线性代数-同济大学第七版

1,线性代数,副教授：黄振耀,2,课程简介,线性代数是理工类和经管类高等院校学生必修的一门重要基础,理论课程，它的基本概念、理论和方法具有较强的逻辑性、抽象性和广,泛的实用性。通过该课程的学习，使学生掌握该课程的基本理论和基本,方法，且对学生的逻辑推理能力、抽象思维能力的培养以及数学素养的,提高也具有重要的作用。这些理论、方法和能力为一些后续课程的学习,及在各个学科领域中进行理论研究和实践工作提供了必要的保证，因此,该课程历来受到各高等院校的高度重视。,根据成人的特点，在总结多年成人教育经验的基础下，对线性代,数的教学内容作了认真精选，叙述间明扼要，由潜入深、通俗易懂，,力求体现学科的系统性、科学性和实用性的要求。在本课程中主要讲解,行列式、矩阵和线性方程组这三个线性代数的基本内容。,3,主要内容,第一章行列式,第二章矩阵,第三章线性方程组,4,第一章行列式,行列式是学习线性代数的重要基础知识。初等数学中曾讲解二阶、,三阶行列式的计算，以及用这工具来解二元、三元线性方程组。,式，为此首先引入行列式的概念。,在本书研究多元线性方程组的解，以及研究矩阵性质时也要用到行列,5,第一章行列式,第一节行列式的概念,第二节行列式的性质,第三节行列式按行（列）展开,第四节行列式的计算举例,第五节克莱姆法则,主要内容,6,第一节行列式的概念,一、行列式的概念,为了更好掌握行列式的定义，我们采用数学归纳法的方法讲解行列,【定义1.1】,【例1.1】,要指出在本课程中如遇绝对值我们将会作出特别的说明。,式的定义。,一阶行列式由一个数组成，记为,7,第一节行列式的概念,表示，且规定：,其中，元素称为行列式的第行第列的元素；,称为元素的代数余子式；而是行列,【定义1.2】,二阶行列式是由个元素排成2行2列，用,素的余子式。,式中划去第行和第列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元,8,第一节行列式的概念,则二阶行列式,显然在定义中，而；,这与中学里所学的对角交叉相乘之差所得结果一致。,9,第一节行列式的概念,【例1.2】,求二阶行列式的值。,解,或,10,第一节行列式的概念,【定义1.3】,三阶行列式是由个元素排成的3行3列，用,表示，且规定：,其中：,11,第一节行列式的概念,称为的余子式，它是在三阶行列式中划去所在的行及列后,按原次序所成的二阶行列式，称为的代数余子式；为的代数,余子式。,一般地，就是三阶行列式中划去所在的第行和第列剩下,的元素按原次序构成的二阶行列式，称为元素的余子式。,称为元素的代数余子式。,12,第一节行列式的概念,【例1.3】,解由上面定义，因为,计算三阶行列式的值。,所以,13,第一节行列式的概念,从上面三阶行列式的定义可以看到：我们在计算三阶行列式时，是,用其第一行的元素乘它的代数余子式之和，而代数余子式又是由二阶行,列式构成的。用这一思想，我们可以计算四阶、五阶等更高阶的矩阵。,下面给出行列式的一般定义。,【定义1.4】,当时，假设已定义了阶,行列式，阶行列式是由个元素排成行和列组成，记为：,14,第一节行列式的概念,且规定其值为：,其中，表示元素的余子式，它是中划,去所在的第1行和第列后剩下的元素按原来的次序构成的阶,行列式。称为的代数余子式。,15,第一节行列式的概念,【例1.4】,解,计算四阶行列式,16,第一节行列式的概念,我们也可以给出每个元素的余子式和代数余子式的一般定义。,【定义1.5】,对于阶行列式，,列元素后，按原次序排列构成的阶行列式。,称为元素的余子式，称为元素的代数,余子式。其中，是中划去元素所在的行和,17,第一节行列式的概念,【例1.5】,解,求行列式的元素和的代数余子式。,所以,因为的余子式,的余子式,的代数余子式,的余子式,18,第二节行列式的性质,在上一节行列式定义,中我们看到行列式的计算是由高阶向低阶逐阶递减过程，因此行列式的,阶数越高，计算越繁。下面的行列式性质可以简化行列式的计算。,19,第二节行列式的性质,【定义1.6】,交换行列式D的行与列所得的行列式，称为D的转置行,列式，记为或。,设,则,【例1.6】,若,则,20,第二节行列式的性质,性质1,转置行列式的值等于原行列式的值，即。,在例1.6中的二个行列式的值相等，即,根据这一性质，阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开,即：,这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。