黑龙江省肇东一中2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）

黑龙江省肇东一中2018-2019学年度下学期高二期中考试理科数学试题注意事项：1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟。2. 考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。3. 本卷命题范围：必修全部，选修2-1，选修2-2，选修2-3。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.四个同学，争夺三项冠军，冠军获得者可能有的种数为（ ）a. 4b. 24c. 64d. 81【答案】c【解析】【分析】利用分步计数原理可得冠军获得者可能有的种数.【详解】依分步计数乘法原理，冠军获得者可能有的种数为.故选c.【点睛】排列的计数问题，常利用分类计数原理和分步计数原理，注意计数时要区分清楚是分类还是分步.2.在两个变量的回归分析中，作散点图是为了()a. 直接求出回归直线方程b. 直接求出回归方程c. 根据经验选定回归方程的类型d. 估计回归方程的参数【答案】c【解析】【分析】利用散点图的定义逐一作出判断即可.【详解】散点图的作用在于选择合适的函数模型故选：c【点睛】本题考查对散点图概念的理解，属于基础题3.若，则的值是（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7【答案】c【解析】【分析】利用排列数公式和组合数公式计算即可.【详解】，即，或（舍）.故选c.【点睛】本题考查组合数和排列数的计算，属于基础题.4. 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由算得附表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828 参照附表，得到的正确结论是（ ）a在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”b在犯错误的概率不超过的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”c有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”d有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”【答案】c【解析】由，而，故由独立性检验的意义可知选c.5.已知，的取值如下表：2345223.85.56.5从散点图分析，与线性相关，且回归方程为，则实数的值为（ ）a. -0.1b. 0.61c. -0.61d. 0.1【答案】c【解析】分析】算出可得.【详解】，故.故选c.【点睛】一般地，线性回归方程对应的直线过样本中心，此类问题属于基础题.6.已知随机变量服从正态分布，则（ ）a. 0.89b. 0.22c. 0.11d. 0.78【答案】c【解析】【分析】由随机变量服从正态分布，可得这组数据对应的正态曲线的对称轴，利用正态曲线的对称性，即可得到结论.【详解】随机变量服从正态分布，这组数据对应的正态曲线的对称轴，故选c.【点睛】本题主要考查正态分布的性质，属于中档题.有关正态分布应用的题考查知识点较为清晰，只要熟练掌握正态分布的性质，特别是状态曲线的对称性以及各个区间概率之间的关系，问题就能迎刃而解.7.二项式（为常数）展开式中含项的系数等于10，则常数（ ）a. 2b. c. -1d. 1【答案】d【解析】【分析】利用通项公式求出的系数（与有关），令其为10，可得的值.【详解】，令，则的系数为故，所以.故选d.【点睛】二项展开式中指定项的系数，可利用二项展开式的通项公式来求而对于展开式中的若干系数和的讨论，则可利用赋值法来解决.8.某地区为了解小学生的身高发育情况，从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）.若，由图中可知，身高落在范围内的学生人数是（ ）a. 35b. 24c. 46d. 65【答案】d【解析】【分析】根据频率分布直方图可以得到，再根据算出后可得所求的学生数.【详解】因为，所以，又，由两式解得，所以身高落在内的频率为，所以身高落在范围内的学生人数为（人）.故选d.【点睛】频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意频率分布直方图中，各矩形的高是.9.一个盒子装有相同大小的红球32个，白球4个，从中任取两个，则下列事件概率为的是（ ）a. 没有白球b. 至少有一个是红球c. 至少有一个是白球d. 至多有一个是白球【答案】c【解析】【分析】根据、的意义可得正确的选项.