中考数学全程复习方略 第十八讲 等腰三角形 直角三角形课件

第十八讲等腰三角形、直角三角形,考点一等腰(等边)三角形的性质与判定【主干必备】1.等腰三角形,两边,底边,上的中线(或底边上的高或顶角平分,线)所在的直线,相等,等边对等角,平分线,高,相等,等角对等边,2.等边三角形,三边,相等,60,三,相等,等腰,【微点警示】(1)注意等腰三角形边的分类讨论:已知等腰三角形的两条边时,此两边可能是一底边一腰,也可能是两个腰,但要符合三角形的三边关系.,(2)注意等腰三角形角的分类讨论:已知等腰三角形的一个角时,若此角90,则它是顶角;若此角90,则它可能是顶角,也可能是底角.,【核心突破】例1(2019重庆中考a卷)如图,在abc中,ab=ac,d是bc边上的中点,连接ad,be平分abc交ac于点e,过点e作efbc交ab于点f.(1)若c=36,求bad的度数.(2)求证:fb=fe.,【思路点拨】(1)利用等腰三角形的性质求出abc,再利用等腰三角形的三线合一的性质证明adb=90,即可解决问题.(2)先证明fbe=feb,再利用“等角对等边”解决问题.,【自主解答】略,【明技法】等腰三角形中的分类讨论1.已知等腰三角形的两边(a,b),求周长(c)时,分两种情况:(1)若a为腰,b为底时,则周长c=2a+b.(2)若b为腰,a为底时,则周长c=2b+a.,2.已知等腰三角形的周长(c)和一边(a),求另一边时,分两种情况:(1)若已知边(a)为腰:则第三边为c-2a;(2)若已知边(a)为底:则另两边为(c-a).,【题组过关】1.(2019驻马店正阳模拟)如图,在abc中,ab=ac,若以点b为圆心,bc长为半径作弧,交ac于点e,则下列结论一定正确的是()a.ae=beb.be是abc的平分线c.bac=ebcd.ae=bc,c,2.(2019襄阳模拟)如图,abc是等边三角形,debc,若ab=5,bd=3,则ade的周长为()a.2b.6c.9d.15,b,3.(易错警示题)(2019兰州中考)在abc中,ab=ac,a=40,则b=_.世纪金榜导学号,70,4.(2019武汉江汉区期末)如图,在abc中,bo平分abc,co平分acb,mn经过点o,与ab,ac相交于点m,n,且mnbc.若ab=7,ac=6,那么amn的周长是_.,13,5.(2019温州鹿城区模拟)如图,在abc中,ab=ac,cd是acb的平分线,debc,交ac于点e.世纪金榜导学号(1)求证:de=ce.(2)若cde=35,求a的度数.略,考点二线段的垂直平分线的性质与判定【主干必备】1.定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线.2.性质:线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_.,相等,3.判定:与一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的_上.,垂直平分线,【微点警示】(1)用定义判定线段垂直平分线的两个条件:一是垂直,二是平分.(2)用判定方法判定线段垂直平分线的必备:证明有两点在线段的垂直平分线上,才能“根据两点确定一条直线”得到线段的垂直平分线.,【核心突破】例2(2019长沙中考)如图,在rtabc中,c=90,b=30,分别以点a和点b为圆心,大于ab的长为半径作弧,两弧相交于m,n两点,作直线mn,交bc于点d,连接ad,则cad的度数是()a.20b.30c.45d.60,b,【明技法】线段垂直平分线的应用特征(1)线段垂直平分线中的两组相等线段.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等;被垂直平分的线段,被分为两条相等线段.,(2)证题时,经常把垂直平分线上的点和线段的端点连接起来,利用垂直平分线上的点和线段两端点的距离相等来证题.,【题组过关】1.(2019南充中考)如图,在abc中,ab的垂直平分线交ab于点d,交bc于点e,若bc=6,ac=5,则ace的周长为()a.8b.11c.16d.17,b,2.如图,已知线段ab,分别以a,b为圆心,大于ab为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点c,使得cab=25,延长ac至点m,则bcm的度数为_.,50,3.(2019淮安模拟)如图,在abc中,边ab,ac的垂直平分线ed,gf分别交ab,ac于点e,g,交bc于点d,f,连接ad,af,若daf=40,求bac的度数.世纪金榜导学号略,考点三直角三角形的性质与判定【主干必备】,互余,一半,一半,直角,互余,【微点警示】(1)一条边等于另一条边的一半且有30角的三角形:直角三角形;一条直角边等于斜边的一半,缺一不可.(2)一条边上的中线等于这条边的一半的三角形:这个三角形一定是直角三角形.,【核心突破】例3(1)(2018淄博中考)如图,在rtabc中,cm平分acb交ab于点m,过点m作mnbc交ac于点n,且mn平分amc,若an=1,则bc的长为()a.4b.6c.4d.8,b,(2)(2018徐州中考)如图,rtabc中,abc=90,d为ac的中点,若c=55,则abd=_.,35,【明技法】直角三角形性质的四个应用1.在一个题目中,若直角三角形较多,可考虑利用等面积的方法求线段的长度.2.可利用直角三角形两锐角互余,根据同(等)角的余角相等证明两个锐角相等.,3.在直角三角形中,有30锐角可考虑30角所对直角边等于斜边的一半.4.在直角三角形中,若有斜边中点,可考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.,【题组过关】1.