,21,第二节行列式的性质,性质2,交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。,【例1.7】,交换以下行列式D的第一行和第三行，有,素（仍为D），即得，移项得，于是。,为零。,因假设D中的第行和第行对应元素相同，交换第行和第行元,22,【例1.8】,第二节行列式的性质,以上性质1和性质2可以用数学归纳法证得，在这我们省略。,行列式,（因为第一行与第三行相同）,23,第二节行列式的性质,性质3,【例1.9】,行列式,符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。,这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式,行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数，行,列式的值扩大倍。,24,第二节行列式的性质,性质4,行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。,与第行相同，于是行列式的值为零。,设第行为第行的倍，由性质3，将行提出公因子，即得第行,性质5,若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第列,的元素都是两数之和：,25,第二节行列式的性质,利用这一性质：,则等于下列两列行列式之和：,26,第二节行列式的性质,性质6,应元素上去，行列式值不变。即,把行列式某行（列）各元素的倍加到另一行（列）的对,这一性质由性质3和性质4直接得到。,利用这些性质可以简化行列式的计算。,另外我们用表示第行，表示第列。表示交换第行与第,行，表示第行乘倍；表示把第行乘倍加到第行上去。,27,【例1.10】,第二节行列式的性质,解,利用行列式性质计算行列式,下页继续,28,第二节行列式的性质,然后按行列式定义，得：,熟练以后，这几步也可以合并为：,（这里也可用）,29,第三节行列式按行（列）展开,根据行列式定义，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的,代数余子式之和。在本节中我们将这一结果加以推广。,【定理1.1】,若阶行列式中除外，第行（或列）的其余,元素都为零，那么可按第行（或列）展开为。,证明,设第行除，其余元素都为零。,30,第三节行列式按行（列）展开,现将第行和第行对换，再与第行对换，经过次,对换，含的原第行就换到第一行，行列式的值应乘，类似经,过次列对换，可将含的列变到第一列，即,因为新行列式中划去第1行划去第1列所成的余子式就是中的,（划去原第行和原第列）。,31,第三节行列式按行（列）展开,【定理1.2】（拉普拉斯展开）,的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,阶行列式等于它的任意一行（列）,或,32,证明,n阶行列式等于它的任意一行（列）,第三节行列式按行（列）展开,33,第三节行列式按行（列）展开,【定理1.3】,应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）的对,或,证明,将的第行元素换成所成的新,行列式的第行与第行相同；于是新的行列式值为零，另一方面，新行,列式可按第行展开，得：,34,第三节行列式按行（列）展开,综合定理1.2和定理1.3，得：,也就是行列式的任意一行（列）各元素与这一行（列）的对应元,素的代数余子式乘积之和等于行列式的值；行列式的任意一行（列）,各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。,利用行列式性质将某行（列）的元素尽可能化为零，然后展开，可,简化行列式的计算。,或,35,第三节行列式按行（列）展开,【例1.11】,解1,从第三列着手，再变出一个零元素。,计算行列式,首先寻找含零个数最多的行或列。本题第3列含两个零，于是,（按第3列展开得）,（再按第3列展开得）,下页继续,36,第三节行列式按行（列）展开,解2,是用第4行减第1行也可同时出现3个零，然后按第4行展开，既得：,本题也可以这样解：第4行与第1行有三个对应元素相同，于,37,第三节行列式按行（列）展开,【例1.12】,解,的系数。