导数在经济学中的简单应用

1,2020/5/27,1,3.5导数在经济学中的简单应用,随着我国市场经济的不断发展，应用数学知识定量分析经济及管理领域中的问题，已成为经济学理论中一个重要组成部分把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用我们所学的数学知识进行解答，对很多经营决策起到了非常重要的作用导数是微积分中一个重要概念，它是函数关于自变量的变化率在经济学中，也存在变化率问题，如：边际问题和弹性问题导数在经济领域中的应用非常广泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念本节主要介绍导数概念在经济学中的两个应用边际分析与弹性分析,2,一、边际与边际分析,边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率利用导数研究经济变量的边际变化的方法，即边际分析法边际分析法是经济理论中的一个重要分析方法，它的提出不仅为我们作出决策提供了一个有用的工具，而且还使经济学能运用数学工具因此边际分析法对推动经济学本身的发展和解决实际经济问题起到了重大作用,1、边际分析法,3,2、边际函数,说明：导数与边际的关系：边际概念是将导数的概念经济化。因此，经济学中的边际和数学中的导数是一个概念。这不仅丰富了导数的含义，也给经济学中边际的计算问题提供了更直接、简便的方法。(2)边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。,一、边际与边际分析,4,2020/5/27,4,一、边际与边际分析,3、边际分析,5,2020/5/27,5,6,2020/5/27,6,7,8,(3)边际成本仅与可变成本有关，与固定成本无关。,(4)在经营决策分析中，通过分析边际成本，可以制定现有成本基础上的最佳产量。,9,例3、假设某企业生产某种产品的总成本（万元）与产量（万件）之间的函数关系式为,10,提出问题：,在产量的基础上，我们除了能计算总成本外，还能计算哪些与”成本”有关的量？它们有什么实际（经济）意义？,11,12,13,14,2020/5/27,14,15,提问：已知价格函数，怎么求总收益函数？边际收益的经济意义是什么？,16,17,显然，该公司不能完全依靠增加销量来提高收益，超过一定数量的销量就会造成销售越多亏损越大的局面。通过分析边际收益，我们可以挖掘市场的最大潜力，制定正确地、行之有效的销售对策。,18,2020/5/27,18,19,20,21,22,显然，企业不能完全依靠增加产量来提高利润，超过一定数量就会造成生产越多亏损越大的局面。在当今国内外经济分析中，越来越多的数学知识被用做分析工具，经济分析走向了定量化、精密化和准确化，为企业经营者提供客观、精确的数据和视角正是数学应用性的具体体现。对经济工作者而言，掌握相应的数学分析方法，为科学的经营决策提供可靠依据，是非常必要的。,23,2020/5/27,23,前面所谈的函数改变量和函数变化率是绝对改变量和绝对变化率，但在经济问题中仅仅研究函数的绝对改变量和绝对变化率是不够的。例如，商品甲每单位价格10元，涨价1元；商品乙每单位价格1000元，也涨价1元。两种商品价格的绝对改变量都是1元，但各与其原价相比，两者涨价的百分比却有很大的不同，商品甲涨了10%，而商品乙涨了0.1%。因此我们还有必要研究函数的相对改变量和相对变化率。在经济分析中，会经常用到弹性分析法，弹性是一个十分有用的概念。一般地说，弹性描述的是因变量对自变量的变化的反应程度，具体的说，也就是要计算自变量变化1个百分比，因变量要变化几个百分比。边际函数反映的是函数的变化率，而函数的弹性则反映的是函数的相对变化率。,24,2020/5/27,24,25,26,2020/5/27,26,27,28,4、需求弹性大（小），就是表示这种商品价格的变化，会引起需求的较大（小）变化。比如，大米的需求弹性就很小，因为它是生活必需品，不会因为价格上涨而少吃多少，因价格下跌而多吃多少。相比而言，时装的需求弹性就要大一些，价格变动对需求量的影响比较大。,5、不同商品的需求弹性相差甚远，按照弹性值的大小，作以下划分：高弹性、单位弹性和低弹性.,29,2020/5/27,29,30,31,32,33,2020/5/27,33,34,2020/5/27,34,35,2020/5/27,35,需求价格弹性的分析在经营中特别被重视，企业如果离开需求价格的弹性分析，就不可能达到利润最大化的目标.在商品经济中，经营者关心的是提价或降价对总收益的影响.,36,37,2020/5/27,37,38,2020/5/27,38,求导法则,基本公式,导数,高阶导数,一、主要内容,39,2020/5/27,39,1、导数的定义,定义,40,2020/5/27,40,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,41,2020/5/27,41,2、基本导数公式,（常数和基本初等函数的导数公式）,共10组,42,2020/5/27,42,3、求导法则,(1)函数的和、差、积、商的求导法则,(2)反函数的求导法则,43,2020/5/27,43,(3)复合函数的求导法则,(4)对数求导法,先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求出导数.,适用范围:,(5)隐函数求导,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,44,2020/5/27,44,4、高阶导数,记作,二阶导数的导数称为三阶导数,(二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数),45,2020/5/27,45,5、微分的定义,定义,(微分的实质),46,2020/5/27,46,6、导数与微分的关系,定理,7、微分的求法,求法:计算函数的导数,乘以自变量的微分.,47,案例：有人说，气候不好对农民不利，因为谷物歉收，会减少农民的收入。但也有人说，气候不好反而对农民有利，因为农业歉收后谷物价格会上涨，农民因此而增加收人。分析：评价气候不好对农民是否有利，主要看农民的农业收人在气候不好的情况下如何变动。气候不好对农民的直接影响是农业歉收，即农产品的供给减少，这表现为农产品的供给曲线向右上方移动。如果此时市场对农产品的需求状况不发生变化，即需求曲线保持不变，那么农产品供给的减少将导致均衡价格的上升。一般来说，人们对农产品的需求是低弹性的，由需求价格弹性与收益弹性的关系可知，此时农民的农业收入将随着均衡价格的上升而增加。因而在需求状况不因气候不好发生变化并且对农产品需求是低弹性的情况下，气候不好引致的农业歉收对农民增加收入是有利的。当然