重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题

重庆市第一中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2.答选择题时，必须使用2b铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（每小题5分，共60分）1. 已知复数，则的虚部是（ ）a. b. c. d.2.已知随机变量的分布列为，则实数（ ）a. b. c. d.3.已知随机变量（ ）a0.16 b0.32 c0.66 d0.684.若的值为（ ）a.4 b.5 c.6 d.75.抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件表示“小于5的偶数点出现”，事件表示“不小于5的点数出现”，则一次试验中，事件或事件至少有一个发生的概率为（ ）a. b. c. d.6.为了调查某校高二学生的身高是否与性别有关，随机调查该校64名高二学生，得到列联表如下：男生女生总计身高低于170cm82432身高不低于170cm26632总计343064由此得出的正确结论是（ ）a.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“身高与性别无关”b.在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为“身高与性别有关”c.有99.9%的把握认为“身高与性别无关”d.有99.9%的把握认为“身高与性别有关”7.二项式的展开式中的常数项是（ ）a. b. c. d.8.已知，则（ ）a31 b32c63 d649.某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（ ）a b1c d10.从中选取三个不同的数，使得其中至少有两个相邻，则不同的选法种数是（ ）a.72 b.70 c.66 d.6411.已知离散型随机变量服从二项分布，且，则的最小值为（ ）a b c3 d412.，表示不大于的最大整数，如，且，定义：.若，则的概率为（ ）ab c d二、填空题（每小题5分，共20分）13.已知变量、满足线性约束条件，则的最小值是 .14.设随机变量 .15.甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以21获胜的概率是_ 16.从个男生和个女生中任选2个人当班长，假设事件表示选出的2个人性别相同，事件表示选出的2个人性别不同，如果的概率和的概率相同，则可能为_.三、解答题（共70分）17.（10分）当，则称点为平面上的格点：设（1）求从区域中任取一点，而该点落在区域上的概率；（2）求从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点的概率.18.（12分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y万元有如下的统计资料：234562.23.85.56.57.0（1）画出散点图并判断是否线性相关；（2）如果线性相关，求线性回归方程；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？参考数据：附注：参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计分别为19.（12分）某次数学测验共有12道选择题,每道题共有四个选项,且其中只有一个选项是正确的,评分标准规定:每选对1道题得5分,不选或选错得0分.在这次数学测验中,考生甲每道选择题都按照规则作答,并能确定其中有9道题能选对;其余3道题无法确定正确选项,在这3道题中,恰有2道能排除两个错误选项,另1题只能排除一个错误选项.若考生甲做这3道题时,每道题都从不能排除的选项中随机挑选一个选项作答,且各题作答互不影响.在本次测验中,考生甲选择题所得的分数记为.（1）求的概率;（2）求的分布列和数学期望.20.（12分）如图，四棱锥中，平面abcd，底面abcd是正方形，e为pc上一点，当f为dc的中点时，ef平行于平面pad.（1）求证：平面pcb；（2）求二面角的余弦值.21.（12分）已知椭圆的短轴长为4，离心率为，斜率不为0的直线与椭圆相交于两点（异于椭圆的顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点.（1）求椭圆的标准方程；（2）直线是否过定点，如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.22.（12分）已知函数.（为自然对数的底数），.（中较小的数.） （1）当时，设，求函数上的最值； （2）当时，证明：. 2020年重庆一中高2021级高二下期期中考试数学测试试题参考答案一、选择题1-6：bcacad 7-12:bccdbd二、填空题（每小题5分，共20分）13. 3 14. 15. 0.3 16.三、解答题（共70分）17.解：作出集合所对应的区域（如图）：矩形则：（1）记事件“从区域中任取一点，而该点落在区域上”则事件符合几何概型，即.（2）事件“从区域中的所有格点中任取一点，而该点是区域上的格点”则事件符合古典概型，区域中的格点个数:当横坐标分别为0,1,2时,纵坐标可以为0,1,2,3中的任一个,此时有个；而区域上的格点有（0，3），（1，2），（1，3），（2，3）共4个，18.解：（1）因为点分布接近在一条直线上，所以线性相关；（2）（3）时，维修费用是万元19.解：（1）能排除2个选项的试题记为类试题，设选对一道类试题为事件，则；能排除1个选项的试题记为类试题，设选对一道类试题为事件，则.该考生选择题得55分这个事件为：类试题对2道，类试题对0道，或者类试题对1道，类试题对1道，故（2） 该考生所得分数为所以的分布列为：4550556020.解：（）证：平面，又正方形中，平面，又平面，当为的中点时，平行平面，所以是的中点，平面；（）解：以点为坐标原点，分别以直线，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的法向量为，则，令，得到，；又，且平面，平面的一个法向量为；设二面角的平面角为，由图可知角为锐角，则，二面角的余弦值为21.解：（1）由题所以椭圆的标准方程为（2） 由题设直线：联立直线方程与椭圆方程得：因为以为直径的圆过椭圆的右顶点，所以即经验证，所以直线过定点22. 解：（1）当时， 则 当所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增从而在上