,行列式是关于的一次多项式，求一次项,由于行列式中在其第二行，按第二行展开，可得：,可以看到，一次项的系数就是的代数余子式,38,第三节行列式按行（列）展开,【例1.13】,计算行列式的值,解,（按第4行展开得）,（按第3列展开得）,39,第四节行列式的计算举例,本节主要对有某些特殊的行列式的计算进行介绍。,我们把阶行列式的从左上角到右下角含的连线称为,主对角线。,40,第四节行列式的计算举例,一、对角行列式,其中，除主对角线上的元素外，其余省略的元,素皆为零。,显然：,即对角行列式的值等于主对角线上元素之积。,对角行列式等于零的充要条件为对角线上至少有一个元素为零。,41,第四节行列式的计算举例,【例1.14】,计算行列式(没写出的元素皆为零),解经过次列交换，可将最后一列换到第1列。,42,二、三角行列式,上三角行列式,第四节行列式的计算举例,下三角行列式,43,很容易得出三角行列式的值仍等于主对角线元素的积。,第四节行列式的计算举例,如行列式就是一个上三角行列式，,其值等于。,44,一般行列式计算都可采用化为上（下）三角行列式来计算。,第四节行列式的计算举例,【例1.15】,计算行列式,解因为每行各元素之和相等（为6），我们可以“统加”，即多次用,的性质。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列,加到第1列，得,45,第四节行列式的计算举例,【例1.16】,解从第2列起，每列加到第1列上，得,解阶行列式,（从第2行起每行减去第1行得）,46,第四节行列式的计算举例,【例1.17】,解从第2行起，每行减去第1行，得,解阶行列式方程,于是：,解得：,47,第四节行列式的计算举例,【例1.18】,解将各列加到第一列,得,计算阶行列式,48,第四节行列式的计算举例,第1列提取公因子。从第2行起，每行减去第1行，得,49,三、按行或列展开,解按第1列展开，得,第四节行列式的计算举例,有些行列式不易变成某行（列）只有一个非零元素，例如变成两个,非零元素，则行列式值等于这两个元素与对应代数余子式积的和。,【例1.19】,计算阶行列式,50,四、采用递推方式来解行列式,解按最后一列展开，得,第四节行列式的计算举例,【例1.20】,计算下列阶行列式,同样推理可得:,于是,51,第四节行列式的计算举例,【例1.21】,计算下列阶行列式,(没写出的元素皆为零),下页继续,52,第四节行列式的计算举例,解按第1行展开，得,两个行列式分别再按最后一行展开，得,同样推理可得,于是,53,第四节行列式的计算举例,【例1.22】,解从第一列提取公因子，然后把第1列加到第2列，得,计算阶行列式,下页继续,54,第四节行列式的计算举例,第二列提取公因子后，按第1行展开，得,55,五、范德蒙行列式,第四节行列式的计算举例,行列式称为阶的,范德蒙行列式,下面我们来计算此行列式的值,56,第四节行列式的计算举例,解此题自下而上，即从第行开始，后行减去前行的倍。即得,分别按各列提取公因子，得：,57,同理可推得,第四节行列式的计算举例,其中，符号表示统乘，即各之间用乘号链接。,可以看到：范德蒙行列式为零的充分必要条件为中至少有,两个相等。,58,【例1.23】,第四节行列式的计算举例,计算行列式,解,59,第四节行列式的计算举例,【例1.24】,求证：,证明等式左边各行分别乘：,（提因子）,（三次列对换）,60,综合以上例题，行列式的计算可以按以下步骤来进行：,首先尽量寻找行与列的公因子,将其提到行列式外面.如果发现行列,第四节行列式的计算举例,然后利用性质总能将行列式变换成上三角或者下三角行列式,再计,或者利用性质将行列式的某行(某列)变换成只有一个元素不为0,其,式有两行或者两列成比例,则行列式的值为0。,算其对角线上的乘积。,其余元素均为0,然后再按那行(列)展开,降阶成低阶的行列式。,61,第五节克莱姆法则,一、用行列式表示二元及三元线性方程组的解,二元线性方程组,用二阶行列式可表示为，,若，可用消元法解得,62,其中：为二元线性方程组中未知数的系数构成,第五节克莱姆法则,的行列式；,为用常数项代替中的第一列；,为用常数项代替中的第二列。,63,【例1.4】,解二元线性方程组,第五节克莱姆法则,解可用二阶行列式得,64,第五节克莱姆法则,对于三元线性方程组同样可以由消元法得到;,当时，,其中：,65,第五节克莱姆法则,用三阶行列式表示以上的，可以得到：,当时，有,其中：,66,【例1.5】,第五节克莱姆法则,解线性方程组,解,故,67,【定理1.4】（克莱姆法则）,第五节克莱姆法则,如果元并非齐次线性方程组,（1）,的系数行列式，则方程组有唯一解，且,其中，是将中的第列用常数列替换而成的行列式。