辽宁省沈阳市沈河区第二中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）

辽宁省沈阳市沈河区第二中学2020届高三数学上学期10月月考试题 理（含解析）说明：测试时间：120分钟 总分：150分第卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合， ，则（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】先求出集合， ，然后根据交集的定义求出【详解】， 故选【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题2.复数z满足，则复数的虚部是（ ）a. 1b. 1c. d. 【答案】c【解析】【分析】由已知条件计算出复数的表达式，得到虚部【详解】由题意可得 则 则复数的虚部是故选c【点睛】本题考查了复数的概念及复数的四则运算，按照除法法则求出复数的表达式即可得到结果，较为简单3.已知，关于的下列结论中错误的是（ ）a. 的一个周期为b. 在单调递减c. 的一个零点为d. 的图象关于直线对称【答案】b【解析】【分析】根据余弦型函数的图像与性质，分别对四个选项进行判断，得到答案.【详解】函数其最小正周期为，所以也是其一个周期，故项正确；当时，即，单调递减，可得在上单调递减，在上单调递增，故项错误；，代入得，故项正确；把代入，得，所以是一条对称轴，故项正确.【点睛】本题考查余弦型函数的图像与性质，属于简单题.4.下列说法错误的是（ ）a. 对于命题,则b. “”是“”的充分不必要条件c. 若命题为假命题，则都是假命题d. 命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”【答案】c【解析】试题分析：对于a,全称命题“非”是存在性命题，且否定结论，即a正确；对于b，时，成立，但反之，时，所以b正确；对于c,，命题为假命题，说明至少有一为假命题，所以c错；对于d，逆否命题否定原命题条件和结论并互换，d正确，故选c考点：1、逆否命题；2、充分条件与必要条件；3、复合命题【名师点晴】本题主要考查的是逆否命题、充分条件与必要条件和复合命题的真假性，属于容易题解题时一定要注意时，是的充分条件，是的必要条件，否则很容易出现错误充分、必要条件的判断即判断命题的真假，在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化5.函数（，且）的图象恒过定点，且点在角的终边上，则（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】令对数的真数等于1，求得x、y的值，可得定点a的坐标，再利用任意角的三角函数的定义求得，再利用同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，求得的值【详解】对于函数且，令，求得，可得函数的图象恒过点，且点a在角的终边上，则，故选：c【点睛】本题主要考查对数函数的图象经过定点问题，任意角的三角函数的定义，同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式，属于基础题6.已知向量，满足，则向量，的夹角为（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】设向量，的夹角为，因为，所以 ，由可得，故选d.7.已知在等边三角形中，则（ ）a. 4b. c. 5d. 【答案】d【解析】由条件知m，n是bc的三等分点，故 展开得到，等边三角形中，任意两边夹角为六十度，所有边长为3 ， 代入表达式得到。故答案为d。8.的值是（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【详解】因为定积分，结合定积分的几何意义可知,原式等于圆心为（1,1），半径为1的四分之一个圆的面积减去得到，即为，选a.9.已知函数是定义在上的图象不间断的函数，其导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）a. 4个b. 3个c. 2个d. 1个【答案】b【解析】【分析】根据导函数的图像，得到导函数零点且其附近导函数值正负号发生变化的点的个数，从而判断出的极值点的个数.【详解】由函数的导函数的图像可得导函数零点且其附近导函数值正负号发生变化的点的个数有个，所以的极值点的个数为，故选项.【点睛】本题考查由导函数的图像判断原函数极值点的个数，属于简单题.10.已知定义在上的函数满足：；当时，则函数在区间上的零点个数为（ ）a. 5b. 6c. 7d. 8【答案】a【解析】【分析】由可得的图象关于点对称，由可得的图象关于直线对称，先作出在的图象，再由对称性，作出在的图象，同时作出在的图象，通过图象观察即可得到零点个数【详解】解：由可得的图象关于点对称，由可得的图象关于直线对称作出在的图象，如图所示，由得到的对称性，作出在的图象，如图所示，作出函数在的图象，如图所示，由图象观察可得它们共有个交点，即有函数在区间上的零点个数为故选：a【点睛】本题考查函数的零点的个数判断，主要考查图象法的运用，同时考查函数的对称性，属于中档题11.已知函数的图象与的图象关于直线对称，则的图象的一个对称中心可以为（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】先对进行整理，得到的解析式，然后由图像与图像关于直线对称，得到，从而确定解析式，再表示出的对称中心，得到答案.【详解】函数因为图像与图像关于直线对称，所以所以的对称中心横坐标满足：，即所以当时，对称中心坐标为，故选项.【点睛】本题考查利用三角函数公式进行化简，两个函数关于轴对称，余弦型函数的图像与性质，属于中档题.12.设函数是函数的导函数，为自然对数的底数，若函数满足，且，则不等式的解集为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】由得到，再由得到解析式，设，通过求导得到，得到单调递减，将所求不等式中，从而转化为形式，利用单调性求出的范围，再得到的范围，得到答案.【详解】因为，所以，所以可得，即因为，所以，所以，所以，令，则，所以在定义域内单调递减，所求不等式中所以即，又因，所以所以而在定义域内单调递减，所以，即，得，故选项.【点睛】本题考查通过导数研究函数的单调性，利用单调性解不等式，积分求函数解析式，属于难题.第卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题第23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.与垂直的单位向量是_.【答案】或【解析】【分析】设单位向量，则根据单位向量与垂直，得到的关系，解出，得到答案,详解】设单位向量，则，因为单位向量与垂直，得到联立解得或，所以答案为或.