黑龙江省齐齐哈尔市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）

黑龙江省齐齐哈尔市2018-2019学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）本试卷分第i卷（选择题）和第ii卷（非选择题）两部分第i卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合，集合为函数的定义域，则（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】解不等式化简集合的表示，求出函数的定义域，表示成集合的形式，运用集合的并集运算法则，结合数轴求出.【详解】因为，所以.又因为函数的定义域为，所以.因此，故本题选b.【点睛】本题考查了集合的并集运算，正确求出对数型函数的定义域，运用数轴是解题的关键.2.已知a，b，cr，那么下列命题中正确的是 ()a. 若ab，则ac2bc2b. 若，则abc. 若a3b3且abb2且ab0，则【答案】c【解析】【分析】根据不等式的性质，对a、b、c、d四个选项通过举反例进行一一验证【详解】a若ab，则ac2bc2（错），若c=0，则a不成立；b若，则ab（错），若c0，则b不成立；c若a3b3且ab0，则（对），若a3b3且ab0，则 d若a2b2且ab0，则（错），若，则d不成立故选：c【点睛】此题主要考查不等关系与不等式的性质及其应用，例如举反例法求解比较简单两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.3.中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步并不难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，欲问每朝行里数，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第1天健步行走，从第2天起，因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，可求出此人每天走多少里路.”那么此人第5天走的路程为（ ）a. 48里b. 24里c. 12里d. 6里【答案】c【解析】记每天走的路程里数为an，由题意知an是公比的等比数列，由s6=378，得=378，解得：a1=192，=12（里）故选：c4.若向量，的夹角为，且，则向量与向量的夹角为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】，设向量与向量的夹角为，故选a.5.函数的图象大致为（ ）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】先求出函数为偶函数，再根据函数值的变化趋势或函数的单调性即可判断【详解】解：，为偶函数，的图象关于y轴对称，故排除b，c，当时，故排除d，或者根据，当时，为增函数，故排除d，故选：a【点睛】本题考查了函数图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性和函数值的变化趋势，属于基础题6.已知，则 的大小关系为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据对数函数的单调性可知都大于1，把化成后可得的大小，从而可得的大小关系.【详解】因为及都是上的增函数，故，又，故，选b.【点睛】对数的大小比较，可通过寻找合适的单调函数来构建大小关系，如果底数不统一，可以利用对数的运算性质统一底数.不同类型的数比较大小，应找一个中间数，通过它实现大小关系的传递.7.已知四面体中，分别是，的中点，若，与所成角的度数为30，则与所成角的度数为（）a. 90b. 45c. 60d. 30【答案】a【解析】【分析】取的中点,利用三角形中位线定理,可以得到,与所成角为，运用三角形中位线定理和正弦定理，可以求出的大小，也就能求出与所成角的度数.【详解】取的中点连接，如下图所示：因为，分别是，的中点，所以有，因为与所成角的度数为30，所以，与所成角的大小等于的度数.在中，故本题选a.【点睛】本题考查了异面直线所成角的求法，考查了正弦定理，取中点利用三角形中位线定理是解题的关键.8.函数（其中，）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有的点（）a. 向右平移个单位长度b. 向左平移个单位长度c. 向右平移个单位长度d. 向左平移个单位长度【答案】c【解析】【分析】通过图象可以知道：最低点纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，这样可以求出和最小正周期，利用余弦型函数最小正周期公式，可以求出，把零点代入解析式中，可以求出，这样可以求出函数的解析式，利用诱导公式化为正弦型三角函数解析式形式，最后利用平移变换解析式的变化得出正确答案.【详解】由图象可知：函数的最低点的纵坐标为，函数的图象与横轴的交点的坐标为，与之相邻的最低点的坐标为，所以，设函数的最小正周期为，则有，而，把代入函数解析式中，得，所以，而，显然由向右平移个单位长度得到的图象，故本题选c.【点睛】本题考查了由函数图象求余弦型函数解析式，考查了正弦型函数图象之间的平移变换规律.9.如图，有一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，汽车在点测得公路北侧山顶的仰角为30，汽车行驶后到达点测得山顶在北偏西30方向上，且仰角为45，则山的高度为（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】通过题意可知：，设山的高度，分别在中求出，最后在中，利用余弦定理，列出方程，解方程求出的值.【详解】由题意可知：.在中，.在中，.中，由余弦定理可得：（舍去），故本题选d.【点睛】本题考查了余弦定理的应用，弄清题目中各个角的含义是解题的关键.10.已知是定义在上的奇函数，当时，那么不等式的解集是（）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】根据奇函数的性质求出的解析式，然后分类讨论求出不等式的解集.【详解】因为是定义在上的奇函数，所以有，显然是不等式的解集；当时，；当时，综上所述：不等式的解集是，故本题选b.【点睛】本题考查了利用奇函数性质求解不等式解集问题，考查了分类思想，正确求出函数的解析式是解题的关键.11.已知数列的前项和为，若，则（）a. b. c. d. 【答案】a【解析】【分析】再递推一步，两个等式相减，得到一个等式，进行合理变形，可以得到一个等比数列，求出通项公式，最后求出数列的通项公式，最后求出，选出答案即可.【详解】因为，所以当时，两式相减化简得：，而，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，因此有，所以，故本题选a.