,二、克莱姆法则,以上用行列式解线性方程组可以推广为n元线性方程组情形。,68,【例1.25】,第五节克莱姆法则,解,解线性方程组,故,69,第五节克莱姆法则,线性方程组（1）中等式右端常数均为零时，称为n元齐次线性方程,组，也称为n元非齐次线性方程组（1）导出组。,由克莱姆法则，若系数行列式，则n元齐次线性方程组（2）,只有零解：,要方程组有非零解（即至少有某个），必须有。,关于解线性方程组的问题，我们在第三章还要祥细介绍。,70,【例1.26】,第五节克莱姆法则,解由于非齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行列式为零，即,设线性方程组有非零解，求的值。,71,第二章矩阵,矩阵是应用非常广泛的数学工具，也是线性代数的主要研究对象之,一。,运用矩阵的运算法则，会用伴随矩阵法求逆矩阵，熟练掌握矩阵的初等,行变换，以及运用初等行变换法求逆矩阵。,通过本章学习，要求掌握矩阵及其各种特殊类型矩阵的定义，熟练,72,第三节逆矩阵,第二章矩阵,第一节矩阵的概念,第二节矩阵的运算及其性质,第四节分块矩阵及其运算,第五节矩阵的初等变换,第六节初等方阵,主要内容,73,第一节矩阵的概念,一、矩阵的定义,矩阵作为一种常用的数学工具，能够简洁地贮存信息，通过矩阵运,【例2.1】,算，可以方便地处理信息，下面通过实际例子引入矩阵的概念。,某超市公司的第I、II两部门都销售甲、乙、丙三种小,包装食品，其某一天的销售量（单位：包）可由下表表示：,74,第一节矩阵的概念,如果我们每一天都做这样的统计，就没必要像上表那样繁琐，只要,把以上数字按一定的排列次序记成如下数表形式：,75,第一节矩阵的概念,简洁地表示出来。无论是在数值求解还是理论推导方面，此数表足以清,【例2.2】,晰表示这一线性方程组。,对于线性方程组,我们可以用下面的数表,76,一般由大写字母A,B,C表示矩阵。,由上两例可以看到，在我们生命活动中的许多方面，都可以用数表,第一节矩阵的概念,1矩阵定义,来表达一些量以及量与量之间的关系。这类数表，我们统称为矩阵。,【定义2.1】,由个数排成的行,称为一个m行n列矩阵，简称mn的矩阵，称为此矩阵的第行第,列的元素。,矩阵（2.1）也可简化为：,77,即,第一节矩阵的概念,【例2.3】,是一个三行四列矩阵，,位于矩阵第二行第三列位置的元素是9，,而,78,第一节矩阵的概念,2矩阵相等,另外，行数或列数不同的矩阵也不是相等的。,即，则称矩阵A与B相等，记为：,例如，当且仅当时，矩阵,又如：,79,第一节矩阵的概念,3阶方阵,当矩阵的行数与列数相等，即时，矩阵称为,阶矩阵或阶方阵，如矩阵是一个二阶方阵。,阶方阵与阶行列式是不能混淆的两个概念，行列式的值是,在一个阶方阵中，从左上角到右下角的对角线连线，称为主,对角线。元素都在主对角线上，称为主对角线元素。,一个数，而矩阵仅是数表。,80,第一节矩阵的概念,二、几种特殊矩阵的介绍,1.行矩阵和列矩阵,只有一行元素构成的矩阵称为行矩阵。,只有一列元素构成的矩阵称为列矩阵。,2.零矩阵,时，也记为，或。,行列数不同的零矩阵是不相等的，如,元素全为零的矩阵称为零矩阵，记作。当零矩阵的行列数是,81,第一节矩阵的概念,4上（下）三角阵,如一个方阵的主对角线下（上）方的所有元素均为零，则称该方阵,为上（下）三角矩阵。,如，是上三角阵。,而是下三角阵。,82,第一节矩阵的概念,5对角阵、单位矩阵,如一个方阵除主对角线以外的元素均为零，则称这个方阵为对角矩,阵。即,有时可简单记为：,记为或，在不致混淆时，也可简记为或，如：,特别地，主对角线元素全为1的阶对角矩阵，称为阶单位矩阵，,83,第二节矩阵的运算及其性质,一、矩阵的线性运算,1矩阵的加法,【定义2.2】,设和都是的矩阵,则以A与B相对应的元素之和为元素的,矩阵,84,第二节矩阵的运算及其性质,称为矩阵与的和，记作A+B，或，用矩阵形式表示即,为。,85,【例2.4】,第二节矩阵的运算及其性质,设,即由，对应元素之差构成的矩阵。,他们才能进行相加和相减；否则，他们的加法和减法将是无意义的。,类似于加法的定义，我们规定矩阵与的减法（即差）,应注意的是，只有当两个矩阵的行数对应相同、列数对应相同时，,则,86,【定义2.3】,第二节矩阵的运算及其性质,数与矩阵的数乘记为，规定其为：,且当时：,称为矩阵的负矩阵，记为,列式的联系将在以后介绍。