高二数学选修2-2(3.1.1 数系的扩充和复数的概念)

数系的扩充和复数的概念,问题提出,1.数的概念产生和发展的历史进程：,N,Q,R,R,数系每次扩充的基本原则：,第一，增加新元素；,第二，原有的运算性质仍然成立；,第三，新数系能解决旧数系中的矛盾.,2.若，则对此你有什么困惑？,3.唯物辨证法认为，事物是发展变化的，事物内部的矛盾运动是推动事物向前发展的根本动力.由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.,数系的扩充和复数的概念,探究（一）：虚数单位的引入,思考1：由得，这与矛盾的原因是什么？,方程x2-x+1=0无实根,思考2：方程x2-x+1=0无实根的根本原因是什么？,负数不能开平方，即负数在实数范围内没有平方根,思考3：我们设想引入一个新数，用字母i表示，使这个数是-1的平方根，即i2=-1，那么方程x2-x+1=0的根是什么？,思考4：若x4=1，利用i2=-1,则x等于什么？,1，-1，i，-i.,思考5：满足i2=-1的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.,思考6：设aR，下列运算正确吗？,探究（二）：复数的有关概念,思考1：虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,abi（a，bR）,思考2：把形如abi（a，bR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？,Cabi|a，bR,思考3：复数通常用字母z表示，即z=abi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z=-3i的实部和虚部分别是什么？,实部为,虚部为-3.,注意：复数的实部和虚部都是实数,思考4：两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：abi=cdi（a，b，c，dR）的充要条件是a=c且b=d，那么abi=0的充要条件是什么？,a=b=0,思考5：对于复数z=abi（a，bR）当b=0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当b=0时z为实数.,实数集R是复数集C的真子集.,思考6：对于复数z=a+bi（a，bR）当b0时，z叫做虚数，当a=0且b0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集.,思考7：复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,实数,虚数,思考8：两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,虚数不能比较大小.,理论迁移,例1实数m取什么值时，复数z=m1(m1)i分别是实数，虚数和纯虚数？,当m1时，z是实数；当m1时，z是虚数；当m1时，z是纯虚数.,1.复数(m2-3m+2)+(m2-4)i是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数,练习：,答案：,(1)m=2,(2)m2且m-2,(3)m=1,2.若复数是虚数，求实数x的取值范围.,答案：,例2设复数z1=(x-y)+(x+3)i，z2=(3x+2y)-yi，若z1=z2，求实数x，y的值.,x9，y6.,练习：,求适合下列方程的x和y(x,yR)的值：（1）(x+2y)-i=6x+(x-y)i；（2）(x+y+1)-(x-y+2)i=0,答案：,（2）,（1）,例3.在复数范围内求解三次方程x3+1=0,(x+1)(x2-x+1)=0,略解：,x+1=0或x2-x+1=0,x=-1或,x=-1或,故在复数范围内，方程x3+1=0有三个根,由原方程得,练习：在复数范围内解方程x3-1=0,答案：,或,小结作业,1.将实数系扩充到复数系是源于解方程的需要，到十九世纪中叶已建立了一套完整的复数理论，形成一个独立的数学分支.,2.虚数单位i的引入解决了负数不能开平方的矛盾，并将实数集扩充到了复数集，它使得任何一个复数都可以写成abi（a，bR）的形式.,3.复数包括了实数和虚数，实数的某些性质在复数