2021高考数学一轮复习 第十章 计数原理 10.2 排列、组合教学案 理 新人教A版

10.2排列、组合最新考纲考情考向分析1.理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.2.理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.1.以实际问题为背景，考查排列数、组合数，同时考查分类讨论的思想及解决问题的能力.2.以选择、填空的形式考查，或在解答题中和概率相结合进行考查.1.排列与组合的概念名称定义区别排列从n个不同元素中取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列排列有序，组合无序组合合成一组2.排列数与组合数定义计算公式性质联系排列数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.用符号“a”表示an(n1)(n2)(nm1)(n，mn*，且mn)(1)an！；(2)0！1c组合数从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号“c”表示c(n，mn*，且mn)(1)cc1；(2)cc；(3)ccc概念方法微思考1.排列问题和组合问题的区别是什么？提示元素之间与顺序有关的为排列，与顺序无关的为组合.2.排列数与组合数公式之间有何关系？它们的公式都有两种形式，如何选择使用？提示(1)排列数与组合数之间的联系为caa.(2)两种形式分别为：连乘积形式；阶乘形式.前者多用于数字计算，后者多用于含有字母的排列数式子的变形与论证.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同.()(3)若组合式cc，则xm成立.()(4)排列定义规定给出的n个元素各不相同，并且只研究被取出的元素也各不相同的情况.也就是说，如果某个元素已被取出，则这个元素就不再取了.()题组二教材改编2.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()a.144b.120c.72d.24答案d解析“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为a43224.3.用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()a.8b.24c.48d.120答案c解析末位数字排法有a种，其他位置排法有a种，共有aa48(种)排法，所以偶数的个数为48.4.从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是_.答案24解析从4本书中选3本有c4(种)选法，把选出的3本送给3名同学，有a6(种)送法，所以不同的送法有ca4624(种).题组三易错自纠5.六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()a.192种b.216种c.240种d.288种答案b解析第一类：甲在最左端，有a54321120(种)排法；第二类：乙在最左端，甲不在最右端，有4a4432196(种)排法.所以共有12096216(种)排法.6.某校开设a类选修课3门，b类选修课4门，一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法种数为_.答案30解析分两种情况：(1)a类选修课选1门，b类选修课选2门，有cc种不同的选法；(2)a类选修课选2门，b类选修课选1门，有cc种不同的选法.所以不同的选法共有cccc181230(种).排列问题1.用1,2,3,4,5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有()a.96个b.78个c.72个d.64个答案b解析根据题意知，要求这个五位数比20000大，则万位数必须是2,3,4,5这4个数字中的一个，当万位数是3时，百位数不是数字3，符合要求的五位数有a24(个)；当万位数是2,4,5时，由于百位数不能是数字3，则符合要求的五位数有3(aa)54(个)，因此共有542478(个)这样的五位数符合要求.故选b.2.(2020惠州调研)七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数是()a.3600b.1440c.4820d.4800答案a解析除甲乙外，其余5个人排列数为a种，再用甲乙去插6个空位有a种，不同的排法种数是aa3600(种).3.3名女生和5名男生站成一排，其中女生排在一起的排法种数是_.答案4320解析3名女生排在一起，有a种排法，把3名女生看作一个整体再与5名男生全排列有a种排法，故共有aa4320(种)不同排法.思维升华 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法和元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)常见排列数的求法为：相邻问题采用“捆绑法”.不相邻问题采用“插空法”.有限制元素采用“优先法”.特殊顺序问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.组合问题1.(2018全国)从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种.(用数字填写答案)答案16解析方法一按参加的女生人数可分两类：只有1位女生参加有cc种，有2位女生参加有cc种.故所求选法共有cccc26416(种).方法二间接法：从2位女生，4位男生中选3人，共有c种情况，没有女生参加的情况有c种，故所求选法共有cc20416(种).2.(2019衡水中学调研)为了应对美欧等国的经济制裁，俄罗斯天然气公司决定从10名办公室工作人员中裁去4人，要求甲、乙二人不能全部裁去，则不同的裁员方案的种数为_.