,数乘矩阵与数乘行列式有着本质上的差异，而数乘方阵及与它的行,2矩阵的数乘,87,【例2.5】,第二节矩阵的运算及其性质,则,设,88,第二节矩阵的运算及其性质,3矩阵线性运算的性质,我们不难证明矩阵的加法和数乘满足以下运算规律（设,都是矩阵，为实数）：,(2)加法结合律,(3),(4),(5)数乘分配律,(6)数乘交换律,89,【例2.6】,第二节矩阵的运算及其性质,解,设求,90,第二节矩阵的运算及其性质,二、矩阵乘法,1定义,【定义2.4】,设是一个行列矩阵，是一个行列的矩阵，即,则由元素,构成的矩阵称为矩阵与的乘积，记作。,91,第二节矩阵的运算及其性质,定义显示，一个矩阵与一个矩阵的乘积是一个,矩阵，的第行列元素等于的第行元素与的第列元,元素的对应乘积之和。,要使乘积有意义，当且仅当左矩阵（即乘积项中的第一个矩阵）,的列数等于右矩阵（即乘积项中的第二个矩阵）的行数才成立。,92,【例2.7】,第二节矩阵的运算及其性质,设求矩阵乘积,的矩阵。由定义：,列数等于右矩阵的列数，故有意义，且是一个二行三列（23）,93,【例2.8】,第二节矩阵的运算及其性质,是一阶的矩阵。,乘积,【例2.9】,94,2线性方程组的矩阵形式,第二节矩阵的运算及其性质,对于包含个方程个未知量的线性方程组,其个方程左端的系数可以构成矩阵，称为方程组（2.2）,（2.2）,的系数矩阵，未知量可构成列矩阵，其个方程右端的常数项可构成,列矩阵，即,95,第二节矩阵的运算及其性质,由于,于是，线性方程组（2.2）可以用矩阵形式表示为,96,3性质（假设涉及的乘积形式都是有意义的）：,第二节矩阵的运算及其性质,(1)乘法的结合律,(3)乘法的分配律,(4),（其中，为阶单位矩阵，为阶单位矩阵）,(5),(2)数乘的结合律,（其中为常数）,97,4注意：矩阵的乘法与数字之间的乘法有许多不同之处。,第二节矩阵的运算及其性质,从例2.10中看到，在矩阵的乘积中，矩阵的位置不能随意交换。,【例2.10】,设矩阵求与。,解,98,第二节矩阵的运算及其性质,关于矩阵的乘法，除了要求乘积有意义外，还要注意下列几点：,（1）矩阵的乘法不满足交换律，即一般地：,（2）两个非零矩阵相乘，结果可能是零矩阵，如在例2.10中,然而。因此，命题“若矩阵乘积，则或”不真。,（3）矩阵乘法不满足消去律，即由不断推断出，即使是在,。,如在例2.9中，我们求得了，但却是没有意义的；,而例如2.10，显然。,（如果矩阵与满足，则称乘是可交换的。）,从而，用一个矩阵去乘另一个矩阵，有左乘和右乘之说。,时，这是因为仅由即由，不能得出或,99,第二节矩阵的运算及其性质,三、方阵的幂,1定义,【定义2.5】,设是阶方阵，是自然数，个连乘的积,称为方阵的次幂，记作。,2性质,根据矩阵乘法性质，我们可以得到方阵的幂满足一下规律：,但要注意的是，一般说来：,（这可由矩阵乘法不满足交换律直接推出。）,100,【例2.11】,第二节矩阵的运算及其性质,设矩阵,求：(1);(2);(3);(4),解,或,（1）,（2）,（3）,（4）,101,第二节矩阵的运算及其性质,四、矩阵的转置与对称矩阵,1转置矩阵,【定义2.6】,把矩阵的行列元素对换，所得到的矩阵，称为,的转置矩阵，记为或。,【例2.12】,102,第二节矩阵的运算及其性质,(1),(2),(4),(3)（为常数）,可以验证，矩阵的转置运算具有以下性质（假定运算都是有意义的）：,与转置行列式不同，矩阵A与转置矩阵不一定相等。,103,【例2.13】,第二节矩阵的运算及其性质,解法1：,所以,设求,先求出，再转置。,104,第二节矩阵的运算及其性质,解法2：,所以,利用性质(4):，先分别求出与，再计算。,因为,105,3.对称矩阵,第二节矩阵的运算及其性质,都是对称矩阵。,【定义2.7】,设是阶方阵，并且满足则称为对称矩阵。,从以上定义，可以看到对称矩阵一定是方阵，且,即关于主对角线对称元素都对应相等，例如,106,第二节矩阵的运算及其性质,由以上定义我们不难证得以下结论：如果是同阶对称矩阵，是,常数，则也都是对称矩阵；但要注意的是，不一定是对称阵。,例如都是对称矩阵，,但不是对称矩阵。,107,第二节矩阵的运算及其性质,五、方阵的行列式及伴随矩阵,1方阵的行列式,【定义2.8】,设阶方阵,由构成的行列式称为方阵A的行列式，记作。