辽宁省朝阳市第二高级中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

朝阳市第二高中2018-2019学年下学期高二年级期中考理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.从5名男生、4名女生中选3名学生组成一个学习小组，要求其中男、女生都有，则不同的分组方案共有（ ）a. 70种b. 80种c. 100种d. 140种【答案】a【解析】试题分析：直接法：一男两女，有种，两男一女，有种，共计70种间接法：任意选取种，其中都是男医生有种，都是女医生有种，于是符合条件的有84-10-4=70种考点：分步乘法计数原理2.函数在上的最大值是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】求导后，根据导函数的正负确定函数的单调性，可知当时函数取最大值，代入得到结果.【详解】由得：当时，；当时，函数在上单调递增；在上单调递减当时，函数取最大值：本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，属于基础题.3.在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（ ）a. 第一象限b. 第二象限c. 第三象限d. 第四象限【答案】b【解析】【分析】将整理为，可得对应的点的坐标，从而得到结果.【详解】复数所对应的点为，位于第二象限本题正确选项：【点睛】本题考查复数对应复平面内的点的问题，属于基础题.4.用反证法证明命题：“，若可被整除，那么中至少有一个能被整除”时，假设的内容应该是a. 都能被5整除b. 都不能被5整除c. 不都能被5整除d. 能被5整除【答案】b【解析】试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证命题“a，bn，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”的否定是“a，b都不能被5整除”考点：反证法5.展开式中项的系数为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，从而可知当时得到的项，代入通项公式求得结果.【详解】的展开式通项为：当，即时，项的系数为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用二项式定理求解指定项的系数问题，属于常规题型.6.已知两随机变量，若，则和分别为（ ）a. 6和4b. 4和2c. 6和2.4d. 2和4【答案】b【解析】【分析】利用二项分布的数学期望和方差的计算公式求得和；根据方差的性质可得到.【详解】由可得：，又，则本题正确选项：【点睛】本题考查二项分布的数学期望和方差的求解、方差性质的应用，属于基础题.7. “所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数”上述推理（ ）a. 小前提错b. 结论错c. 正确d. 大前提错【答案】c【解析】试题分析：根据三段论推理可知，只要大前提和小前提是正确的，则得到的结论也是正确的，本题中大前提“所有的倍数都是的倍数”是正确，小前提“某奇数是的倍数”也是正确的，所以得到的结论“该奇数是的倍数”也是正确，故选c考点：演绎推理【方法点晴】本题主要考查了推理中的演绎推理，其中解答中使用三段论推理，对于三段论推理中，只有大前提（基本的公理、定理或概念、定义）是真确的，小前提是大前提的一部分（即小前提要蕴含在大前提之中）是正确的，则推理得到的命题的结论就是正确的，解答的关键是明确三段论推理的基本概念和推理的结构是解答的关键，属于基础题8.的值等于（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用还原的方式将积分变为，代入求得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查定积分的运算，属于基础题.9.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为，要使其体积最大，则其高为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】设圆锥高为，利用表示出底面半径，从而可构造出关于圆锥体积的函数关系式；利用导数求得当时，体积最大，从而得到结果.【详解】设圆锥的高为，则圆锥底面半径：圆锥体积：，令，解得：当时，；当时，当，取最大值即体积最大时，圆锥的高为：本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数思想来解决立体几何中的最值问题，关键是能够构造出关于所求变量的函数，从而利用导数来求解最值.10.已知随机变量的分布列如下: ，则的值是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根据分布列中概率和为可求得；利用数学期望公式可构造出关于的方程，解出，从而可求得.【详解】由题意得：，解得：又，解得：本题正确选项：【点睛】本题考查随机变量分布列中概率的性质、数学期望的求解问题，属于基础题.11.把四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（ ）a. 12种b. 24种c. 36种d. 48种【答案】c【解析】从个球中选出个组成复合元素有 种方法，再把个元素（包括复合元素）放入个不同的盒子中有 种放法，所以四个不同的小球放入三个分别标有13号的盒子中，不允许有空盒子的放法有，故选c.12.已知可导函数满足，则当时，和（为自然对数的底数）大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】构造函数，求导后可知，从而可确定在上单调递增，得到，整理可得到结果.【详解】令，则又， 在上单调递增，即 本题正确选项：【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性的问题，关键是能够构造出新函数，通过求导得到函数的单调性，将问题转变为新函数的函数值之间的比较问题.