3.2.3_三角形的内切圆

点、直线与圆的位置关系，圆的切线,3.2,3.2.3三角形的内切圆,想在一块三角形硬纸板上剪下一个面积最大的圆形纸板，应当怎样剪？,如图3-40，为了使圆形纸板的面积最大，这个圆应当与三角形的三条边都尽可能贴近.,图3-40,由此猜想：这个圆应当与三角形的三条边都相.,切,与三角形的三条边都相切的圆存在吗？,如果存在，那么如何画出这样的圆？,（1）如果与ABC的三条边都相切，那么圆心O到三条边的距离都等于，从而这些距离相等.,我们已经知道，到一个角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，因此圆心O是A的与B的的点.,半径,平分线,平分线,交,（2）如何画一个圆与三角形的三条边都相切？,如图3-41，已知ABC.,图3-41,作A，B的平分线AD，BE，它们相交于点O；,过点O作AB的垂线，垂足为M；,以点O为圆心，OM为半径作圆.,圆O就是所求的圆，如图3-41.,*（3）上面所作的圆O真的与ABC的三条边都相切吗？,由于圆心O到AB的距离等于OM的长，即等于半径，因此AB与圆O相；,由于圆心O在BAC的平分线上，因此圆心O到AC的距离与O到AB的距离，从而也等于，所以AC与圆O相；,类似地，BC与圆O相.,切,相等,半径,切,切,*（4）与ABC的三条边都相切的圆有几个？,根据第(1)个问题的结论，与ABC的三条边都相切的圆，其圆心是A的平分线与B的平分线的交点O，其半径等于O到AB的距离，因此与ABC的三条边都相切的圆只有一个.,与三角形的三条边都相切的圆有且只有一个.,与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形.,设点O是ABC的内心(参看图3-41)，由于AB，BC，AC都与圆O相切，因此圆心O到AB，BC，AC的距离都等于，从而圆心O在ABC的每个内角的上.,半径,平分线,三角形的内心是这个三角形的三条角平分线的交点.,例6设ABC的内切圆的半径为r，ABC的周长为l，求ABC的面积S.,举例,解如图3-42，ABC的三边AB，BC，CA分别与圆O相切于点D，E，F.,连结OD，OE，OF，OA，OB，OC.,据切线的性质定理得ODAB，OEBC，OFAC.,因此ABC的面积S为,从而OAB的面积为ABOD=ABr，,同理OBC，OCA的面积分别为BCr，CAr，,=r(AB+BC+CA),S=ABr+BCr+CAr,=rl.,1.画一个三角形，然后画它的内切圆.,答：画一个三角形，然后分别作其中任意两个角的角平分线，其相交于一点O，过点O作一条边的垂线，垂直为D，如图.以O为圆心，以OD的长为半径作圆，则圆O就是所求的圆.,2.已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（）.,B,B.C.2D.3,3.一个三角形的一个角的平分线与对边的交点是不是这条边与内切圆的切点？,答：不一定.当这个角是等边三角形的一个角或等腰三角形的顶角时，角平分线与对边交点是这边与内切圆的切点，否则不是.,4.等边三角形的一个角的平分线与对边的交点是不是这条边与内切圆的切点？为什么？,答：是.因为等边三角形一个角的平分线垂直于对边.,5.任意一个三角形的外接圆和内切圆是两个同心圆吗？说明你的理由.,答：不一定.因为三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，三角形的内切圆的圆心是三角形三个内角平分线的交点，过两个交点一般是不重合的.,例1,如图，