答案182解析甲、乙中裁一人的方案有cc种，甲、乙都不裁的方案有c种，故不同的裁员方案共有ccc182(种).3.从7名男生，5名女生中选取5人，至少有2名女生入选的种数为_.答案596解析“至少有2名女生”的反面是“只有一名女生或没有女生”，故可用间接法，所以有cccc596(种).思维升华组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.排列与组合的综合问题命题点1相邻问题例1(2019怀化模拟)北京apec峰会期间，有2位女性和3位男性共5位领导人站成一排照相，则女性领导人甲不在两端，3位男性领导人中有且只有2位相邻的站法有()a.12种b.24种c.48种d.96种答案c解析从3位男性领导人中任取2人“捆”在一起记作a，a共有ca6(种)不同排法，剩下1位男性领导人记作b,2位女性分别记作甲、乙；则女领导人甲必须在a，b之间，此时共有6212(种)排法(a左b右和a右b左)，最后再在排好的三个元素中选出四个位置插入乙，共有12448(种)不同排法.命题点2相间问题例2某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()a.72b.120c.144d.168答案b解析安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”.对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有aca36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有aa48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法.命题点3特殊元素(位置)问题例3大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在.某城市关系要好的a，b，c，d四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中a家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有()a.18种b.24种c.36种d.48种答案b解析根据题意，分两种情况讨论：a家庭的孪生姐妹在甲车上，甲车上另外的两个孩子要来自不同的家庭，可以在剩下的三个家庭中任选2个，再从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有ccc12(种)乘坐方式；a家庭的孪生姐妹不在甲车上，需要在剩下的三个家庭中任选1个，让其2个孩子都在甲车上，对于剩余的两个家庭，从每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲车，有ccc12(种)乘坐方式，故共有121224(种)乘坐方式，故选b.思维升华解排列、组合问题要遵循的两个原则(1)按元素(位置)的性质进行分类.(2)按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位置)，再考虑其他元素(位置).跟踪训练(1)把5件不同的产品摆成一排，若产品a与产品b相邻，且产品a与产品c不相邻，则不同的摆法有_种.答案36解析将产品a与b捆绑在一起，然后与其他三种产品进行全排列，共有aa种方法，将产品a，b，c捆绑在一起，且a在中间，然后与其他两种产品进行全排列，共有aa种方法.于是符合题意的摆法共有aaaa36(种).(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，则共有_种不同的选法.(用数字作答)答案660解析方法一只有1名女生时，先选1名女生，有c种方法；再选3名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法.由分步乘法计数原理知，共有cca480(种)选法.有2名女生时，再选2名男生，有c种方法；然后排队长、副队长位置，有a种方法.由分步乘法计数原理知，共有ca180(种)选法.所以依据分类加法计数原理知，共有480180660(种)不同的选法.方法二不考虑限制条件，共有ac种不同的选法，而没有女生的选法有ac种，故至少有1名女生的选法有acac840180660(种).1.“中国梦”的英文翻译为“chinadream”，其中china又可以简写为cn，从“cndream”中取6个不同的字母排成一排，含有“ea”字母组合(顺序不变)的不同排列共有()a.360种b.480种c.600种d.720种答案c解析从其他5个字母中任取4个，然后与“ea”进行全排列，共有ca600(种)，故选c.2.有七名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有()a.240种b.192种c.96种d.48种答案b解析当丙和乙在甲的左侧时，共有acaa96(种)排列方法，同理，当丙和乙在甲的右侧时也有96种排列方法，所以共有192种排列方法.3.某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()a.16b.18c.24d.32答案c解析将4个车位捆绑在一起，看成一个元素，先排3辆不同型号的车，在3个车位上任意排列，有a6(种)排法，再将捆绑在一起的4个车位插入4个空档中，有4种方法，故共有4624(种)方法.4.(2020昆明质检)互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法()a.a种b.a种c.aa种d.ccaa种答案d解析红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，即红色菊花两边各一盆白色菊花，一盆黄色菊花，共有ccaa种摆放方法.5.