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.一同学在电脑中打出如下图形（表示空心圆，表示实心圆）.若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2019个圆中有_个实心圆.【答案】62【解析】【分析】依次解出空心圆个数，时对应圆的总个数再根据规律求结果【详解】解：时，圆的总个数是2； 时，圆的总个数是5，即； 时，圆的总个数是9，即； 时，圆的总个数是14，即； ； 时，圆的总个数是 ， ， 在前2019个圆中，共有62个实心圆 故答案为：62【点睛】本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模型解决问题14.已知，且，则等于_.【答案】0.02【解析】【分析】根据标准正态分布曲线对称性可知且，利用概率和为可求得结果.【详解】由题意知，服从于标准正态分布又本题正确结果：【点睛】本题考查正态分布求解概率问题，属于基础题.15.若复数（为虚数单位），若，则复数的共轭复数是_.【答案】【解析】【分析】求解出复数，利用共轭复数的定义求得结果.【详解】由题意知：本题正确结果：【点睛】本题考查共轭复数的求解，关键是能够通过复数运算求解出复数，属于基础题.16.已知实数，成等比数列，且对函数，当时取到极大值，则_.【答案】1【解析】由等比数列的性质，得adbc，又解得故adbc1.三、解答题:本大题共6小题，共70分解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.设，（其中，且）（1）请将用，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广【答案】（1）；（2）结论为：，可以推广【解析】【分析】（1）计算得到和，从而得到等量关系；（2）根据数字特征可推测出结论；利用三段论证明出结论.【详解】（1）由题意得：又（2）由，即推测：证明：因为，所以，所以可知可以推广【点睛】本题考查合情推理与演绎推理问题，关键是能够根据数字特征推测出结论，再利用三段论来进行证明.18.一个口袋内有个不同的红球，个不同的白球，（1）从中任取个球，红球个数不比白球少的取法有多少种？（2）若取一个红球记分，取一个白球记分，从中任取个球，使总分不少于分的取法有多少种？【答案】（1）115（2）186【解析】【分析】（1） 由题意知本题是一个分类计数问题，取4个红球，没有白球，有 种，取3个红球1个白球，有种，取2个红球2个白球，有，根据加法原理得到结果.（2）设出取到白球和红球的个数，根据两个未知数的和是5，列出方程，根据分数不少于7，列出不等式，根据这是两个整数，列举出结果.【详解】（1）从中任取4个球，红球个数不比白球少的取法，红球4个，红球3个和白球1个，红球2个和白球2个，红球4个，取法有种，红球3个和白球1个，取法有种；红球2个和白球2个，取法有种；根据分类计数原理，红球的个数不比白球少的取法有种（2）使总分不少于7分情况有三种情况，4红1白，3红2白，2红3白.第一种，4红1白，取法有种；第二种，3红2白，取法有种，第三种，2红3白，取法有种，根据分类计数原理，总分不少于7分的取法有【点睛】本题主要考查了分类加法原理，组合的综合应用，分类讨论思想，属于中档题.19.已知虚数满足（为虚数单位）.（1）求的值;（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）设（且），利用模长的定义可构造出方程，整理出，从而求得；（2）整理得到，根据实数的定义求得结果.【详解】（1）为虚数，可设（且）则，即整理可得：（2）由（1）知 又 【点睛】本题考查复数模长的求解、根据复数的类型求解参数值的问题，属于基础题.20.已知数列满足.（1）求；（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.【答案】（1）；（2），证明见解析.【解析】试题分析：（1）利用递推公式及首项逐个求；（2）由得表达式可猜想显然当时成立，令，其代入递推公式中，可求得，即假设成立，所以数列的通项公式为.试题解析：（1）由可得.（2）猜想.下面用数学归纳法证明：当时，左边右边猜想成立.假设时猜想成立，即，当时，故当时，猜想也成立.由，可知，对任意都有成立.考点：归纳法的运用.【方法点睛】本题主要考察了数学归纳法的运用.在数列中，经常通过寻找前若干项的规律，然后假设数列的通项为，首先验证此通项公式在前若干项中成立，其次通过相关的递推公式由证明也同样成立，这样便能证明假设猜想是成立的，否则假设猜想不成立，（或者需要重新进行假设），在验证时一定要注意由证得时成立.21.某公司对员工实行新临时事假制度:“每位员工每月在正常的工作时间临时有事，可请假至多三次，每次至多一小时”，现对该制度实施以来名员工请假的次数进行调查统计，结果如下表所示：请假次数人数根据上表信息解答以下问题:（1）从该公司任选两名员工，求这两人请假次数之和恰为的概率;（2）从该公司任选两名员工，用表示这两人请假次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）可将请假次数和为分为和两种情况，分别计算出两种情况下的选法种数，利用古典概型求得结果；（2）确定所有可能的取值，分别计算每个取值对应的概率，从而得到分布列；再利用数学期望计算公式求得期望.【详解】（1）两名员工请假次数之和为有和两种情况请假次数共有：种选法请假次数为共有：种选法则请假次数之和为的概率（2）由题意可知：所有可能的取值分别是则；的分布列如下：【点睛】本题考查利用古典概型求解概率、离散型随机变量的分布列和数学期望的求解问题，属于常规题型.22.已知函数， （1）若，求函数的单调区间（2）当函数（为自然对数的底数），的最大值为时，求的值.【答案】（1）的单调递增区间为：；单调递减区间为：；（2）【解析】【分析】（1）首先求解出函数定义域，再利用导函数的正负确定函数的单调区间；（2）根据解析式可求得，可知的