循环卷积与线性卷积的实现

实验四 循环卷积与线性卷积的实现一、仿真实验目的1）进一步理解并掌握循环卷积与线性卷积的概念；2）理解掌握二者的关系。二、实验分析和计算 两个序列的N点循环卷积定义为 从定义中可以看到，循环卷积和线性卷积的不同之处在于：两个N点序列的N点循环卷积的结果仍为N点序列，而它们的线性卷积的结果的长度为2N-1；循环卷积对序列的移位采取循环移位，而线性卷积对序列采取线性移位。正是这些不同，导致了线性卷积和循环卷积有不同的结果和性质。 循环卷积和线性卷积虽然是不用的概念，但它们之间由一个有意义的公式联系在一起其中。 也就是说，两个序列的N点循环卷积是它们线性卷积以N为周期的周期延拓。设序列还的长度为，序列的长度为，此时，线性卷积结果的序列的点数为；因此如果循环卷积的点数N小于，那么上述周期性延拓的结果就会产生混叠，从而两种卷积会有不同的结果。而如果N满足的条件，就会有 这就意味着时域不会产生混叠。因此，我们得出结论：若通过在序列的末尾填充适当的零值，使得和成为点序列，并作为这两个序列的循环卷积，那么循环卷积与线性卷积的结果在范围内相同。 根据DFT循环卷积性质中卷积定理便可通过两种方法求两个序列的循环卷积：一直直接根据定义计算；二是根据性质先分别求两个序列的N点DFT，并相乘，然后取IDFT以得到循环卷积。第二种方法看起来要经过若干个步骤，但由于求序列的DFT和IDFT都有快速算法，因此它的效率比第一种方法高得多。 同样，根据线性卷积和循环卷积的关系，可以通过计算循环卷积以求得线性卷积，提高计算序列线性卷积的效率。例 已知有限长序列x(n)和h(n)如图题所示，试画出：（1） x(n)和h(n)的线卷积；（2） x(n)和h(n)的9点循环卷积；（3） x(n)和h(n)的5点循环卷积。解：(1)x(n)和h(n)的线卷积m 0 1 2 3 4 h(m) 0 1 2 3 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 最后得出 其线性卷积图形绘于图4-1中。 （2） x(n)和h(n)的9点循环卷积；012345678012340000100001111110000111111000011111100001111110000011111000001111100000111110000011111 最后得出 其线性卷积图形绘于图4-2中。 (3) x(n)和h(n)的5点循环卷积。01234012341111111111111111111111111 最后得出 其线性卷积图形绘于图4-3中。3、 应用MATLAB仿真 所用程序实现如下： 首先得有计算循环卷积的函数。这里，根据上面提到的两种方法，编写两个实现循环卷积的函数。 function y = circonv1(x1,x2,N)if length(x1)Nerror(N must not be less than length of x1)endif length(x2)Nerror(N must not be less than length of x2)endx1=x1,zeros(1,N-length(x1);x2=x2,zeros(1,N-length(x2);n=0:1:N-1;x2=x2(mod(-n,N)+1);H=zeros(N,N);for n=1:1:NH(n,:)=cirshiftd(x2,n-1,N);endy=x1*H;function y=cirshiftd(x,m,N)% 输出序列含循环移位（y=Output sequence contains circular shift。）% 输入序列长度xN error(N 必须大于等于x 的长度！)endx=x zeros(1,N-length(x);n=0:1:N-1;n=mod(n-m,N);y=x(n+1);上述函数直接利用循环函数的定义。本来最简单的方法是用两个for循环嵌套，但是这样的效率显然很低。因此，这里采用矩阵计算的方法，即先生成矩阵H，它的第k行包括序列 ,这样，矩阵H与序列相乘的结果就是两个序列的循环卷积。这种方案的效率有很大的提高。function y =circonv2(x1,x2,N)if length(x1)Nerror(N must not be less than length of x1)endif length(x2)Nerror(N must not be less than length of x2)endX1k=fft(x1,N);X2k=fft(x2,N);Yk=X1k.*X2k;y=ifft(Yk);if(all(imag(x1)=0)&(all(imag(x2)=0);y=real(y);end 该函数采取的是第二种方法。注意到，在该函数的末尾，也判断了是否是两实序列卷积的情形。 下面利用这两种的两个函数来实现循环卷积和线性卷积。计算序列的循环卷积采用conv，因为现在序列都默认从零时刻开始，函数conv正好满足要求。输入以下MATLAB命令：n=0:1:4;m=0:1:4; N1=length(n);N2=length(m);xn=ones(1,N1);hn=m;y1n=conv(xn,hn);y2n=circonv2(xn,hn,N1+N2-1);y3n=circonv1(xn,hn,N1);ny1=0:1:length(y1n)-1;ny2=0:1:length(y3n)-1;subplot(3,1,1);stem(ny1,y1n);subplot(3,1,2);stem(ny1,y2n);subplot