山东省师大附中2018-2019学年高二数学上学期期中试题（含解析）

山东师大附中2018-2019学年高二（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知x0，函数的最小值是（ ）a. 2b. 4c. 6d. 8【答案】c【解析】【分析】利用基本不等式的性质即可得出【详解】解：x0，函数，当且仅当x=3时取等号，y的最小值是6故选：c【点睛】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题2.在数列中，nn*，则的值为（ ）a. 49b. 50c. 89d. 99【答案】a【解析】【分析】利用等差数列的通项公式即可得出【详解】解：a1=1，an+1-an=2（nn*），数列an是等差数列，则a25=1+2（25-1）=49故选：a【点睛】本题考查了等差数列的通项公式及性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题3.已知命题p：xr，x2+2x-30，则命题p的否定p为（ ）a. r，x2+2x-30b. xr，x2+2x-30c. r，x2+2x-30d. xr，x2+2x-30【答案】d【解析】【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：xr，x2+2x-30否定是：xr，x2+2x-30故选：d【点睛】本题考查命题的否定、特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查4.不等式x2+x-120的解集为（ ）a. (-，-4)(3，+)b. (-，-3)(4，+)c. （-4，3）d. （-3，4）【答案】c【解析】【分析】把不等式化为(x+4)(x-3)0，求出解集即可【详解】解：不等式x2+x-120可化为(x+4)(x-3)0，解得-4x3，所以不等式的解集为（-4，3）故选：c【点睛】本题考查了不等式解法与应用问题，是基础题5.已知数列an是等差数列，a5+a7+a9=18，则其前13项的和是（ ）a. 45b. 56c. 65d. 78【答案】d【解析】【分析】由等差数列的等差中项得a7=6，再由求和公式和性质可得s13=13a7即可.【详解】在等差数列an中，a5+a7+a9=18，a5+a7+a9=3a7=18，解得a7=6，该数列的前13项之和：s13=132（a1+a13）=13a7=136=78故选：d【点睛】本题考查等差数列的前n项和，利用等差数列的性质和sn的公式是解题的关键，属于基础题6.关于x的不等式axb0的解集是（2，+），则关于x的不等式(ax+b)(x3)0的解集是（ ）a. (，2)(3，+)b. （2，3）c. （2，3）d. (，2)(3，+)【答案】b【解析】【分析】由不等式axb0的解集知a0且ba=2，代入关于x的不等式（ax+b）（x3）0中求解即可【详解】关于x的不等式axb0的解集是（2，+），a0，且ba=2，则b=2a；关于x的不等式（ax+b）（x3）0，可化为（ax+2a）（x3）0，因为a0，解得x3或x-2，所求不等式的解集(-,-2)(3,+)故选：a【点睛】本题考查了一元二次不等式的解集，利用一元一次不等式的解集得到a与b的等式是关键，注意一元二次不等式的开口方向，属于基础题.7.如果ab0，那么下列不等式成立的是（ ）a. 1a1bb. abb2c. ac2abb2【答案】d【解析】对于选项a,因为ab0,1ab0，所以1aba1abb, 即1b0，所以abb2，选项b错误；对于选项c，ac2bc2=(ab)c2，当c=0 时，ac2=bc2，当c0,c20，ac20，所以a2ab，又abb2=(ab)b0，所以abb2，所以a2abb2，选d.8.若不等式x2+ax+10对任意xr恒成立，则实数a的取值范围是（ ）a. 2,+)b. (,2c. 2,2d. (,22,+)【答案】c【解析】分析：直接利用判别式不小于零列不等式求解即可.详解：因为不等式x2+ax+10对任意xr恒成立,所以，=a240，解得2a2，即实数a的取值范围是-2,2，故选c.点睛：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，属于简单题.一元二次不等式在实数集上恒成立问题，一定要注意二次项系数的符号.9.已知ar，则“a1”是“1a1”的（ ）a. 充分不必要条件b. 必要不充分条件c. 充要条件d. 