,108,第二节矩阵的运算及其性质,应该指出，只有方阵才有行列式。且我们利用行列式的相应性质与,例如，矩阵的行列式,结论可以得出方阵的行列式应满足以下性质：,(1),(2),(3),（n为A的阶数）,109,2方阵的伴随矩阵,第二节矩阵的运算及其性质,【定义2.9】,设是一个阶方阵，由其行列式中元素的代数余,子式所构成的方阵,称为方阵的伴随矩阵。,110,【例2.14】,第二节矩阵的运算及其性质,解,所以,设矩阵求的伴随矩阵。,的代数余子式；的代数余子式,的代数余子式；的代数余子式,111,第二节矩阵的运算及其性质,同理,一般地，由第一章第三节的定理1.2和定理1.3，可推得以下定理：,容易验证，在例2.14中：而,【定理2.1】,若为阶方阵的伴随矩阵，则,从定理的结论中可以看到，方阵与其伴随矩阵是满足乘法交换,律的。,112,在第二节中，我们介绍了矩阵的加法、减法和乘法。那么，是否矩,第三节逆矩阵,阵也存在“除法”运算呢？,我们首先来考察一下数的除法。设是两个数，且，,则，从而除法问题可转化为求的倒数问题。,当然倒数应该满足：。,另外，对于方阵，都有,因此，从乘法的角度看，阶单位阵在矩阵中的地位类似于数1的地位。,113,矩阵只限于方阵，下面我们给出逆矩阵的确切定义。,第三节逆矩阵,要满足：,从上面的讨论中，我们对矩阵的“除法”讨论可转化为求，当然,由矩阵的乘法规则，满足上式的矩阵只有方阵，从而本节讨论的,114,一、逆矩阵的定义,第三节逆矩阵,【定义2.10】,则称方阵是可逆矩阵，称是的逆矩阵，记作。,设是阶方阵，若存在阶方阵，使得,矩阵就是它自身。,单位矩阵都是可逆的，且，因,即单位矩阵的逆,阶零矩阵是不可逆矩阵，因为对任一个阶方阵，都有,115,二、逆矩阵的存在性,第三节逆矩阵,【定理2.2】,所以,若方阵可逆，则。,证明,由定理2.10，对可逆阵，必存在，使得：,即,从而,116,【定理2.3】,第三节逆矩阵,证明,由定理2.1，而因，所以,若，则方阵可逆，且，其中是的伴,随矩阵。,根据定义2.10，可逆，且的逆矩阵。,有时我们将的方阵，称为非奇异方阵，称的方阵为,奇异方阵。,。,定理2.2、定理2.3给出：方阵可逆的充分必要条件是的行列式,117,所以,第三节逆矩阵,就举例予以说明。,又因为,如果，试求矩阵的逆矩阵。,定理2.3也确切给出了求可逆方阵的逆矩阵的一种方法。下面,【例2.15】,解,因为，则是可逆的。,118,又因为代数余子式：,【例2.16】,第三节逆矩阵,解,因为,设问是否可逆？若可逆，试求出其逆矩阵,所以是可逆的。,于是有,所以,119,又由例2.16求得：,【例2.17】,第三节逆矩阵,解,所以,因为，则存在。在式两端同乘，得,试解矩阵方程，其中,120,【例2.18】,第三节逆矩阵,解,下页继续,利用逆矩阵求下列方程组的解,设所给方程组的系数矩阵为，未知量矩阵为，常数项矩阵,为，即,于是，线性方程组可以写成矩阵方程：,因为,所以存在，在上式两边同乘，得：,121,又因为,第三节逆矩阵,所以,则,即原方程组的解为：,122,与未知量个数相同，即系数矩阵是方阵，且该方阵是可逆时，才能用逆,矩阵法去求线性方程组的解。,计算逆矩阵相当繁琐，所以在以后的有关章节中，还将介绍其它求逆矩,阵的方法。,第三节逆矩阵,需要注意的是：,另外，在计算过程中，我们看到当矩阵的阶数较高时，用此种方法,因只有方阵才有逆矩阵，所以，只有当一个线性方程组中方程个数,123,证明,如果都是的逆矩阵，只要证与相等即可。,1若可逆，则的逆矩阵是唯一的。,所以,三、逆矩阵性质：,第三节逆矩阵,及,则的逆矩阵是唯一的。,由定义可得：,124,性质2、性质3、性质4作为习题请同学们自己验证。,第三节逆矩阵,4若可逆，则也可逆，且,3若可逆，为非零常数，则也可逆，且,2若可逆，则也是可逆的，且。,125,第三节逆矩阵,因为,以下就性质（1）、（4）予以证明。,所以可逆，且。,证明,只需证即可。,5若为同阶可逆方阵，则也可逆，且,6,126,第四节分块矩阵及其运算,一、分块矩阵的定义,若矩阵的阶数比较高，在运算时，我们经常进行矩阵的分块工,若干块小矩阵称为矩阵的子块，以子块为元素的矩阵就称为分块矩阵。,作，将大矩阵的运算化成小矩阵的运算。,把用一些横线和纵线分成,127,第四节分块矩阵及其运算,若设,则该分法的分块矩阵可简记为：,例如：对于矩阵的一种分块形式（I）：,即是以子块为元素的分块矩阵。