【点睛】本题考查单位向量的性质，向量垂直的坐标表示，属于简单题.14._【答案】【解析】，应填答案。点睛：解答本题关键是借助题设中角度的特征，先将切化弦，再运用三角变换公式及二倍角的正弦余弦公式进行运算，进而达到化简的目的。15.已知，则在方向上正射影的数量为_.【答案】【解析】【分析】根据公式得到在方向上正射影的数量为，根据条件得到和的值，从而得到结果【详解】因为，所以所以在方向上正射影的数量为故答案为【点睛】本题考查求向量的射影长度，属于简单题.16.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理，将转化为边，得到，将所求的转化成，结合，全部转化为的函数，再求出的范围，从而得到答案.【详解】根据正弦定理，将转化为即，又因为锐角，所以.所以因为是锐角三角形，所以，所以，得，所以故的取值范围是.【点睛】本题考查向量的线性运算、数量积，正、余弦定理解三角形，余弦型函数的图像与性质，属于难题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数在上的最大值为，当把的图象上的所有点向右平移个单位后，得到图象对应函数的图象关于直线对称.（1）求函数的解析式；（2）在中，三个内角的对边分别为，已知在轴右侧的第一个零点为，若，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由题意可得，解出，利用平移变换可得，利用正弦函数的对称性，可得，得出的值，即可解得函数的解析式；（2）由题意得可得，解得的值，由余弦定理可得，利用三角形的面积公式即可求解.试题解析：（1）由题意知，函数在区间上单调递增，所以，得.经验证当时满足题意，故求得，所以,故，又，所以.故.（2）根据题意，又得：,的最大值为.考点：正弦型函数的图象与性质.18.某观测站在城a南偏西20方向的c处,由城a出发的一条公路,走向是南偏东40,在c处测得公路距c 31千米的b处有一人正沿公路向城a走去,走了20千米后到达d处,此时cd间的距离为21千米,问这人还要走多少千米可到达城a?【答案】见解析【解析】【分析】根据题意设，则可以求出，在中，由正弦定理求得即可得到答案【详解】设acd=，cdb=.在cbd中由余弦定理得cossin.而sinsin(60)sincos60sin60cos.在acd中，ad15(千米)所以这人再走15千米才可到城a.【点睛】本题是解斜三角形的应用问题，关键是设角以及如何把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求结果，注意利用正弦定理和余弦定理合理的得到边角的关系式。19.将4本不同的书随机放入如图所示的编号为1，2，3，4的四个抽屉中.1234（）求4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率；（）随机变量表示放在2号抽屉中书的本数，求的分布列和数学期望.【答案】（）（）分布列见解析，数学期望为1【解析】【分析】（）先得到全部的情况，再得到符合要求的4本书恰好放在四个不同抽屉的情况，根据古典概率公式，得到答案；（）每本书放在2号抽屉中，符合二项分布的概率形式，得到可能出现的情况，根据公式得到每种情况的概率，列出分布列，再由公式得到数学期望.【详解】解：（）将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有种不同的放法.记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”事件，事件共包含个基本事件，所以，所以4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为.（）记“每本书放在2号抽屉中”为事件，则，根据题意，所以，所以的分布列为01234所以的数学期望为.【点睛】本题考查古典概型的计算，二项分布概率公式和分布列及数学期望，属于中档题.20.已知函数（1）求的单调区间；（2）当时，恒成立，求的取值范围【答案】（1）函数在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）先求函数的导数，利用导函数的正负情况，得到原函数的单调区间.（2）构造函数 ，求得导数，对分成三类，结合的单调区间，根据列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】解：（1） ，令，解得，当，则函数在上单调递减；当，则函数在上单调递增.（2）令 ，根据题意，当时，恒成立. .当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；当，时，恒成立，所以在上是增函数，且，所以不符合题意；当时，因为，所以恒有，故在上是减函数，于是“对任意都成立”的充要条件是，即，解得，故.综上，的取值范围是.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.要利用导数求解不等式恒成立问题，首先构造一个函数，然后利用导数研究这个函数的最值，根据最值的情况列不等式，解不等式求得参数的取值范围.21.设，（）证明；（）若，证明：.【答案】（）证明见解析 （）证明见解析【解析】【分析】（）构造函数，求导得到，再设，求导得到，利用导数求得最小值为，从而判断出，得到单调性，结合，得到时，从而证明不等式成立；（）构造函数，求导得到，再设，求导得到，判断出，单调减，即得到在上单调递减，结合，得到，再结合（）的结论，证明出不等式【详解】解：（）设，则.令，则.当时，由于，所以，因此在上单调递增.于是有，从而可知在上单调递增，又，所以，即，.（）设，则.令，则，.所以在上单调递减，从而，因此在上单调递减，于是，即，即，.而所以由（）的结论，可得所以可得，又单调递增，所以得.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值，利用函数单调性证明不等式，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2b铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。22.在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为的正半轴建立平面直角坐标系.（1）求和的参数方程；（2）已知射线，将逆时针旋转得到，且与交于两点， 与交于两点，求取得最大值时点的极坐标.【答案】（）为参数）; （）【解析】试题分析：（）根据坐标方程之间的转化，分别求出c1和c2的参数方程即可；（）设出p，q的极坐标，表示出|op|oq|的表达式，结合三角函数的性质求出p的极坐标即可试题解析：（）在直角坐标系中，曲线的直角坐标方程为所以参数方程为为参数）. 曲线的直角坐标方程为. 所以参数方程为为参数） （）设点极坐标为, 即, 点极坐标为, 即. 则 当时取最大值，此时点的极坐标为.23.设不等式的解集为m