既不充分又不必要条件【答案】b【解析】【分析】根据a1，不一定能得到1a1（如a=-1时）；但当1a1，一定能推出a1，从而得到答案【详解】解：由a1，不一定能得到1a1（如a=-1时）；但当1a1时，有0a1，从而一定能推出a1，则“a1”是“1a1”的必要不充分条件，故选：b【点睛】本题考查充分条件、必要条件的定义，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法10.设x0，y0，若3是9x与3y的等比中项，则xy的最大值为（ ）a. 132b. 116c. 18d. 14【答案】c【解析】【分析】先由等比中项化简得2x+y=1，进一步利用均值不等式求出结果【详解】因为x0y0，若3是9x与3y的等比中项，则：9x3y=（3）2，即：2x+y=1，由1=2x+y22xy（当且仅当2x=y=12等号成立）即xy 18 故选：c【点睛】本题考查的是由基本不等式求最大值问题，也利用了等比数列的性质，属基础题11.已知数列an的前n项和为sn，a1=1，sn+1=2sn1（nn），则a8=（ ）a. 32b. 64c. 128d. 256【答案】b【解析】【分析】由已知数列递推式构造等比数列sn-1，求其通项公式得到sn，再由a8=s8-s7求解【详解】解：由a1=2，得s1=2，又sn+1=2sn-1，sn+1-1=2(sn-1)，sn+1-1sn-1=2，即数列sn-1是以1为首项，以2为公比的等比数列，则sn-1=2n-1，则sn=2n-1+1.a8=s8-s7=27-1-26+1=26=64故选：b【点睛】本题考查数列递推式，考查利用构造法求数列的通项公式，是中档题12.设x表示不超过x的最大整数，如-3.14=-4，3.14=3已知数列an满足：a1=1，an+1=an+n+1（nn），则1a1+1a2+.+1a2018=（ ）a. 1b. 2c. 3d. 4【答案】a【解析】【分析】把已知数列递推式变形，利用累加法求数列通项公式，再由裂项相消法求和，则答案可求【详解】解：由an+1=an+n+1，得an-an-1=n（n2），又a1=1，an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+.+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+.+2+1=n(n+1)2则1an=2n(n+1)=2(1n-1n-1)1a1+1a2+.+1a2018=2(1-12+12-13+.+12018-12019)=21-12019=1故选：a【点睛】本题考查数列递推式、利用累加法求数列的通项公式以及裂项相消法求数列的前n项和，是中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.不等式x4x0的解集为_【答案】（-，0）（4，+）【解析】【分析】由分式不等式的解法得：x4-x0可变形为x（x-4）0，解得：x4或x0，得解【详解】解：x4-x0，解得m-4，故填：m-4【点睛】本题考查了方程的根和函数的零点，根与系数的关系等知识，属于基础题16.在等差数列an中，满足an0，且a4=5，则1a2+16a6的最小值为_【答案】52【解析】【分析】由等差数列的性质得：a2+a6=10，再根据基本不等式求最值.【详解】解：因为等差数列an中，满足an0，且a4=5，所以a2+a6=2a4=10且a20，a60，则1a2+16a6=110（a2+a6）(1a2+16a6)=110(17+a6a2+16a2a6)110(17+2a6a216a2a6)=52，故答案为：52【点睛】本题考查等差数列的性质及基本不等式，属中档题三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知an为等差数列，且a3=6，a6=0（1）求an的通项公式； （2）若等比数列bn满足b1=8，b2=a1+a2+a3，求数列bn的前n项和公式【答案】(1)an=2n12;(2)sn=4(13n).【解析】本试题主要是考查了等差数列的通项公式的求解和数列的前n项和的综合运用。、（1）设an公差为d，由已知得a1+2d=6a1+5d=0解得a1=10d=2（2）b2=a1+a2+a3=3a2=24，等比数列bn的公比q=b2b1=248=3利用公式得到和。【此处有视频，请去附件查看】18.