,128,第四节分块矩阵及其运算,或形式（III）,等，关键是根据构成矩阵的元素特征以及相应运算的实际需要来分块，,同一个矩阵的分块形式可以有多种，例如，上述也可分成形式（II）：,并能简化运算。,129,第四节分块矩阵及其运算,二、分块矩阵的运算,分块矩阵的运算形式上与普通矩阵的运算类似，但其各种运算对分,块法有各自不同的限定。,130,1.分块阵的加减法,相同，且分块以后，对应位置的子块阶数也分别相同，则与相加,如果，都是阶矩阵，并且分块形式相同，即大矩阵的阶数,减就是将对应的子块相加减。,设,第四节分块矩阵及其运算,则,131,2.分块矩阵与数的乘法,第四节分块矩阵及其运算,设为任意实数，为以上的分块矩阵，则,132,3.分块矩阵的乘法,第四节分块矩阵及其运算,即乘积均有意义，,设为矩阵，为矩阵，即乘法有意义，且分别,分块成,其中，的列数分别等于的行数，,则,其中，子块,133,【例2.19】,第四节分块矩阵及其运算,则,设求,解,将分成块,下页继续,134,其中,第四节分块矩阵及其运算,所以,135,4.分块矩阵的转置,设,第四节分块矩阵及其运算,则,136,第四节分块矩阵及其运算,三、特殊的分块矩阵,1.分块对角阵的定义,其中都是方阵，称为分块对角阵或准对角矩阵。,形如的分块矩阵，,137,2.分块对角阵的性质,第四节分块矩阵及其运算,则有,设是同阶方阵，且分块方式相同，又都是分块对角阵：,（1）,（2）,138,第四节分块矩阵及其运算,即相同结构的分块对角阵的和、积仍是分块对角矩阵。,（4）可逆的充要条件为都可逆，且有,（3）,139,【例2.20】,第四节分块矩阵及其运算,解,下页继续,因为，则都可逆，且,将分成块,设求,140,所以,第四节分块矩阵及其运算,141,对于其它特殊的分块矩阵，我们也可以相应得到一些结论：如,第四节分块矩阵及其运算,142,第五节矩阵的初等变换,一、矩阵的初等变换的定义,【定义2.11】,下列三种变换称为矩阵的初等行变换：,（1）互换矩阵某两行的对应元素。以下用表示矩阵的第列，用,表示其第行，如互换第与第行，则记为。,（2）以非零常数乘矩阵某一行元素。如第行的元素乘，记为,（3）把矩阵中某一行元素的倍加到另一行相应元素上去。如把第,行的倍加到第行上去，记为。,将上列定义中的“行”、“”分别以“列”、“”代之，即为,矩阵的初等列变换定义与记号。,矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换。,143,第五节矩阵的初等变换,一般来说，一个矩阵经过初等变换后，变成了另一个不同的矩阵。,当矩阵经过初等变换变成矩阵时，记作。有时，为了便于检验,运算过程，往往用记号注明所作的变换。,例如，将矩阵的第一行与第三行作交换，有,144,第五节矩阵的初等变换,又如,表示将三阶单位矩阵的第1列元素的5倍加到第3列相应元素上去。,145,第五节矩阵的初等变换,二、行阶梯形矩阵的定义,如果在一个矩阵中，任一行的第一个非零元素所在的列中，在该非,零元素下方的元素皆为零，则称此矩阵为行阶梯形矩阵。,行阶梯形矩阵的特征为：元素全为零的行（如果存在的话）在矩阵,的最下方，而各个非零行（即元素不全为零的行）中的第一个非零元素,的列标随着行标的递增而严格增大。,146,例如，以下矩阵,第五节矩阵的初等变换,都是行阶梯形矩阵，辅助虚线形象地显示了它们各自的阶梯形状。,矩阵,个非零元素的列标相同。,不是行阶梯形矩阵，因为其第二、三行的第一,又矩阵,也不是行阶梯形矩阵。,147,但是，这两个矩阵通过初等行变换都可化为行阶梯形矩阵，即,第五节矩阵的初等变换,一般地我们有结论；任何一个非零矩阵都可经过有限次的初等行变,换化简为行阶梯形矩阵。,148,【例2.21】,解,第五节矩阵的初等变换,将矩阵化为行阶梯形矩阵。,149,第五节矩阵的初等变换,三、矩阵的标准形,1行最简形矩阵：矩阵是行阶梯形的，而且各个非零行的第1个元素都,是1，又这个元素所在列的其他元素都是零。,【例2.22】,分别将下列矩阵化为行最简形矩阵,解,（1）（2）（3）,（1）,150,第五节矩阵的初等变换,（2）,（3）,151,第五节矩阵的初等变换,2.矩阵的标准形,上面我们介绍了一个阶非零矩阵经过初等行变换，可以化为,行阶梯形即行最简形矩阵。事实上，对行最简形矩阵（不妨设其恰有行,非零行），还可以作初等列变换，使之进一步转化为如下阶最简形,式的矩阵：,152,我们将这类矩阵称为矩阵的标准形。,第五节矩阵的初等变换,其标准形矩阵是唯一的。