江西省吉安市重点高中2018-2019学年高二数学5月联考试题 理（含解析）

江西省吉安市重点高中2018-2019学年高二数学5月联考试题 理（含解析）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.“”是“”的（ ）a. 充分而不必要条件b. 必要而不充分条件c. 充分必要条件d. 既不充分也不必要条件【答案】a【解析】【分析】判断充分条件还是必要条件，就看由题设能否推出结论，和结论能否推出题设，本着这个原则，显然能推出，但是不一定能推出，有可能，所以可以判断“”是“”的充分不必要条件.【详解】因为由，由推不出，有可能，所以“”是“”的充分不必要条件，故本题选a.【点睛】本题考查了充分条件和必要条件的判定，解题的关键是理解掌握它们定义，对于本题正确求解不等式也很关键.2.已知复数（是虚数单位），则的实部为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】利用复数的除法运算化简复数z，从而得到其实部.【详解】，z的实部为故应选b【点睛】数的运算，难点是乘除法法则，设，则，.3.在的展开式中，的系数是（ ）a. b. c. 5d. 40【答案】a【解析】【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选a【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.4.已知向量，且，则实数（ ）a. 2b. 1c. 4d. 3【答案】d【解析】，所以，故选d。5.已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】求得函数的导数，然后令，求得的值.【详解】依题意，令得，故选d.【点睛】本小题在导数运算，考查运算求解能力，属于基础题.6.空气质量指数是一种反映和评价空气质量的方法，指数与空气质量对应如下表所示：05051100101150151200201300300以上空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某城市2018年12月全月的指数变化统计图根据统计图判断，下列结论正确的是（ ）a. 整体上看，这个月的空气质量越来越差b. 整体上看，前半月的空气质量好于后半月的空气质量c. 从数据看，前半月的方差大于后半月的方差d. 从数据看，前半月的平均值小于后半月的平均值【答案】c【解析】【分析】根据题意可得，aqi指数越高，空气质量越差；数据波动越大，方差就越大，由此逐项判断，即可得出结果.【详解】从整体上看，这个月aqi数据越来越低，故空气质量越来越好；故a，b不正确；从aqi数据来看，前半个月数据波动较大，后半个月数据波动小，比较稳定，因此前半个月的方差大于后半个月的方差，所以c正确；从aqi数据来看，前半个月数据大于后半个月数据，因此前半个月平均值大于后半个月平均值，故d不正确故选：c【点睛】本题主要考查样本的均值与方差，熟记方差与均值的意义即可，属于基础题型.7.用数学归纳法证明时，由时的假设到证明时，等式左边应添加的式子是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】因为当时，等式的左边是，所以当时，等式的左边是，多增加了，应选答案b。点睛：解答本题的关键是搞清楚当时，等式的左边的结构形式，当时，等式的左边的结构形式是，最终确定添加的项是什么，使得问题获解。8.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球。某人从篮子中随机取出两个球，记事件“取出的两个球颜色不同”，事件“取出一个红球，一个白球”，（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】试题分析：事件a的选法有种，事件b的选法有，所以。故选b。考点：条件概率点评：求条件概率，只要算出事件b和事件a的数量，然后求出它们的商即可。9.若，则的值为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】令 故答案为：d.10.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期大戴礼中“阶幻方”是由前个正整数组成的个阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如图所示）则“5阶幻方”的幻和为（ ）a. 75b. 65c. 55d. 45【答案】b【解析】【分析】计算的和，然后除以，得到“5阶幻方”的幻和.【详解】依题意“5阶幻方”的幻和为，故选b.【点睛】本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前项和公式，属于基础题.11.双曲线的左焦点为，点的坐标为，点为双曲线右支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（ ）a. b. c. 2d. 【答案】d【解析】【分析】先根据双曲线的定义求出，然后据题意周长的最小值是当三点共线，求出a的值，再求出离心率即可.【详解】由题易知双曲线的右焦点，即 ， 点p为双曲线右支上的动点，根据双曲线的定义可知 所以周长为： 当点共线时，周长最小即解得 故离心率 故选d【点睛】本题主要考查了双曲线的定义和性质，熟悉性质和图像是解题的关键，属于基础题.12.己知函数与的图像上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由已知，得到方程在上有解，构造函数，求出它的值域，得到的取值范围.【详解】若函数与的图象上存在关于轴对称的点，则方程在上有解，即在上有解，令，则，所以当时，当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得最大值，所以的值域为，所以的取值范围是，故选c.【点睛】该题考查的是有关根据两个函数图象上存在过于轴对称的点求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意关于轴对称的两点的坐标的关系式横坐标相等，纵坐标互为相反数，之后构造新函数，求函数的值域的问题，属于中档题目.二、填空题。13.已知，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据定积分几何意义得结果.【详解】因为表示半个单位圆（上半圆）的面积，所以点睛】本题考查定积分几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.14.学校要安排7位行政人员在10月1日至10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在10月1日和2日不同的安排方法共有_种（用数字作答）【答案】2400【解析】【分析】先安排好甲、乙两人，然后安排其他个人，按照分步计数原理求得总的方法数.【详解】先安排好甲、乙两人的方法数有种，然后安排其他个人的方法数有中，故总的方法数有种.【点睛】本小题在分步计数原理，考查排列数的计算，属于基础题.15.甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是_【答案】乙【解析】【分析】推导出丙是团支书，年龄从大到小是乙丙团支书，由此得到乙不是学委，故乙是班长【详解】根据甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到丙是团支书，丙的年龄比学委的大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙年龄小，得到年龄从大到小是乙丙学委，由此得到乙不是学委，故乙是班长故答案为：乙【点睛】本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，是基础题16.把不超过实数最大整数记为，则函数称作取整函数，又叫高斯函数，在上任取，则的概率为_【答案】【解析】【分析】将表示为分段函数的形式，解方程组求得的取值范围，利用几何概型概率计算公式，求得所求概率.【详解】依题意可知当时，当，当，当.综上所述，当时，符合，故概率为.【点睛】本小题主要考查取整函数的概念及运用，考查古典概型的计算，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）17.在斜中，角，所对边，成等差数列，且.（）求的值；（）已知，求的面积【答案】（）；（）【解析】【分析】（i）利用两角和与差的正弦公式、三角形内角和定理，化简题目所给已知条件，求得的值，根据边的大小求得的值.（ii）根据成等差数列，求得的值，利用余弦定理求得的值，根据三角形的面积公式求得三角形的面积.【详解】解：（）由得，所以或（舍），因为，所以或，故是锐角，（）成等差数列，且，所以,由余弦定理得：，所以，【点睛】本小题主要考查本小题主要考查利用余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查两角和与差的正弦公式，考查三角形内角和定理，属于中档题.18.设函数的图像与直线相切于点（）求，的值；（）讨论函数的单调性【答案】（1）（2）单调递减区间为,单调递增区间为.【解析】(1)根据建立关于a,b的方程.（2）由得函数单调增区间；由得函数的单调减区间.解：(1)求导得由于的图像与直线相切于点，所以，即，解得:.(2)由得：令f(x)0，解得 x-1或x3；又令f(x) 0，解得 -1x3故当x(, -1)时，f(x)是增函数，当 x(3,)时，f(x)也是增函数，但当x(-1 ，3)时，f(x)是减函数19.为了了解我市特色学校的发展状况，某调查机构得到如下统计数据：年份20142015201620172018特色学校（百个）0.300.601.001.401.70（）根据上表数据，计算与的相关系数，并说明与的线性相关性强弱（已知：，则认为与线性相关性很强；，则认为与线性相关性一般；，则认为与线性相关性较弱）；（）求关于的线性回归方程，并预测我市2019年特色学校的个数（精确到个）参考公式： ，【答案】（i）相关性很强；（ii），208个.【解析】【分析】（）求得，利用求出的值，与临界值比较即可得结论；（）结合（）根据所给的数据，利用公式求出线性回归方程的系数,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出的值，写出线性回归方程； 代入线性回归方程求出对应的的值，可预测地区2019年足球特色学校的个数.【详解】（）， ，与线性相关性很强.（） ，关于的线性回归方程是.当时，（百个），即地区2019年足球特色学校的个数为208个.【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；求得公式中所需数据；计算回归系数；写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.20.某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在，实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各50株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图记综合评分为80及以上的花苗为优质花苗（）求图中的值；（）用样本估计总体，以频率作为概率，若在，两块试验地随机抽取3棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望；（）填写下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为优质花苗与培育方法有关优质花苗非优质花苗合计甲培育法20乙培育法10合计附：下面的临界值表仅供参考0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：，其中）【答案】（）（）见解析；（）见解析【解析】【分析】（i）根据频率和为列方程，解方程求得的值.（ii）先求得优质花苗的频率也即概率，利用二项分布计算公式计算出分布列，并求得数学期望.（iii）填写好联表，然后计算出的值，由此判断出有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【详解】（），解得 （）由（）与频率分布直方图，优质花苗的频率为，即概率为06.设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，；其分布列为：0123所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望 （）结合（）与频率分布直方图，优质花苗频率为，则样本种，优质花苗的颗数为60棵，列联表如下表所示：优质花苗非优质花苗合计甲培育法203050乙培育法401050合计6040100可得.所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.【点睛】本小题主要考查频率分布直方图，考查二项分布分布列和期望的计算，考查列联表独立性检验，属于中档题.21.如图，平面平面，四边形为平行四边形，为线段的中点，点满足（）求证：直线平面；（）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（）见证明；（）【解析】【分析】（i）连接，交于点，连接，根据对应边成比例，两直线平行，证得，由此证得平面.（ii）先证明平面，以及，由此以为原点，所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，通过计算直线的方向向量和平面的法向量，来求得线面角的正弦值.【详解】（）证明：连接，交于点，连接在平行四边形中，因为，所以，又因为，即，所以，又因为平面，平面，所以直线平面 （）证明：因为，为线段的中点，所以，又因为平面平面于，平面所以平面在平行四边形中，因为，所以以为原点，分别以所在直线为轴，轴，建立空间直角坐标系，则，因为平面 设， 因为，设为平面的一个法向量则不妨设因为，设为平面的一个法向量则不妨设因为平面平面，所以，所以以为所以所以，所以所以直线与平面所成角的正弦值为【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查利用空间向量计算线面角的正弦值，属于中档题.22.已知函数，（）若在内单调递减，求实数的取值范围；（）若函数有两个极值点分别为，证明：【答案】（）（）见证明【解析】【分析】（i）先求得函数导数，根据函数在上的单调性列不等式，分离常数后利用构造函数法求得的取