(2020临川一中月考)十三届全国人大二次会议于2019年3月5日至15日在北京召开，会议期间工作人员将其中的5个代表团人员(含a，b两市代表团)安排至a，b，c三家宾馆入住，规定同一个代表团人员住同一家宾馆，且每家宾馆至少有一个代表团入住，若a，b两市代表团必须安排在a宾馆入住，则不同的安排种数为()a.6b.12c.16d.18答案b解析如果仅有a，b入住a宾馆，则余下三个代表团必有2个入住同一个宾馆，此时共有ca6(种)安排数，如果有a，b及其余一个代表团入住a宾馆，则余下两个代表团入住b，c，此时共有ca6(种)安排数，综上，共有不同的安排种数为12.6.(2019山东临沂重点中学模拟)马路上有七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案共有()a.60种b.20种c.10种d.8种答案c解析根据题意，可分为两步：第一步，先安排四盏不亮的路灯，有1种情况；第二步，四盏不亮的路灯排好后，有5个空位，在5个空位中任意选3个，插入三盏亮的路灯，有c10(种)情况.故不同的开灯方案共有10110(种).7.有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车a不能停在第3道上，货车b不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为()a.56b.63c.72d.78答案d解析若没有限制，5列火车可以随便停，则有a种不同的停靠方法；快车a停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为a种；货车b停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为a种；快车a停在第3道上，且货车b停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为a种，故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为a2aa12048678.8.(2020沧州七校联考)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数共有()a.24种b.28种c.36种d.48种答案d解析分类加法计数原理，按红红之间有蓝无蓝两类来分.(1)当红红之间有蓝时，则有aa24(种).(2)当红红之间无蓝时，则有cacc24(种)；因此，这五个人排成一行，穿相同颜色衣服的人不能相邻，则有48种排法.9.若把英语单词“good”的字母顺序写错了，则可能出现的错误方法共有_种.(用数字作答)答案11解析把g，o，o，d4个字母排一列，可分两步进行，第一步：排g和d，共有a种排法；第二步：排两个o，共1种排法，所以总的排法种数为a12.其中正确的有一种，所以错误的共有a112111(种).10.(2020太原模拟)要从甲、乙等8人中选4人在座谈会上发言，若甲、乙都被选中，且他们发言中间恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有_种.(用数字作答)答案120解析先从除了甲、乙以外的6人中选一人，安排在甲乙中间，有ca12(种)，把这三个人看成一个整体，与从剩下的五人中选出的一个人全排列，有ca10(种)，故不同的发言顺序共有1210120(种).11.某校2020年元旦晚会对2个相声节目和5个小品节目安排演出顺序，若第一个节目只能排相声甲或相声乙，最后一个节目不能排相声甲，则不同的排法有_种.答案1320解析若第一个节目排相声甲，有a720(种)排法；若第一个节目排相声乙，最后一个节目不能排相声甲，有aa600(种)排法.根据分类加法计数原理可得共有7206001320(种)排法.12.(2019北京海淀区模拟)某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆.现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有_种不同的抽调方法.答案84解析方法一在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车.可分为三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有c种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有a种；一类是从3个车队中各抽调1辆；有c种.故共有cac84(种)抽调方法.方法二由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份.可看作将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份，故共有c84(种)抽调方法.13.(2017全国)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()a.12种b.18种c.24种d.36种答案d解析由题意可知，其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为cca36(种)，或列式为ccc3236(种).14.某宾馆安排a，b，c，d，e五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且a，b不能住同一房间，则共有_种不同的安排方法.(用数字作答)答案114解析5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3,1，1)和(2,2,1)两种，当为(3,1,1)时，有ca60(种)，a，b住同一房间有ca18(种)，故有601842(种)，当为(2,2,1)时，有a90(种)，