2”.对于第一种情况,形式为“小品1歌舞1小品2相声”,有aca36(种)安排方法;同理,第三种情况也有36种安排方法,对于第二种情况,三个节目形成4个空,其形式为“小品1相声小品2”,有aa48(种)安排方法,故共有363648120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例3大数据时代出现了滴滴打车服务,二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的a,b,c,d四个家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置),其中a家庭的孪生姐妹需乘同一辆车,则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()a.18种b.24种c.36种d.48种答案b解析根据题意,分两种情况讨论:a家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有ccc12(种)乘坐方式;a家庭的孪生姐妹不在甲车上,需要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个孩子都在甲车上,对于剩余的两个家庭,从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车,有ccc12(种)乘坐方式,故共有121224(种)乘坐方式,故选b.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说,解排列、组合问题常以元素(位置)为主体,即先满足特殊元素(位置),再考虑其他元素(位置).跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排,若产品a与产品b相邻,且产品a与产品c不相邻,则不同的摆法有_种.答案36解析将产品a与b捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有aa种方法,将产品a,b,c捆绑在一起,且a在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有aa种方法.于是符合题意的摆法共有aaaa36(种).(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人,副队长1人,普通队员2人组成4人服务队,要求服务队中至少有1名女生,则共有_种不同的选法.(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时,先选1名女生,有c种方法;再选3名男生,有c种方法;然后排队长、副队长位置,有a种方法.由分步乘法计数原理知,共有cca480(种)选法.有2名女生时,再选2名男生,有c种方法;然后排队长、副队长位置,有a种方法.由分步乘法计数原理知,共有ca180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知,共有480180660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件,共有ac种不同的选法,而没有女生的选法有ac种,故至少有1名女生的选法有acac840180660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“chinadream”,其中china又可以简写为cn,从“cndream”中取6个不同的字母排成一排,含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()a.360种b.480种c.600种d.720种答案c解析从其他5个字母中任取4个,然后与“ea”进行全排列,共有ca600(种),故选c.2.有七名同学站成一排照毕业纪念照,其中甲必须站在正中间,并且乙、丙两位同学要站在一起,则不同的站法有()a.240种b.192种c.96种d.48种答案b解析当丙和乙在甲的左侧时,共有acaa96(种)排列方法,同理,当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法,所以共有192种排列方法.3.某小区有排成一排的7个车位,现有3辆不同型号的车需要停放,如果要求剩余的4个车位连在一起,那么不同的停放方法的种数为()a.16b.18c.24d.32答案c解析将4个车位捆绑在一起,看成一个元素,先排3辆不同型号的车,在3个车位上任意排列,有a6(种)排法,再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中,有4种方法,故共有4624(种)方法.4.(2020昆明质检)互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排,要求红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法()a.a种b.a种c.aa种d.ccaa种答案d解析红色菊花摆放在正中间,白色菊花不相邻,黄色菊花也不相邻,即红色菊花两边各一盆白色菊花,一盆黄色菊花,共有ccaa种摆放方法.5.(2020临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开,会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含a,b两市代表团)安排至a,b,c三家宾馆入住,规定同一个代表团人员住同一家宾馆,且每家宾馆至少有一个代表团入住,若a,b两市代表团必须安排在a宾馆入住,则不同的安排种数为()a.6b.12c.16d.18答案b解析如果仅有a,b入住a宾馆,则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆,此时共有ca6(种)安排数,如果有a,b及其余一个代表团入住a宾馆,则余下两个代表团入住b,c,此时共有ca6(种)安排数,综上,共有不同的安排种数为12.6.(2019山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯,晚上用时只亮三盏灯,且任意两盏亮灯不相邻,则不同的开灯方案共有()a.60种b.20种c.10种d.8种答案c解析根据题意,可分为两步:第一步,先安排四盏不亮的路灯,有1种情况;第二步,四盏不亮的路灯排好后,有5个空位,在5个空位中任意选3个,插入三盏亮的路灯,有c10(种)情况.故不同的开灯方案共有10110(种).7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上,若快车a不能停在第3道上,货车b不能停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法数为()a.56b.63c.72d.78答案d解析若没有限制,5列火车可以随便停,则有a种不同的停靠方法;快车a停在第3道上,则5列火车不同的停靠方法为a种;货车b停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为a种;快车a停在第3道上,且货车b停在第1道上,则5列火车不同的停靠方法为a种,故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为a2aa12048678.8.(2020沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人,身穿蓝色衣服的有一人,现将这五人排成一行,要求穿相同颜色衣服的人不能相邻,则不同的排法种数共有()a.24种b.28种c.36种d.48种答案d解析分类加法计数原理,按红红之间有蓝无蓝两类来分.(1)当红红之间有蓝时,则有aa24(种).(2)当红红之间无蓝时,则有cacc24(种);因此,这五个人排成一行,穿相同颜色衣服的人不能相邻,则有48种排法.9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了,则可能出现的错误方法共有_种.(用数字作答)答案11解析把g,o,o,d4个字母排一列,可分两步进行,第一步:排g和d,共有a种排法;第二步:排两个o,共1种排法,所以总的排法种数为a12.其中正确的有一种,所以错误的共有a112111(种).10.(2020太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言,若甲、乙都被选中,且他们发言中间恰好间隔一人,那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人,安排在甲乙中间,有ca12(种),把这三个人看成一个整体,与从剩下的五人中选出的一个人全排列,有ca10(种),故不同的发言顺序共有1210120(种).11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序,若第一个节目只能排相声甲或相声乙,最后一个节目不能排相声甲,则不同的排法有_种.答案1320解析若第一个节目排相声甲,有a720(种)排法;若第一个节目排相声乙,最后一个节目不能排相声甲,有aa600(种)排法.根据分类加法计数原理可得共有7206001320(种)排法.12.(2019北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队,每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车,并且每个车队至少抽调1辆,那么共有_种不同的抽调方法.答案84解析方法一在每个车队抽调1辆车的基础上,还需抽调3辆车.可分为三类:一类是从某1个车队抽调3辆,有c种;一类是从2个车队中抽调,其中1个车队抽调1辆,另1个车队抽调2辆,有a种;一类是从3个车队中各抽调1辆;有c种.故共有cac84(种)抽调方法.方法二由于每个车队的车辆均多于4辆,只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排,在相互之间的9个空当中插入6个隔板,即可将小球分成7份,故共有c84(种)抽调方法.13.(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作,每人至少完成1项,每项工作由1人完成,则不同的安排方式共有()a.12种b.18种c.24种d.36种答案d解析由题意可知,其中1人必须完成2项工作,其他2人各完成1项工作,可得安排方式为cca36(种),或列式为ccc3236(种).14.某宾馆安排a,b,c,d,e五人入住3个房间,每个房间至少住1人,且a,b不能住同一房间,则共有_种不同的安排方法.(用数字作答)答案114解析5个人住3个房间,每个房间至少住1人,则有(3,1,1)和(2,2,1)两种,当为(3,1,1)时,有ca60(种),a,b住同一房间有ca18(种),故有601842(种),当为(2,2,1)时,有a90(种),
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