,任何一个矩阵经过有限次的初等变换都可以化为标准形矩阵，且,153,【例2.23】,求例2.22中矩阵的标准形。,第五节矩阵的初等变换,解,所以矩阵的标准形为以上的,（1）,（2）,即的行最简形就是的标准形矩阵,154,第五节矩阵的初等变换,（3）,即就是矩阵的标准形矩阵。,需要指出的是，将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵，以及通,过初等变换化为其标准形矩阵，是一种极其重要的方法，它的实用性将,在下节方阵求逆以及下一章解线性方程组、向量组的秩中得以体现。,155,【定义2.12】,第五节矩阵的初等变换,四、矩阵的等价,（3）传递性:如与等价，与等价，则与一定是等价的。,（1）反身性:任何矩阵与自身等价；,任何一个阶矩阵都与其标准形矩阵等价。,的初等变换得到，则称矩阵与是等价的。,设都是矩阵，如果矩阵可以由经过有限次,那么，从上面的讨论中，我们实际上可以得到以下定理：,【定理2.4】,且由定义2.12，我们立即可以得出矩阵等价的以下三个性质：,（2）对称性：如与等价，则与也是等价的。,156,第六节初等方阵,一、初等矩阵的定义,【定义2.13】,由于初等变换有三种，而每种初等变换都有一个与其相应的初等方,等方阵。,阵，从而以下三类矩阵揭示了初等方阵的所有形式。,157,到的都是初等矩阵，我们记为，即,（1）互换单位矩阵的第行与第行（或第列与第列），得,第六节初等方阵,158,【例2.24】,第六节初等方阵,是一个由交换第1行与第3行得到的初等方阵。,159,第六节初等方阵,等方阵，记为，即,（2）用非零常数乘单位矩阵的第行（或列），得到的都是初,【例2.25】,是一个由交换第1行与第3行得到的初等方阵。,160,第六节初等方阵,【例2.26】,是将的第1行的7倍加到第3行上去得到的一个初等方阵。,列上去）得到的是初等方阵，记为，即,（3）把的第行的倍加到第行上去（或把第列的倍加到第,161,1.初等方阵的转置矩阵仍是初等方阵；,第六节初等方阵,二、初等方阵的性质,因为三类初等方阵的行列式：,2.初等方阵是可逆的；,所以初等方阵是可逆的。,3.初等方阵的逆矩阵仍是初等方阵。事实上，这三类初等方阵的逆矩,阵分别是：,162,【例2.27】,第六节初等方阵,(3),(2),(1),163,1.定理,第六节初等方阵,三、用矩阵的初等行变换求逆矩阵,方阵与初等变换之间的关系。因此给出下面的定理：,为了导出用矩阵的初等行变换求逆矩阵的方法，我们必须讨论初等,【定理2.5】,相当于在的左边乘上一个相应的阶初等方阵；对施行一次初等列,设是一个的矩阵，则对施行一次初等行变换，就,变换，就相当于在的右边乘上一个相应的阶初等方阵。,此定理证明我们予以省略。,164,【例2.28】,第六节初等方阵,设矩阵如果都是初等方阵，且满足,试求出。,解,同样，由于右乘的第4列的-5倍加到第2列上去，所以是一个4,阵，所以是一个3阶初等方阵，且,由于左乘，且是以数9乘矩阵的第1行，且是阶矩,阶初等方阵,165,第六节初等方阵,推论1,此推论可由上节的矩阵等价定义2.12以及定理2.5直接推得。,由推论1即初等方阵的可逆矩阵仍是初等方阵，可得：,证明,推论2,如果,则有,如果矩阵与等价，则与也等价。,两个阶矩阵与是等价的充分必要条件是存在有限个阶,即与也等价。,166,【定理2.7】,第六节初等方阵,证明,必要性：,充分性：,推论1,推论2,两个阶矩阵与等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵,可逆的充分必要条件是与单位矩阵等价。,由初等方阵的逆矩阵也是初等方阵可得：等于有限个初等方阵的乘积。,或,使,设矩阵与单位矩阵等价，即存在初等方阵,设对于矩阵，存在个初等方阵，使由,阶方阵可逆的充分必要条件是它能表示成一些初等矩,的可逆性，立即可推得可逆；,与阶可逆方阵，使得。,167,第六节初等方阵,2用矩阵的初等行变换求逆矩阵,类似地，若可逆，欲求矩阵方程的解，可先,对施行初等行变换，当把子块化为单位阵时，子块就恰好化为,构造辅助的的（如果可逆）分块矩阵：,阵，由此得出一个用初等行变换求逆矩阵的方法，具体步骤如下：,而（2.4）式说明，对单位矩阵施行同样的初等行变换即得的逆矩,（2.3）式说明：可逆方阵左乘一系列初等方阵等于单位阵，,（2.3）（2.4）,由定理2.7的结论：可得：,的逆矩阵。,构造矩阵,即为方程组的解。,对施行初等行变换，当化为单位阵时，的位置就是，,168,【例2.29