【详解】表示从36个球中任取两个球的不同取法的总数，表示从36个球中任取两个球且两球是一红一白的不同取法的总数，表示从4个白球中任取两个不同的球的取法总数，故为从36个球中任取两个球，至少有一个白球的概率，故选c.【点睛】古典概型的概率的计算，往往在于总的基本事件的个数的计算和随机事件中含有的基本事件的个数的计算，计数时应该利用排列组合相关的知识和方法.10.已知随机变量，若，则和分别为（ ）a. 6和2.4b. 2和2.4c. 2和5.6d. 6和6.6【答案】b【解析】由已知得，而，所以，故选.11.口袋里有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，数列满足：，如果为数列的前项和，那么的概率为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】表示7次中5次白球2次红球，所以概率为，选b.12.如果，则使取最大值时的值为（ ）a. 5或6b. 6或7c. 7或8d. 以上均错【答案】b【解析】解：所以当k6时，p（=k+1）p（=k），当k0时，p（=k+1）p（=k），其中k=6时，p（=k+1）=p（=k），从而k=6或7时，p（=k）取得最大值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.随机变量的分布列如下：-202其中，成等比数列，若，则的值为_【答案】【解析】【分析】根据分布列可得，再根据及数学期望可解出，再根据公式计算方差.【详解】，所以，又且，所以 ，解得 .故填.【点睛】本题考查离散型随机变量概率分布列的性质、数学期望和方差的计算，属于基础题.14.执行如图所示的程序框图，若p=0.8，则输出的n=_【答案】4【解析】如果输入的，由循环变量初值为1，那么：经过第一次循环得到 满足 ，继续循环，经过第二次循环得到 第三次循环， ，此时不满足，退出循环，此时输出即答案为4.15.某工厂生产电子元件，其产品的次品率为，现从一批产品中任意地连续取出2件，写出其中次品的概率分布.012【答案】0.9025 0.095 0.0025【解析】【分析】随机变量服从二项分布，利用公式可求其概率.【详解】因，所以，故分别填：，.【点睛】在计算离散型随机变量的概率时，注意利用常见的概率分布列来简化计算（如二项分布、超几何分布等）16.某中学一天的功课表有6节课，其中上午4节，下午2节，要排语文、数学、英语、信息技术、体育、地理6节课，要求上午第一节课不排体育，数学必须排在上午，则不同排法种数是_【答案】408【解析】【分析】按上午第一节课排数学和不排数学分类讨论即可.【详解】如果上午第一节课排数学，则语文、英语、信息技术、体育、地理可排在其余5节课，故有种；如果上午第一节课不排数学，则可排语文、英语、信息技术、地理任何一门，有种排法，数学应该排在第二节、第三节或第四节，有种排法，余下四节课可排余下四门课程，有种排法，故上午第一节课不排数学共有，综上，共有种不同的排法.故填408.【点睛】对于排列问题，我们有如下策略：（1）特殊位置、特殊元素优先考虑，比如某些人不能排首位等，可先考虑首位放置其他人，然后再排其他位置；（2）先选后排，比如要求所排的人来自某个范围，我们得先选出符合要求的人，再把他们放置在合适位置；（3）去杂法，也就是从反面考虑三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.在中，角，的对边分别为，.（1）若，求值；（2）若，求的值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）利用两角和的余弦公式得到，从而由的值得到的大小.（2）先由余弦定理得到，在利用正弦定理计算即可.【详解】（1）因为，即，所以.显然，否则，由，得，与矛盾，所以.因为，所以.（2）因为，根据余弦定理得，所以.因为， ，所以，由正弦定理，得，所以.【点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18.英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）（1）英语老师随机抽了个单词进行检测，求至少有个是后两天学习过的单词的概率；（2）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望。【答案】解：（1）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个离周五最近两天学过的事件为，则由题意可得；（2）由题意可得可取：，则有所以的分布列为：01234故【解析】【分析】（i）根据古典概型概率公式求解，（）先确定随机变量，再分别求对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式得结果.