5.2齐次马尔可夫链

第二节齐次马尔可夫链一、齐次马尔可夫链概念随机进程Xn，n=0，1，2， 是族的随机变量，Xn可以取的每个值称为状态。 当在一个概率过程Xn，n=0，1，2， 中从一个状态到另一个状态的转变概率与当前状态没有任何关系，即，在过程Xn，n=0，1，2， 中，Xn 1的条件概率分布仅依赖Xn的值，而不依赖于其前值时，该过程称为马尔可夫过程马尔可夫链是指时间上离散的，状态上也离散的马尔可夫过程。 一个马尔可夫链从u时刻处于状态I，当转移到t u时刻的状态j的转移概率与转移的开始时间u无关时，称为齐次马尔可夫链，简称齐次马尔可夫链。假设从状态I到状态j的进一步转变概率为pij，则存在pij=PXn 1=j|Xn=i、I、j=0、1、2、且转变概率矩阵p因此，一个齐次马的链可以由一个转变概率矩阵p和一个随时间为零的状态x=0，1，2，的概率分布向量表示Q=(q(0)，q(1)，)完全确定。 从齐次马氏链的性质可知，在第I个状态的行向量Ai和第i 1个状态的行向量Ai 1之间，存在Ai 1=AiP这样的关系式。二、齐次马氏链在教学质量评价中的应用教育过程是一个随机过程，也就是说，对于具有相同基础知识背景的学生(个体)，同时接受新知识时是随机的。 我们把一个班(组)的学生分成不同的班(例如优、良、中、合格、不合格5个班)，认为大致同一班的学生具有相同的基础知识，用齐次马氏链，通过学生学习状态的转变概率矩阵，最终可以预测班学生学习成绩的稳定状态对教师来说，也可以用来评价和预测课堂教学质量。在教育效果指标的量化过程中，齐次马氏链评价法将某组(例如班级或年级)的学生在某个考试中优(90分以上)、良(8089分)、中(7079分)、合格(6069分)和不合格(59分以下)的各班级的学生数在合计人数中所占的比例作为状态变量，用向量表示。 即，即R(t)=(X1(t )，X2(t )，X3(t )，X4(t )，X5(t ) ) .齐次马的链与t时刻前的状态没有关系(无后验效果)，所以可以研究t变化时的状态矢量R(t )的变化规律，评价教育效果。经过第一次考试，1班n个学生中优、良、中、合格、不合格的学生数分别为Ni(I=1、2、3、4、5 )，则状态向量称为初始矢量。 为考察教学效果，继续分析下次考试时上述学生的等级变化。 经过第二次考试，优等生n1人中，优等生n1人，“良”、“中”、“合格”、“不合格”的学生分别为n12、n13、n14、n15人，因此第一次考试成绩改变了优等生的考试成绩同样，其馀各班学生考试成绩的推移向量中的nij(i，j=1，2，3，4，5 )表示从状态I变化到状态j的人数。这种过渡状况用矩阵表示p是转变概率矩阵，简称为转变概率矩阵。符合齐次马氏链学习状态转移概率矩阵的学生的学习成绩最终必定会变得平稳X=(x1，x2，x3，x4，x5)即X=XP即X(E-P)=0解开该线性方程式，就可以得到状态R(t )下学生学习成绩的稳定分布x。接下来，以第1节表5-1的15名学生的成绩为例，分析这个小组两次考试中学生水平的变化。 优、良、中、合格、不合格，分别为2人、4人、4人、5人和0人各级学生改变情况的第二次考试的成绩分布状态根据这一变化规律，第三次考试成绩的分布状态也就是说，第三次考试后，学生中优等生、良等人数减少了，但中等人数和合格者增加了。 这样，就可以分析这个组的学生组的变化状态。 如果将该过程稳定状态分布列设为x(E-P)TX=0因此，最终只有中度和合格度的学生，其人数分别占全体的56%和44%。三、齐次马链在解题状态评价中的应用解决问题是数学教学的主要任务。 根据学生解题认知过程的发展，把一个主题分解成几个不同水平的状态，就可以测量一组(班级、年级的学生等)解决问题的能力和情况。首先，解决一个问题的过程包括五个状态： S1分析、S2设计、S3探索、S4实施和S5验证。在五个状态之间存在图5-2所示的关系。 分为以上5种状态，解决问题后的状态只与之前的状态有关，与之前的状态无关。 这完全符合齐次马链所要求的条件。图5-2的关系流程图包括状态转变概率矩阵在此，p23 p24=1，p31 p32=1。图5-2的关系流程图的第I阶段的行向量为Ai=(a1，a2，a3，a4，a5)因为A0=(1，0，0，0，0 )表示a1=(0，1，0，0，0 )为a2=a1p=(0，0，p23，p24，0 )A3=A2P=(p31p23，P2P 32，0，0，p24 )p24(P23P32 1)。应用齐次马链的关键在于，通过找到迁移概率矩阵的pij，根据具体主题的解题过程来区分几种不同的状态(在这一点上相对困难)，以及根据解题时间来控制解题过程，分析集合a整体的解题状态。 例如，对40名学生求出P1 (2，3，3 )、p2 (4，6，6 )、P3 (6，9，9 )三点共通线。当然，为这个主题如何客观地分析解题状态，也就是说，分析哪个步骤从S1的分析到S2的设计，以及哪个步骤从S2的设计到S4的实施是很困难的。 但是，如果利用时间控制解题状态的话，就可以切实实行。 8分钟后，30名学生圆满地证明了这个题目，其馀10名学生中，经过老师的适当建议，6名学生完成了这个题目。 这样核对关系的流程A0=(1，0，0，0，0 )表示a1=(0，1，0，0，0 )由A1可知，这40名学生全部从从分析状态S1转移到设计状态S2的A2齐次马氏链对于让相当多的学生在预定时间内完成解答(即图5-2的关系流程图中的状态S5)是有效的。 但是