【点睛】本题考查了已知数列递推公式求数列通项公式的问题，考查了等比数列的判断以及通项公式，正确的递推和等式的合理变形是解题的关键.12.已知函数，若方程有5个解，则的取值范围是（）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】利用因式分解法，求出方程的解，结合函数的性质，根据题意可以求出的取值范围.【详解】，或，由题意可知：，由题可知：当时，有2个解且有2个解且 ，当时，因为，所以函数是偶函数，当时，函数是减函数，故有，函数是偶函数，所以图象关于纵轴对称，即当时有，所以，综上所述；的取值范围是，故本题选d.【点睛】本题考查了已知方程解的情况求参数取值问题，正确分析函数的性质，是解题的关键.第ii卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上13.计算：_【答案】【解析】【分析】用正弦、正切的诱导公式化简求值即可.【详解】.【点睛】本题考查了正弦、正切的诱导公式，考查了特殊角的正弦值和正切值.14.已知，若数列满足，则等于_【答案】【解析】【分析】根据首项、递推公式，结合函数解析式，求出的值，可以发现数列是周期数列，求出周期，利用数列的周期性可以求出的值.【详解】 ，所以数列是以5为周期的数列，因为20能被5整除，所以.【点睛】本题考查了数列的周期性，考查了数学运算能力.15.已知，两圆和只有一条公切线，则的最小值为_【答案】9【解析】【分析】两圆只有一条公切线，可以判断两圆是内切关系，可以得到一个等式，结合这个等式，可以求出的最小值.【详解】，圆心为，半径为2；，圆心为，半径为1.因为两圆只有一条公切线，所以两圆是内切关系，即，于是有（当且仅当取等号），因此的最小值为9.【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力.16.(数学文卷2017届广东省揭阳市届高三上学期期末调研考试第15题) 鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球。设其半径为r, ，所以该球形容器的表面积的最小值为 。【点睛】将表面积最小的球形容器，看成其中两个正四棱柱的外接球，求其半径，进而求体积。三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤17.已知等比数列为递增数列，数列满足（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比数列的下标性质，可以由，得到，通过解方程组，结合已知可以求出的值，这样可以求出公比，最后可以求出等比数列的通项公式，最后利用对数的运算性质可以求出数列的通项公式；（2）利用错位相消法可以求出数列的前项和【详解】解（1）是等比数列又由是递增数列解得，且公比（2），两式相减得：【点睛】本题考查了等比数列下标的性质，考查了求等比数列通项公式，考查了对数运算的性质，考查了错位相消法，考查了数学运算能力.18.在中，已知，且ac边的中点m在y轴上，bc边的中点n在x轴上，求：顶点c的坐标；直线mn的方程【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）边ac的中点m在y轴上，由中点公式得，a，c两点的横坐标和的平均数为0，同理，b，c两点的纵坐标和的平均数为0构造方程易得c点的坐标（2）根据c点的坐标，结合中点公式，我们可求出m，n两点的坐标，代入两点式即可求出直线mn的方程解：（1）设点c（x，y），边ac的中点m在y轴上得=0，边bc的中点n在x轴上得=0，解得x=5，y=3故所求点c坐标是（5，3）（2）点m的坐标是（0，），点n的坐标是（1，0），直线mn的方程是=，即5x2y5=0点评：在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况19.已知向量，函数（1）求函数的单调递增区间；（2）在中，内角、所对边的长分别是、，若，求的面积.【答案】（1）的增区间是，（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示公式、二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式可以函数的解析式化为正弦型函数解析式的形式，最后利用正弦型函数的单调性求出函数的单调递增区间；（2）根据（1）所得的结论和，可以求出角的值，利用三角形内角和定理可以求出角的值，再运用正弦定理可得出的值，最后利用三角形面积公式可以求出的面积.【详解】（1）令，解得的增区间是，（2）解得又中，由正弦定理得【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标表示公式，考查了二倍角的正弦公式、余弦二倍角的降幂公式、以及辅助角公式，考查了正弦定理和三角形面积公式，考查了数学运算能力.20.某企业用180万元购买一套新设备，该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入，为了维护设备的正常运行，第一年需要各种维护费用10万元，且从第二年开始，每年比上一年所需的维护费用要增加10万元（1）求该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）试计算这套设备使用多少年，可使年平均利润最大？年平均利润最大为多少万元？【答案】（1），（2）这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润为35万元【解析】【分析】（1）运用等差数列前项和公式可以求出年的维护费，这样可以由题意可以求出该设备给企业带来的总利润（万元）与使用年数的函数关系；（2）利用基本不等式可以求出年平均利润最大值.【详解】解：（1）由题意知，年总收入为万元年维护总费用为万元.总利润，即，（2）年平均利润为，当且仅当，即时取“”答：这套设备使用6年，可使年平均利润最大，最大利润35万元.【点睛】本题考查了应用数学知识解决生活实际问题的能力，考查了基本不等式的应用，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.21.如图，四边形是平行四边形，平面平面，为的中点（1）求证：平面；（2）求证：平面平面.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取中点，连接，利用三角形中位线定理，结合已知，可以证明出四边形为平行四边形，利用平行四边形的性质和线面平行的判定定理可以证明出平面；（2）在中，利用余弦定理可以求出的值，利用勾股定理的逆定理可以得，由平面平面，利用面面垂直的性质定理，可以得到平面，最后利用面面垂直的判断定理可以证明出平面平面.【详解】（1）取中点，连接，在中，因为是中点所以且又因为，所以且，即四边形为平行四边形，所以，又平面，平面平面.（2）在中，由余弦定理得，进而由勾股定理的逆定理得又因为平面，平面，又因为平面所以平面又平面，所以平面平面【点睛】本题考