已知数列an满足a1=1，an+1=anan+1（nn）（1）求a2，a3，a4的值；（2）证明：数列1an是等差数列，并求数列an的通项公式【答案】（1）a2=12，a3=13，a4=14（2）见解析【解析】【分析】（1）由已知结合数列递推式直接求得a2，a3，a4的值；（2）把原递推式变形，可得1an+1-1an=1，根据等差数列定义可证，再根据等差数列通项公式求结果【详解】解：（1）由a1=1，an+1=anan+1，得a2=a1a1+1=12，a3=a2a2+1=13，a4=a3a3+1=14；证明：（2）当nn*时，由an+1=anan+1，得1an+1-1an=an+1an-1an=1，1an是公差为1的等差数列，又1a1=1，1an=1+(n-1)1=n，则an=1n【点睛】本题考查数列递推式，考查等差关系定义以及等差数列通项公式的求法，是基础题19.已知函数f(x)=x24x+5x1（1）求不等式f(x)1的解集；（2）当x（1，+）时，求f(x)的最小值及相应x的值【答案】（1）（1，23，+）（2）f(x)的最小值为222，此时x=1+2.【解析】【分析】（1）由分式不等式的解法得结果，（2）根据基本不等式求最值.【详解】解：（1）因为f(x)1，所以x2-4x+5x-11，所以(x-2)(x-3)x-10，解得：1x2或x3，故不等式f(x)1的解集为：（1，23，+）（2）当x（1，+）时，令x-1=t，则t0，则x2-4x+5x-1=t+2t-2，又当t0时，t+2t-22t2t-2=22-2，当且仅当t=2t即t=2即x=1+2时取等号，故f(x)的最小值为22-2，此时x=1+2.【点睛】本题考查了分式不等式的解法及利用基本不等式求函数的最值，属中档题.20.已知an是等比数列，a1=2，且a1，a3+1，a4成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）若bn=（2n-1）an，求数列bn的前n项和sn【答案】（1）an=2n（2）sn=6+(2n3)2n+1【解析】分析】（1）设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得q，即可得到所求通项；（2）先化简bn，再运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和【详解】解：（1）设an的公比为q，则a3=2q2，a4=2q3，a1，a3+1，a4成等差数列，所以2（a3+1）=a1+a4，即2（2q2+1）=2+2q3，即q=2，所以an=2n；（2）bn=（2n-1）an=（2n-1）2n，前n项和sn=12+322+.+(2n-1)2n，2sn=122+323+.+(2n-1)2n+1，两式做差得-sn=2+2(22+.+2n)-(2n-1)2n+1=2+241-2n-11-2-(2n-1)2n+1，化简可得sn=6+(2n-3)2n+1【点睛】本题考查等差数列的中项性质、等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查化简运算能力，属于中档题21.已知命题p：x（-1，1），使x2xm=0成立，命题q：关于x的方程x2+（m3）x+m=0的一个根大于1，另一个根小于1（1）分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围；（2）若命题p与命题q一真一假，求实数m的取值范围【答案】（1）m1（2）1m2或m14【解析】【分析】（1）结合函数与方程的关系求出命题为真命题的等价条件即可（2）分别讨论p真q假和p假q真时，对应的范围即可【详解】解：（1）命题p为真时，方程m=x2-x在（-1，1）有解，当x（-1，1）时，x2-x-14,2)，则m-14,2)，当命题q为真时，f(x)=x2+(m-3)x+m满足f(1)0，即2m-20，所以m1（2）若命题p为真，同时命题q为假，则-14m2m1得1m2若命题p为假，同时命题q为真，则m-14或m2m1，得m-14所以当命题p与命题q一真一假时，1m2或m0的解集；（2）当a0时，若对于任意的x 3，4，f(x)0恒成立，求实数a的取值范围【答案】（1）见解析（2）a23【解析】【分析】（1）不等式化为(ax-2)(x-1)0，讨论a=0、a0和a0时，求出对应不等式的解集；（2）根据（1）得f(x)0的解集，再根据3，4与解集包含关系列不等式解得结果【详解】解：（1）不等式f(x)0化为ax2-(a+2)x+20，即(ax-2)(x-1)0，a=0时，不等式变为-2(x-1)0，解得x1； a0时，不等式变为(x-2a)(x-1)0，若a2，则2a1，解得x1或x2a， 若a=2，则2a=1，解得x1， 若0a2，则2a1，解得x2a或x1； a0时，不等式变为（x -2a）（x -1）0，解得2ax1； 综上所述