某商场一楼与二楼之间的手扶电梯如图所示.其中ab,cd分别表示一楼、二楼地面的水平线,abc=150,bc的长是8m,则乘电梯从点b到点c上升的高度h是(),d,a.4mb.8mc.md.4m,2.如图,abc中,ab=ac=13,bc=10,ad平分bac交bc于点d,点e为ac的中点,连接de,则cde的周长为()a.16.5b.18c.23d.26,b,3.(2019黄石中考)如图,在abc中,b=50,cdab于点d,bcd和bdc的平分线相交于点e,f为边ac的中点,cd=cf,则acd+ced=()世纪金榜导学号a.125b.145c.175d.190,c,考点四勾股定理及其逆定理【主干必备】1.勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么_.2.勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足_,那么这个三角形是直角三角形.,a2+b2=c2,a2+b2=c2,【微点警示】(1)勾股定理应用的前提:只能在同一个直角三角形中,才能运用该定理求边长.,(2)勾股定理的几种变式:在rtabc中,c=90,a,b,c的对边分别为a,b,c,则a2=c2-b2=(c+b)(c-b),b2=c2-a2=(c+a)(c-a),.,【核心突破】例4【原型题】(2018黄冈中考)如图,在rtabc中,acb=90,cd为ab边上的高,ce为ab边上的中线,ad=2,ce=5,则cd=()a.2b.3c.4d.2,c,【变形题】(变换结论)如图,在rtabc中,acb=90,cd为ab边上的高,ce为ab边上的中线,ad=2,ce=5,则bc=_.,例5【原型题】(2018东营中考)如图所示,圆柱的高ab=3,底面直径bc=3,现有一只蚂蚁想从a处沿圆柱表面爬到对角c处捕食,则它爬行的最短距离是(),c,【变形题】(变换条件)没有上盖的圆柱盒高为10cm,底面周长为32cm,点a距离下底面3cm.一只位于圆柱盒外表面点a处的蚂蚁想爬到盒内表面对侧中点b处捕食,则它爬行的最短距离是_cm.,20,例6(2018杭州中考)折叠矩形纸片abcd时,发现可以进行如下操作:把ade翻折,点a落在dc边上的点f处,折痕为de,点e在ab边上;把纸片展开并铺平;把cdg翻折,点c落在线段ae上的点h处,折痕为dg,点g在bc边上,若ab=ad+2,eh=1,则ad=_.,【思路点拨】设ad=x,则ab=x+2,利用折叠的性质得df=ad,ea=ef,dfe=a=90,则可判断四边形aefd为正方形,所以ae=ad=x,再根据折叠的性质得dh=dc=x+2,则ah=ae-he=x-1,然后根据勾股定理得到x2+(x-1)2=(x+2)2,再解方程求出x即可.,【明技法】勾股定理常见的应用与技巧1.已知直角三角形的任意两个边长,可直接利用勾股定理求得第三条边长.2.立体图形表面的最短路径问题,可将立体图形展开,构造直角三角形后利用勾股定理求解.,3.折叠问题中求解线段长度问题,常常将某些条件汇集到一个直角三角形中,再根据勾股定理列方程求解.,【题组过关】1.(2019洛阳洛龙区期中)由线段a,b,c组成的三角形不是直角三角形的是()a.a2-b2=c2,d,d.abc=345,2.(传统数学文化题)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅弦图,后人称其为“赵爽弦图”,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,如图,若其中ae=5,be=12,则ef的长是_.世纪金榜导学号,3.(2019宿迁中考)如图,man=60,若abc的顶点b在射线am上,且ab=2,点c在射线an上运动,当abc是锐角三角形时,bc的取值范围是_.,4.(2019巴中中考)如图,等腰直角三角板如图放置.直角顶点c在直线m上,分别过点a,b作ae直线m于点e,bd直线m于点d.世纪金榜导学号(1)求证:ec=bd.(2)若设aec三边分别为a,b,c,利用此图证明勾股定理.,【解析】(1)acb=90,ace+bcd=90.ace+cae=90,cae=bcd.在aec与cdb中,caebcd(aas).ec=bd.,(2)略,考点五命题与定理【主干必备】1.真假命题:如果题设成立,结论_的命题叫真命题;如果题设成立,不能保证结论_的命题叫假命题.,一定成立,一定成立,2.互逆命题:如果两个命题的_和_正好相反,我们把这样的两个命题叫做互逆命题,如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的_.,题设,结论,逆命,题,3.互逆定理:若一个定理的逆命题是正确的,那么它就是这个定理的逆定理,称这两个定理为_定理.,互逆,【微点警示】(1)命题与定理的关系:定理隶属于命题,是真命题中的一种.(2)命题与定理的互逆:所有命题都有逆命题,但并不是所有定理都有逆定理,只有原命题正确并且其逆命题也正确的才是互逆定理.,【核心突破】例7(2019衡阳中考)下列命题是假命题的是()a.n边形(n3)的外角和是360b.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等c.相等的角是对顶角d.矩形的对角线互相平分且相等,c,【明技法】判断命题真假的方法只有对一件事情作出判断的语句才是命题,其中正确的命题是真命题,错误的命题是假命题.对于命题的真假(正误)判断问题,一般只需根据熟记的定义、公式、性质、判定定理等相关内容直接作出判断即可,有的则需要经过必要的推理与计算才能进一步确定真与假.,【题组过关】1.下列命题是假命题的是()a.平行四边形既是轴对