【详解】（）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得（）由题意可得可取0，1，2，3，则有 ， 所以的分布列为：0123故.【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求.19.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁421658大于40岁182442总计6040100（1）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名观众，则大于40岁的观众应该抽取几名？（2）由表中数据分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关？（3）在第（1）中抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.（提示：，其中.当时，有的把握判定两个变量有关联；当时，有的把握判定两个变量有关联；当时，有的把握判定两个变量有关联.）【答案】（1）3人； （2）有的把握说收看新闻节目的观众与其年龄有关； （3）.【解析】【分析】（1）先根据列联表得到收看新闻节目的观众中大于40岁的观众的频率为，从而可求得应抽取的人数.（2）利用公式计算出后再利用预测值表中的数据可得有的把握说收看新闻节目的观众与其年龄有关.（3）利用枚举法可得基本事件的总数和随机事件中含有的基本事件的总数，再利用古典概型的概率公式可求概率.【详解】（1）应抽取大于40岁的观众的人数为（人）.（2），有的把握说收看新闻节目的观众与其年龄有关.（3）记为“恰有1名观众的年龄为20至40岁”，由（1）知，抽取的5名观众中，有2名观众年龄处于20至40岁，设为甲、乙；3名观众的年龄大于40岁，设为，则从5名观众任取2名的基本事件有：（甲，乙），（甲，），（甲，），（甲，），（乙，），（乙，），（乙，），共10个，其中“恰有1名观众的年龄为20至40岁”的基本事件有6个.故.【点睛】古典概型的概率计算，应该用枚举法列出所有的基本事件及随机事件中含有的基本事件.20.如图，在多面体中，为菱形，平面，平面，为的中点，若平面.（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值.【答案】解:()取ab的中点m，连结gm,mc，g为bf的中点,所以gm /fa,又ec面abcd, fa面abcd,ce/af,ce/gm,2分面cegm面abcd=cm,eg/ 面abcd,eg/cm,4分在正三角形abc中，cmab,又afcmegab, egaf,eg面abf.6分（）建立如图所示的坐标系,设ab=2,则b（）e(0,1,1) f（0，-1，2）=(0，-2,1) ,=(,-1，-1),=(,1， 1),8分设平面bef的法向量=（）则令，则,=（）10分同理，可求平面def的法向量=（-）设所求二面角平面角为，则=.12分【解析】试题分析：（） 取ab的中点m，连结gm,mc，要证eg面abf，只要证ce/gm且cm面abf即可（）利用abcd为菱形，其对角线互相垂直平分这个特点建立空间直角坐标系如下图所示，求出平面与平面的法向量，利用向量的夹角公式求出二面角b-ef-d 的余弦值试题解析：（本小题满分12分）解:（）取ab的中点m，连结gm,mc，g为bf的中点,所以gm /fa,又ec面abcd, fa面abcd,ce/af,ce/gm, 2分面cegm面abcd=cm,eg/ 面abcd,eg/cm, 4分在正三角形abc中，cmab,又afcmegab, egaf,eg面abf 6分（）建立如图所示的坐标系,设ab=2,则b（）e（0,1,1） f（0，-1，2）=（0，-2,1） ,=（,-1，-1）,=（,1， 1）, 8分设平面bef的法向量=（）则令，则,=（） 10分 同理，可求平面def的法向量=（-）设所求二面角的平面角为，则= 12分考点：1、空间直线与平面的位置关系；2、利用空间向量解决立体几何的问题21.如图，已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，为抛物线的准线与轴的交点.（1）若，求直线的斜率；（2）求的最大值.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）设直线：，联立直线方程和抛物线方程消元后得到，利用韦达定理化简可得.（2），利用点在抛物线上可得与的函数关系式，由基本不等式可得的最大值从而得到的最大值.【详解】（1）因为抛物线的焦点为，.当轴时，此时，与矛盾，所以可设直线的方程为，代入，得，则，所以，所以.因为，所以，将代入并整理得，所以.（2）因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，所以的最大值为.【点